Автоморфизмы симметрической и знакопеременной групп - Automorphisms of the symmetric and alternating groups

В теории групп , ветвь математики , в автоморфизмов и внешних автоморфизмов этих симметрических групп и знакопеременных групп как стандартные примеры этих автоморфизмов и объекты изучения в их собственном праве, в частности , исключительный внешний автоморфизм S ₆ , симметрической группы на 6 элементов.

Резюме

${\ displaystyle n}$	${\ Displaystyle \ OperatorName {Aut} (\ mathrm {S} _ {n})}$	${\ displaystyle \ operatorname {Out} (\ mathrm {S} _ {n})}$
${\ Displaystyle п \ neq 2,6}$	${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {п}}$	${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {1}}$
${\ displaystyle n = 2}$	${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {1}}$	${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {1}}$
${\ displaystyle n = 6}$	${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {6} \ rtimes \ mathrm {C} _ {2}}$	${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {2}}$

${\ displaystyle n}$	${\ Displaystyle \ OperatorName {Aut} (\ mathrm {A} _ {n})}$	${\ displaystyle \ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {n})}$
${\ Displaystyle п \ geq 4, п \ neq 6}$	${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {п}}$	${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {2}}$
${\ displaystyle n = 1,2}$	${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {1}}$	${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {1}}$
${\ displaystyle n = 3}$	${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {2}}$	${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {2}}$
${\ displaystyle n = 6}$	${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {6} \ rtimes \ mathrm {C} _ {2}}$	${\ Displaystyle \ mathrm {V} = \ mathrm {C} _ {2} \ times \ mathrm {C} _ {2}}$

Общий случай

${\ Displaystyle п \ neq 2,6}$ : , и таким образом . ${\ Displaystyle \ OperatorName {Aut} (\ mathrm {S} _ {n}) = \ mathrm {S} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Out} (\ mathrm {S} _ {n}) = \ mathrm {C} _ {1}}$

Формально, это полное и естественное отображение является изоморфизмом.

{\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {п}}

{\ displaystyle \ mathrm {S} _ {n} \ to \ operatorname {Aut} (\ mathrm {S} _ {n})}

${\ Displaystyle п \ neq 1,2,6}$ : , а внешний автоморфизм сопряжен нечетной перестановкой . ${\ displaystyle \ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {n}) = \ mathrm {S} _ {n} / \ mathrm {A} _ {n} = \ mathrm {C} _ {2}}$
${\ Displaystyle п \ neq 2,3,6}$ : ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathrm {A} _ {n}) = \ operatorname {Aut} (\ mathrm {S} _ {n}) = \ mathrm {S} _ {n}}$

В самом деле, естественные отображения являются изоморфизмами.

{\ displaystyle \ mathrm {S} _ {n} \ to \ operatorname {Aut} (\ mathrm {S} _ {n}) \ to \ operatorname {Aut} (\ mathrm {A} _ {n})}

Исключительные случаи

${\ displaystyle n = 1,2}$ : тривиально:

{\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathrm {S} _ {1}) = \ operatorname {Out} (\ mathrm {S} _ {1}) = \ operatorname {Aut} (\ mathrm {A} _ { 1}) = \ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {1}) = \ mathrm {C} _ {1}}

{\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathrm {S} _ {2}) = \ operatorname {Out} (\ mathrm {S} _ {2}) = \ operatorname {Aut} (\ mathrm {A} _ { 2}) = \ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {2}) = \ mathrm {C} _ {1}}

${\ displaystyle n = 3}$ : ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathrm {A} _ {3}) = \ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {3}) = \ mathrm {S} _ {3} / \ mathrm { A} _ {3} = \ mathrm {C} _ {2}}$
${\ displaystyle n = 6}$ : , и является полупрямым продуктом . ${\ displaystyle \ operatorname {Out} (\ mathrm {S} _ {6}) = \ mathrm {C} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathrm {S} _ {6}) = \ mathrm {S} _ {6} \ rtimes \ mathrm {C} _ {2}}$
${\ displaystyle n = 6}$ : , и ${\ displaystyle \ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {6}) = \ mathrm {C} _ {2} \ times \ mathrm {C} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (\ mathrm {A} _ {6}) = \ operatorname {Aut} (\ mathrm {S} _ {6}) = \ mathrm {S} _ {6} \ rtimes \ mathrm {C} _ {2}.}$

Исключительный внешний автоморфизм S ₆

Среди симметрических групп только S ₆ имеет нетривиальный внешний автоморфизм, который можно назвать исключительным (по аналогии с исключительными алгебрами Ли ) или экзотическим . Фактически, Out (S ₆ ) = C ₂ .

