Группа Матье - Mathieu group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В теории групп , теме абстрактной алгебры , группы Матье - это пять спорадических простых групп M ₁₁ , M ₁₂ , M ₂₂ , M ₂₃ и M _24, введенные Матье  ( 1861 , 1873 ). Они представляют собой многократно транзитивные группы перестановок для 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Они были первыми обнаруженными спорадическими группами.

Иногда обозначения M ₉ , M ₁₀ , M ₂₀ и M ₂₁ используются для связанных групп (которые действуют на наборы из 9, 10, 20 и 21 точки соответственно), а именно для стабилизаторов точек в более крупных группах. Хотя это не спорадические простые группы, они являются подгруппами более крупных групп и могут использоваться для создания более крупных. Джон Конвей показал, что эту последовательность можно продолжить и вверх, получив группоид Матье M _13, действующий на 13 точек. M ₂₁ проста, но не является спорадической группой, поскольку изоморфна PSL (3,4).

История

Матье (1861 , с. 271) ввел группу M ₁₂ как часть исследования кратно транзитивных групп перестановок и кратко упомянул (на стр. 274) группу M ₂₄ , указав ее порядок. В Mathieu (1873) он дал дополнительные подробности, в том числе явные порождающие множества для своих групп, но из его аргументов было нелегко увидеть, что порождаемые группы не являются просто альтернированными группами , и в течение нескольких лет существование его групп было спорным. Миллер (1898) даже опубликовал статью, в которой ошибочно утверждал, что доказывает, что M ₂₄ не существует, хотя вскоре после этого в ( Miller 1900 ) он указал, что его доказательство неверно, и дал доказательство того, что группы Матье просты. Витт ( 1938a , 1938b ) окончательно снял сомнения в существовании этих групп, построив их как последовательные транзитивные расширения групп перестановок, а также групп автоморфизмов систем Штейнера .

После групп Матье не было обнаружено никаких новых спорадических групп до 1965 г., когда была открыта группа J ₁ .

Кратно транзитивные группы

Матье интересовался поиском кратно транзитивных групп перестановок, которые теперь будут определены. Для натурального числа k группа перестановок G, действующая на n точек, является k -транзитивной, если для данных двух наборов точек a ₁ , ... a _k и b ₁ , ... b _k со свойством, что все a _i различны и все b _i различны, существует элемент группы g в G, который отображает a _i в b _i для каждого i между 1 и k . Такая группа называется резко K -транзитивным , если элемент г является уникальным (то есть действие на к -наборам является регулярным , а не просто транзитивным).

M ₂₄ является 5-транзитивным, а M ₁₂ строго 5-транзитивным, при этом другие группы Матье (простые или нет) являются подгруппами, соответствующими стабилизаторам m точек, и, соответственно, имеют более низкую транзитивность ( M ₂₃ является 4-транзитивным и т. Д. .). Это единственные две 5-транзитивные группы, которые не являются ни симметричными, ни знакопеременными группами .

Единственными 4-транзитивными группами являются симметрические группы S _k для k не менее 4, знакопеременные группы A _k для k не менее 6 и группы Матье M ₂₄ , M ₂₃ , M ₁₂ и M ₁₁ . ( Cameron 1999 , стр. 110). Полное доказательство требует классификации конечных простых групп , но некоторые частные случаи известны гораздо дольше.

Это классический результат Иордана , что симметричные и знакопеременные группы (степени к и к  + 2 , соответственно), и M ₁₂ и M ₁₁ являются единственными резко K -транзитивной группы перестановок для к , по меньшей мере 4.

Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы и группы Цассенхауза . Группы Цассенхауза, в частности, включают проективную общую линейную группу проективной прямой над конечным полем, PGL (2, F _q ), которая является строго 3-транзитивной (см. Поперечное отношение ) на элементах. ${\ displaystyle q + 1}$

Таблица порядка и транзитивности

Группа	порядок	Заказ (товар)	Факторизованный заказ	Транзитивность	Простой	Спорадический
M 24	244823040	3 · 16 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24	2 10 · 3 3 · 5 · 7 · 11 · 23	5-переходный	да	спорадический
П 23	10200960	3 · 16 · 20 · 21 · 22 · 23	2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23	4-переходный	да	спорадический
П 22	443520	3 · 16 · 20 · 21 · 22	2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11	3-переходный	да	спорадический
П 21	20160	3 · 16 · 20 · 21	2 6 · 3 2 · 5 · 7	2-переходный	да	≈ PSL 3 (4)
П 20	960	3 · 16 · 20	2 6 · 3 · 5	1-переходный	нет	≈2 4 : А 5
M 12	95040	8 · 9 · 10 · 11 · 12	2 6 · 3 3 · 5 · 11	резко 5-переходный	да	спорадический
П 11	7920	8 · 9 · 10 · 11	2 4 · 3 2 · 5 · 11	резко 4-переходный	да	спорадический
M 10	720	8,9,10	2 4 · 3 2 · 5	резко 3-переходный	почти	M 10 '≈ Высота 6
M 9	72	8,9	2 3 · 3 2	резко 2-транзитивный	нет	≈ БП 3 (2)
M 8	8	8	2 3	точно 1-транзитивный (регулярный)	нет	≈ Q

Конструкции групп Матье

Группы Матье можно строить по-разному.

