В математике , то полиномиальная теорема описывает , как расширить мощности на сумму в терминах степеней слагаемых в этой сумме. Это обобщение биномиальной теоремы от биномов к полиномам.
Теорема
Для любого положительного целого числа m и любого неотрицательного целого числа n полиномиальная формула описывает, как сумма с m членами расширяется при возведении в произвольную степень n :
куда
- полиномиальный коэффициент . Сумма берется по всем комбинациям неотрицательных целочисленных индексов с k 1 по k m, таким образом, что сумма всех k i равна n . То есть для каждого члена в разложении показатели степени x i должны составлять в сумме n . Кроме того, как и в случае с биномиальной теоремой , появляющиеся количества вида x 0 принимаются равными 1 (даже если x равен нулю).
В случае m = 2 это утверждение сводится к утверждению биномиальной теоремы.
Пример
Третья степень трехчлена a + b + c равна
Это можно вычислить вручную, используя дистрибутивное свойство умножения над сложением, но это также можно сделать (возможно, более легко) с помощью полиномиальной теоремы. Можно «считать» полиномиальные коэффициенты из членов, используя формулу полиномиальных коэффициентов. Например:
-
имеет коэффициент
-
имеет коэффициент
Альтернативное выражение
Формулировку теоремы можно кратко записать с помощью мультииндексов :
куда
а также
Доказательство
Это доказательство полиномиальной теоремы использует биномиальную теорему и индукцию по m .
Во-первых, при m = 1 обе стороны равны x 1 n, поскольку в сумме есть только один член k 1 = n . Для шага индукции предположим, что полиномиальная теорема верна для m . потом
по предположению индукции. Применяя биномиальную теорему к последнему множителю,
что завершает индукцию. Последний шаг следует, потому что
в этом легко убедиться, записав три коэффициента с использованием факториалов следующим образом:
Полиномиальные коэффициенты
Цифры
в теореме фигурируют полиномиальные коэффициенты . Они могут быть выражены множеством способов, в том числе как произведение биномиальных коэффициентов или факториалов :
Сумма всех полиномиальных коэффициентов
Подстановка x i = 1 для всех i в полиномиальную теорему
сразу дает, что
Количество полиномиальных коэффициентов
Количество членов в полиномиальной сумме # n , m равно количеству одночленов степени n от переменных x 1 ,…, x m :
Подсчет легко производится методом звездочек и столбиков .
Оценка полиномиальных коэффициентов
Наибольшая степень простого числа, которое делит полиномиальный коэффициент, может быть вычислена с использованием обобщения теоремы Куммера .
Интерпретации
Способы складывать предметы в мусорные ведра
Мультиномиальные коэффициенты имеют прямую комбинаторную интерпретацию, как количество способов размещения n различных объектов в m различных ячеек, где k 1 объектов в первой ячейке, k 2 объектов во второй ячейке и т. Д.
Количество способов выбора в зависимости от распределения
В статистической механике и комбинаторике, если имеется несколько распределений меток, то полиномиальные коэффициенты естественным образом возникают из биномиальных коэффициентов. Учитывая числовое распределение { n i } в наборе из N общих элементов, n i представляет количество элементов, которым должна быть присвоена метка i . (В статистической механике i - обозначение энергетического состояния.)
Количество аранжировок определяется по
- Выбор n 1 из общего числа N для пометки 1. Это можно сделать разными способами.
- Из оставшихся N - n 1 элементов выберите n 2 для обозначения 2. Это можно сделать разными способами.
- Из оставшихся N - n 1 - n 2 элементов выберите n 3 для обозначения 3. Опять же, это можно сделать разными способами.
Умножение количества вариантов на каждом этапе дает:
Отмена приводит к формуле, приведенной выше.
Количество уникальных перестановок слов
Полиномиальный коэффициент как произведение биномиальных коэффициентов, считая перестановки букв MISSISSIPPI.
Мультиномиальный коэффициент также число различных способов переставить с мультимножеством из п элементов, где K я это кратность каждых из I - го элемента. Например, количество различных перестановок букв слова MISSISSIPPI, которое имеет 1 M, 4 Is, 4 Ss и 2 Ps, равно
Обобщенный треугольник Паскаля
Можно использовать мультиномиальную теорему обобщать треугольник Паскаля или пирамиду Паскаля в симплекс Паскаля . Это обеспечивает быстрый способ создания таблицы поиска для полиномиальных коэффициентов.
Смотрите также
использованная литература