Это было обнаружено Отто Гёльдером в 1895 году.

Специфика внешнего автоморфизма такова:

единственная перестановка идентичности отображается на себя;
2-цикл, такой как (1 2), отображается в произведение трех 2-циклов, таких как (1 2) (3 4) (5 6), и наоборот, имеется 15 перестановок в каждом направлении;
3-цикл, такой как (1 2 3), отображается в продукт двух 3-циклов, таких как (1 4 5) (2 6 3), и наоборот, с учетом 40 перестановок в каждом направлении;
4-цикл, такой как (1 2 3 4), отображается в другой 4-цикл, такой как (1 6 2 4) с учетом 90 перестановок;
произведение двух 2-циклов, таких как (1 2) (3 4), отображается в другой продукт двух 2-циклов, таких как (3 5) (4 6), что составляет 45 перестановок;
5-цикл, такой как (1 2 3 4 5), отображается в другие 5-циклы, такой как (1 3 6 5 2) с учетом 144 перестановок;
произведение 2-цикла и 3-цикла, такого как (1 2 3) (4 5), отображается в 6-цикл, такой как (1 2 5 3 4 6), и наоборот, с учетом 120 перестановок в каждую сторону;
произведение 2-цикла и 4-цикла, такого как (1 2 3 4) (5 6), отображается на другую такую перестановку, такую как (1 4 2 6) (3 5), с учетом 90 оставшихся перестановок.

Таким образом, учтены все 720 перестановок на 6 элементах. Внешний автоморфизм не сохраняет структуру цикла в целом, отображая отдельные циклы на продукт двух циклов и наоборот.

Это также дает другой внешний автоморфизм A ₆ , и это единственный исключительный внешний автоморфизм конечной простой группы: для бесконечных семейств простых групп существуют формулы для числа внешних автоморфизмов, а для простой группы порядка 360 мыслимый как A ₆ , можно ожидать, что он будет иметь два внешних автоморфизма, а не четыре. Однако, когда A ₆ рассматривается как PSL (2, 9), группа внешних автоморфизмов имеет ожидаемый порядок. (Для спорадических групп, т. Е. Тех, которые не попадают в бесконечное семейство, понятие исключительного внешнего автоморфизма не определено, поскольку нет общей формулы.)

Строительство

Существует множество построек, перечисленных в ( Janusz & Rotman 1982 ).

Обратите внимание, что как внешний автоморфизм, это класс автоморфизмов, хорошо определенных только с точностью до внутреннего автоморфизма, поэтому нет естественного для записи.

Один из способов:

Построить экзотическую карту (вложение) S ₅ → S ₆ ; см. ниже
S ₆ действует сопряжением на шесть сопряженных элементов этой подгруппы, давая отображение S ₆ → S _X , где X - множество сопряженных элементов. Отождествление X с числами 1, ..., 6 (что зависит от выбора нумерации сопряженных, т. Е. С точностью до элемента S ₆ (внутренний автоморфизм)) дает внешний автоморфизм S ₆ → S ₆ .
Это отображение является внешним автоморфизмом, поскольку транспонирование не отображается в транспонирование, но внутренние автоморфизмы сохраняют структуру цикла.

Далее можно работать с действием умножения на смежных классах или действием сопряжения на конъюгатах.

Чтобы увидеть, что S ₆ имеет внешний автоморфизм, напомним, что гомоморфизмы из группы G в симметрическую группу S _n по существу такие же, как действия G на множестве из n элементов, и тогда подгруппа, фиксирующая точку, является подгруппой индекса в большинстве п в G . Наоборот, если у нас есть подгруппа индекса n в G , действие на смежных классах дает транзитивное действие G на n точках и, следовательно, гомоморфизм в S _n .

Построение из разбиений графа

Перед более математически строгими построениями это помогает понять простую конструкцию.

Возьмем полный граф с 6 вершинами, K ₆ . Он имеет 15 ребер, которые можно разделить на идеальные совпадения 15 различными способами, каждое идеальное совпадение представляет собой набор из трех ребер, два из которых не имеют общей вершины. Можно найти набор из 5 совершенных сопоставлений из набора из 15 таких, что никакие два сопоставления не имеют общего ребра, и что между ними включены все 5 × 3 = 15 ребер графа; эту факторизацию графа можно выполнить 6 различными способами.