Группы перестановок

M ₁₂ имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна проективной специальной линейной группе PSL ₂ ( F ₁₁ ) над полем из 11 элементов . Если −1 записано как a, а бесконечность - как b , два стандартных генератора - это (0123456789a) и (0b) (1a) (25) (37) (48) (69). Третий генератор, дающий M _12, отправляет элемент x из F ₁₁ в 4 x ²  - 3 x ⁷ ; как перестановка (26a7) (3945).

Эта группа оказывается не изоморфной какому-либо члену бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M ₁₁ является стабилизатором точки в M ₁₂ и также оказывается спорадической простой группой. M ₁₀ , стабилизатор двух точек, не является спорадической, а представляет собой почти простую группу , коммутатор которой является знакопеременной группой A ₆ . Таким образом, он связан с исключительным внешним автоморфизмом A ₆ . Стабилизатором 3 точек является проективная специальная унитарная группа PSU (3,2 ² ), которая разрешима. Стабилизатором 4 баллов является группа кватернионов .

Аналогично, M ₂₄ имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL ₂ ( F ₂₃ ). Один генератор добавляет 1 к каждому элементу поля (оставляя точку N на бесконечности фиксированной), то есть (0123456789ABCDEFGHIJKLM) ( N ), а другой - перестановка с изменением порядка , (0N) (1M) (2B) (3F) ( 4H) (59) (6J) (7D) (8K) (AG) (CL) (EI). Третий генератор, дающий M _24, отправляет элемент x из F ₂₃ в 4 x ⁴  - 3 x ¹⁵ (который отправляет точные квадраты через и несовершенные квадраты через ); вычисления показывают, что в качестве перестановки это (2G968) (3CDI4) (7HABM) (EJLKF). ${\ displaystyle x ^ {4}}$${\ displaystyle 7x ^ {4}}$

Стабилизаторы 1 и 2 точек, М ₂₃ и М ₂₂ также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор трех точек прост и изоморфен проективной специальной линейной группе PSL ₃ (4).

Эти конструкции цитировал Кармайкл (1956 , стр. 151, 164, 263). Диксон и Мортимер (1996 , с. 209) приписывают перестановки Матье.

Группы автоморфизмов систем Штейнера

С точностью до эквивалентности существует единственная S (5,8,24) система Штейнера W ₂₄ ( план Витта ). Группа M ₂₄ является группой автоморфизмов этой системы Штейнера; то есть набор перестановок, которые отображают каждый блок в какой-то другой блок. Подгруппы M ₂₃ и M ₂₂ определены как стабилизаторы одной точки и двух точек соответственно.

Аналогично существует с точностью до эквивалентности единственная S (5,6,12) система Штейнера W ₁₂ , и группа M ₁₂ является ее группой автоморфизмов. Подгруппа M ₁₁ является стабилизатором точки.

W ₁₂ может быть построен из аффинной геометрии на векторном пространстве F ₃ × F ₃ , системе S (2,3,9).

Альтернативная конструкция W ₁₂ - «Котенок» Кертиса (1984) .

Введение в конструкцию W _{24 с} помощью Miracle Octad Generator от RT Curtis и аналог Конвея для W ₁₂ , miniMOG, можно найти в книге Конвея и Слоана .

Группы автоморфизмов на коде Голея

Группа M ₂₄ является перестановкой группа автоморфизмов из расширенного двоичного кода Голея W , то есть группа перестановок на 24 координат, отображение W к себе. Все группы Матье могут быть построены как группы перестановок двоичного кода Голея.

M ₁₂ имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, а M ₁₂ : 2 изоморфен подгруппе в M ₂₄ . M ₁₂ - стабилизатор додекады , кодовое слово 12 единиц ; M ₁₂ : 2 стабилизирует разделение на 2 дополнительных додекады.