Рассмотрим перестановку 6 вершин и увидим ее влияние на 6 различных факторизаций. Мы получаем карту от 720 входных перестановок до 720 выходных перестановок. Это отображение в точности является внешним автоморфизмом S ₆ .

Как автоморфизм, отображение должно сохранять порядок элементов, но не сохраняет структуру цикла. Например, 2-цикл отображается в продукт трех 2-циклов; легко увидеть, что 2-цикл каким-то образом влияет на все 6 факторизаций графа и, следовательно, не имеет фиксированных точек, если рассматривать его как перестановку факторизаций. Тот факт, что этот автоморфизм вообще можно построить, основан на большом количестве числовых совпадений, которые применимы только к n = 6 .

Экзотическая карта S ₅ → S ₆

В S ₆ есть подгруппа (действительно, 6 сопряженных подгрупп), которая абстрактно изоморфна S ₅ , но действует транзитивно как подгруппы S ₆ на множестве из 6 элементов. (Изображение очевидного отображения S _n → S _{n +1} фиксирует элемент и, следовательно, не является транзитивным.)

Силовские 5-подгруппы

Януш и Ротман строят его так:

S ₅ действует транзитивно путем сопряжения на множестве своих 6 силовских 5-подгрупп , что дает вложение S ₅ → S ₆ как транзитивную подгруппу порядка 120.

Это следует из проверки 5-циклов: каждый 5-цикл порождает группу порядка 5 (таким образом, силовскую подгруппу), имеется 5! / 5 = 120/5 = 24 5-циклов, что дает 6 подгрупп (поскольку каждая подгруппа также включает тождество), а S _n действует транзитивно сопряжением на множестве циклов данного класса, следовательно, транзитивно сопряжением на этих подгруппах.

В качестве альтернативы можно использовать теоремы Силова, которые в общем утверждают, что все силовские p-подгруппы сопряжены.

PGL (2,5)

Проективное линейная группа размерности два над конечным полем с пятью элементами, PGL (2, 5), действует на проективной прямой над полем с пятью элементами, P ¹ ( F ₅ ), который имеет шесть элементов. Далее, это действие точное и 3- транзитивное , как всегда для действия проективной линейной группы на проективной прямой. Это дает отображение PGL (2, 5) → S ₆ как транзитивную подгруппу. Отождествление PGL (2, 5) с S ₅ и проективной специальной линейной группы PSL (2, 5) с A ₅ дает искомые экзотические отображения S ₅ → S ₆ и A ₅ → A ₆ .

Следуя той же философии, можно реализовать внешний автоморфизм как следующие два неэквивалентных действия S ₆ на множестве из шести элементов:

обычное действие как группа перестановок;
шесть неэквивалентных структур абстрактного 6-элементного множества как проективная прямая P ¹ ( F ₅ ) - прямая имеет 6 точек, а проективная линейная группа действует 3-транзитивно, поэтому, зафиксировав 3 точки, будет 3! = 6 различных способов расставить оставшиеся 3 точки, что дает желаемое альтернативное действие.

Группа Фробениуса

Другой способ: чтобы построить внешний автоморфизм S ₆ , нам нужно построить «необычную» подгруппу индекса 6 в S ₆ , другими словами, такую, которая не является одной из шести очевидных подгрупп S _5, фиксирующих точку (которые просто соответствуют внутренним автоморфизмам S ₆ ).

Группа Фробениуса из аффинных преобразований из F ₅ (карты х ах + Ь , где ≠ 0) имеет порядок 20 = (5 - 1) · 5 и действует на поле с 5 элементов, следовательно , является подгруппой S ₅ . (Действительно, это нормализатор силовской 5-группы, упомянутой выше, рассматриваемой как группа переводов F ₅ порядка _5. ) ${\ displaystyle \ mapsto}$

S ₅ действует транзитивно в пространстве смежных классов, которое представляет собой набор из 120/20 = 6 элементов (или путем сопряжения, что дает действие, описанное выше).