Между группами Матье и более крупными группами Конвея существует естественная связь , потому что решетка Пиявки была построена на двоичном коде Голея и фактически оба лежат в пространствах размерности 24. Группы Конвея, в свою очередь, находятся в группе Монстров . Роберт Грисс называет 20 спорадических групп, обнаруженных в «Монстре», « Счастливой семьей» , а группы Матье - первым поколением .

Детские аксессуары

Группы Матье могут быть построены с помощью детских рисунков , при этом рисунок, связанный с M _12, предположительно назван Ле Брюном (2007) «Monsieur Mathieu» .

использованная литература

• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1, Руководство по ремонту  0075938
• Choi, К. (май 1972), "О подгруппах М ₂₄ I:. Стабилизаторы подмножеств", Труды Американского математического общества , 167 : 1-27, DOI : 10,2307 / 1996123 , JSTOR  1996123
• Чой, К. (май 1972b). «О подгруппах в M _24. II: максимальные подгруппы в M ₂₄ ». Труды Американского математического общества . 167 : 29–47. DOI : 10.2307 / 1996124 . JSTOR  1996124 .
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» , в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, Руководство по ремонту  0338152Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
• Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR  0827219
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR  0920369
• Кертис, RT (1976), "Новый комбинаторный подход к M₂₄", Математические слушания Кембриджского философского общества , 79 (1): 25–42, DOI : 10.1017 / S0305004100052075 , ISSN  0305-0041 , MR  0399247
• Кертис, РТ (1977), "Максимальные подгруппы M₂₄", Математическая Труды Кембриджского философского общества , 81 (2): 185-192, DOI : 10,1017 / S0305004100053251 , ISSN  0305-0041 , МР  0439926
• Кертис, RT (1984), «Система Штейнера S (5, 6, 12), группа Матье M₁₂ и« котенок » » , в Аткинсоне, Майкл Д. (ред.), Вычислительная теория групп. Труды симпозиума Лондонского математического общества, проходившего в Дареме 30 июля - 9 августа 1982 г. , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 353–358, ISBN 978-0-12-066270-8, Руководство по ремонту  0760669
• Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, 163 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6, Руководство по ремонту  1409812
• Фробениус, Фердинанд Георг (1904), Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen , Berline Berichte, Mouton De Gruyter, стр. 558–571, ISBN 978-3-11-109790-9
• Джилл, Ник; Хьюз, Сэм (2019), «Символ таблица резко 5-транзитивной подгруппе знакопеременной группы степени 12», Международный журнал теории групп , DOI : 10,22108 / IJGT.2019.115366.1531
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, Руководство по ремонту  1707296
• Хьюз, Сэм (2018), Теория представлений и характеров малых групп Матье (PDF)
• Матьё, Эмиль (1861 г.), «Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменяемые» , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
• Матья, Эмиль (1873), "Sur ла fonction Cinq фу транзитивная де 24 quantités" , Журнал де Mathématiques Pures и др Appliqué (на французском языке), 18 : 25-46, JFM  05.0088.01
• Миллер, Г.А. (1898), «О предполагаемой пятикратной транзитивной функции 24 элементов и 19! / 48 значений». , Вестник математики , 27 : 187–190.
• Миллер, Джорджия (1900), "Sur plusieurs groupes simples" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 28 : 266–267, doi : 10.24033 / bsmf.635
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и чудовище , Оксфорд, ISBN 978-0-19-280722-9 (введение для непрофессионального читателя, описывающее группы Матьё в историческом контексте)
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковку сфер до простых групп , Математические монографии Каруса, 21 , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7, Руководство по ремонту  0749038
• Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen семинар - дер - Universität Hamburg , 12 : 265-275, DOI : 10.1007 / BF02948948 , ISSN  0025-5858
• Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-FACH transitiven Gruppen фон Матьё", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen семинар - дер - Universität Hamburg , 12 : 256-264, DOI : 10.1007 / BF02948947

внешние ссылки

• АТЛАС: Матьё группа М ₁₀
• АТЛАС: Матьё группа M ₁₁
• АТЛАС: Матьё группа М ₁₂
• АТЛАС: Матьё группа М ₂₀
• АТЛАС: Матьё группа M ₂₁
• АТЛАС: Матьё группа M ₂₂
• АТЛАС: Матьё группа M ₂₃
• АТЛАС: Матьё группа М ₂₄
• le Bruyn, Lieven (2007), Monsieur Mathieu , заархивировано из оригинала 01.05.2010
• Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M ₂₄ , извлечено 15 апреля 2010 г.
• Матьё группа M ₉ на GroupNames
• Scientific American Набор головоломок, основанный на математике групп Матье.
• Спорадический M12 Приложение для iPhone, которое реализует головоломки на основе M ₁₂ , представленные как одна перестановка «вращения» и выбираемая перестановка «перестановки».