Прочие конструкции

Эрнст Витт нашел копию Aut (S ₆ ) в группе Матье M ₁₂ (подгруппа T, изоморфная S _6, и элемент σ, который нормализует T и действует внешним автоморфизмом). Подобно S _6, действующему на множестве из 6 элементов двумя разными способами (имеющим внешний автоморфизм), M ₁₂ действует на множестве из 12 элементов 2 различными способами (имеет внешний автоморфизм), хотя, поскольку M ₁₂ сам является исключительным, этот внешний автоморфизм сам по себе не считается исключительным.

Полная группа автоморфизмов A ₆ естественным образом появляется как максимальная подгруппа группы Матье M ₁₂ двумя способами: либо как подгруппа, фиксирующая деление 12 точек на пару из 6-элементных множеств, либо как подгруппа, фиксирующая подмножество 2 балла.

Другой способ увидеть, что S ₆ имеет нетривиальный внешний автоморфизм, - это использовать тот факт, что A ₆ изоморфен PSL ₂ (9), группа автоморфизмов которого является проективной полулинейной группой PΓL ₂ (9), в которой PSL ₂ (9) имеет индекс 4, что дает группу внешних автоморфизмов порядка 4. Самый наглядный способ увидеть этот автоморфизм - дать интерпретацию через алгебраическую геометрию над конечными полями, как показано ниже. Рассмотрим действие S ₆ на аффинном 6-пространстве над полем k из 3 элементов. Это действие сохраняет несколько вещей: гиперплоскость H, на которой сумма координат равна 0, прямая L в H, где все координаты совпадают, и квадратичная форма q, заданная суммой квадратов всех 6 координат. Ограничение q на H имеет дефектную линию L , поэтому существует индуцированная квадратичная форма Q на 4-мерном H / L, которая, как проверяется, является невырожденной и нерасщепляемой. Нулевая схема Q в H / L определяет гладкую квадратичную поверхность X в ассоциированном проективном 3-пространстве над k . Над алгебраического замыкания к , X представляет собой произведение двух проективных прямых, так по родовому аргументу X является ограничение Weil на K проективных прямой над квадратичным этальна алгеброй K . Поскольку Q не расщепляется над k , вспомогательный аргумент со специальными ортогональными группами над k заставляет K быть полем (а не произведением двух копий k ). Естественное S ₆ -действие на все, что находится в поле зрения, определяет отображение S ₆ в группу k -автоморфизмов X , которая является полупрямым произведением G PGL ₂ ( K ) = PGL ₂ (9) против инволюции Галуа. Это отображение переносит простую группу A ₆ нетривиально в (следовательно, на) подгруппу PSL ₂ (9) индекса 4 в полупрямом произведении G , поэтому S ₆ идентифицируется как подгруппа индекса 2 группы G (а именно, подгруппа группы G, порожденная PSL ₂ (9) и инволюцией Галуа). Сопряжение любым элементом группы G вне S ₆ определяет нетривиальный внешний автоморфизм группы S ₆ .

Структура внешнего автоморфизма

О циклах, он обменивается перестановки типа (12) с (12) (34) (56) (класс 2 : ¹ с 2 -го класса ³ ), а также типа (123) с (145) (263) (класс 3 ¹ с классом 3 ² ). Внешний автоморфизм также меняет перестановки типа (12) (345) на (123456) (класс 2 ¹ 3 ¹ с классом 6 ¹ ). Для каждого из других типов цикла в S ₆ внешний автоморфизм фиксирует класс перестановок типа цикла.

На A ₆ он меняет местами 3-циклы (например, (123)) с элементами класса 3 ² (например, (123) (456)).

Никаких других внешних автоморфизмов

Чтобы убедиться, что ни одна из других симметрических групп не имеет внешних автоморфизмов, проще всего выполнить два шага:

Сначала покажем, что любой автоморфизм, сохраняющий класс сопряженности транспозиций, является внутренним автоморфизмом. (Это также показывает, что внешний автоморфизм S ₆ уникален; см. Ниже.) Обратите внимание, что автоморфизм должен отправлять каждый класс сопряженности (характеризуемый циклической структурой, которую разделяют его элементы) в (возможно, другой) класс сопряженности.
Во-вторых, покажите, что каждый автоморфизм (кроме указанного выше для S ₆ ) стабилизирует класс транспозиций.

Последнее можно показать двумя способами:

Для каждой симметрической группы, отличной от S ₆ , не существует другого класса сопряженности, состоящего из элементов порядка 2, который имеет такое же количество элементов, как класс транспозиций.
Или так:

Каждая перестановка второго порядка (называемая инволюцией ) является произведением k > 0 непересекающихся транспозиций, так что она имеет циклическую структуру 2 ^k 1 ^{n −2 k} . Что особенного в классе транспозиций ( k = 1)?

Если образуется произведение двух различных транспозиций τ ₁ и τ ₂ , то всегда получается либо 3-цикл, либо перестановка типа 2 ² 1 ^{n −4} , поэтому порядок произведенных элементов равен 2 или 3. На с другой стороны, если сформировать произведение двух различных инволюций σ ₁ , σ ₂ типа k > 1 , то при n ≥ 7 всегда можно получить элемент порядка 6, 7 или 4 следующим образом. Мы можем сделать так, чтобы продукт содержал либо

два 2-цикла и 3-цикл (для k = 2 и n ≥ 7)
7-цикл (для k = 3 и n ≥ 7)
два 4-цикла (для k = 4 и n ≥ 8)

Для k ≥ 5 присоедините к перестановкам σ ₁ , σ ₂ из последнего примера избыточные 2-циклы, которые компенсируют друг друга, и мы все равно получим два 4-цикла.

Приходим к противоречию, потому что если класс транспозиций через автоморфизм f переводится в класс инволюций, у которых k > 1, то существуют две транспозиции τ ₁ , τ ₂ такие, что f ( τ ₁ ) f ( τ ₂ ) имеет порядок 6, 7 или 4, но мы знаем, что τ ₁ τ ₂ имеет порядок 2 или 3.

Никаких других внешних автоморфизмов S ₆

S ₆ имеет ровно один (класс) внешних автоморфизмов: Out (S ₆ ) = C ₂ .

Чтобы убедиться в этом, заметьте, что существует только два класса сопряженности S ₆ размера 15: транспозиции и классы класса 2 ³ . Каждый элемент Aut (S ₆ ) либо сохраняет каждый из этих классов сопряженности, либо меняет их местами. Любой представитель построенного выше внешнего автоморфизма меняет классы сопряженности, тогда как подгруппа индекса 2 стабилизирует транспозиции. Но автоморфизм, стабилизирующий транспозиции, является внутренним, поэтому внутренние автоморфизмы образуют подгруппу индекса 2 в Aut (S ₆ ), поэтому Out (S ₆ ) = C ₂ .

Более кратко: автоморфизм, который стабилизирует транспозиции, является внутренним, и существует только два класса сопряженности порядка 15 (транспозиции и тройные транспозиции), следовательно, группа внешних автоморфизмов не выше порядка 2.

Маленький n

Симметричный

При n = 2 S ₂ = C ₂ = Z / 2 и группа автоморфизмов тривиальна (очевидно, но более формально, потому что Aut ( Z / 2) = GL (1, Z / 2) = Z / 2 ^* = C ₁ ). Внутренняя группа автоморфизмов, таким образом , также тривиально (и потому , что S ₂ абелева).

Чередование

Для n = 1 и 2 A ₁ = A ₂ = C ₁ тривиальна, поэтому группа автоморфизмов также тривиальна. При n = 3 A ₃ = C ₃ = Z / 3 абелева (и циклическая): группа автоморфизмов GL (1, Z / 3 ^* ) = C ₂ , а группа внутренних автоморфизмов тривиальна (поскольку она абелева ).

Заметки

↑ Януш и Ротман, 1982 .
^ ^a ^b Лам, Т.Ю. , и Лип, Д.Б. (1993). «Комбинаторная структура на группе автоморфизмов S ₆ ». Expositiones Mathematicae , 11 (4), 289–308.
↑ Отто Гёльдер (1895), «Bildung zusammengesetzter Gruppen», Mathematische Annalen , 46, 321–422.
^ ATLAS стр. xvi
^ Карнахан, Скотт (2007-10-27), «Маленькие конечные множества» , Секретный семинар по ведению блогов , примечания к докладу Жан-Пьера Серра . CS1 maint: postscript ( ссылка )
^ Снайдер, Ноа (2007-10-28), "Внешний автоморфизм S ₆ " , секретный семинар по ведению блогов

Languages

In other projects

Автоморфизмы симметрической и знакопеременной групп - Automorphisms of the symmetric and alternating groups

СОДЕРЖАНИЕ