Трансцендентальная функция - Transcendental function

В математике , трансцендентная функция является аналитической функцией , которая не удовлетворяет полиномиальное уравнение, в отличие от алгебраической функции . Другими словами, трансцендентная функция «превосходит» алгебру в том смысле, что ее нельзя выразить в терминах конечной последовательности алгебраических операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня .

Примеры трансцендентных функций включают экспоненциальную функцию , логарифм и тригонометрические функции .

Определение

Формально аналитическая функция f ( z ) одной действительной или комплексной переменной z является трансцендентной, если она алгебраически не зависит от этой переменной. Это может быть распространено на функции нескольких переменных.

История

Трансцендентные функции синуса и косинуса были сведены в таблицу на основе физических измерений в древности, о чем свидетельствуют Греция ( Гиппарх ) и Индия ( джья и коти-джья ). Описывая таблицу аккордов Птолемея , эквивалентную таблице синусов, Олаф Педерсен писал:

Математическое понятие непрерывности как явное понятие неизвестно Птолемею. То, что он фактически рассматривает эти функции как непрерывные, следует из его невысказанного предположения, что можно определить значение зависимой переменной, соответствующее любому значению независимой переменной, с помощью простого процесса линейной интерполяции .

Революционное понимание этих круговых функций произошло в 17 веке и было изложено Леонардом Эйлером в 1748 году в его « Введении в анализ бесконечного» . Эти древние функции трансцендентные стали известны как непрерывные функции по квадратуре из прямоугольной гиперболы ху = 1 по Грегуар де Сен-Винсент в 1647, после того, как две тысячи Архимеда было произведено квадратуре параболы .

Было показано, что область под гиперболой имеет свойство масштабирования постоянной площади при постоянном соотношении границ. Функция гиперболического логарифма, описанная таким образом, имела ограниченную службу до 1748 года, когда Леонард Эйлер связал ее с функциями, в которых константа возводится в степень переменной степени, например, экспоненциальной функции, в которой основание константы равно e . Введя эти трансцендентные функции и отметив свойство взаимно однозначности, которое подразумевает обратную функцию , было предоставлено некоторое средство для алгебраических манипуляций с натуральным логарифмом, даже если это не алгебраическая функция.

Записана экспоненциальная функция . Эйлер отождествил его с бесконечной серией , где k ! обозначает факториал о к .

Четные и нечетные члены этого ряда дают суммы, обозначающие cosh ( x ) и sinh ( x ), так что . Эти трансцендентные гиперболические функции могут быть преобразованы в круговые функции синуса и косинуса путем введения (−1) k в ряд, что приводит к чередующемуся ряду . После Эйлера математики рассматривают синус и косинус таким образом, чтобы связать трансцендентность с функциями логарифма и экспоненты, часто через формулу Эйлера в арифметике комплексных чисел .

Примеры

Следующие функции трансцендентны:

В частности, для f 2, если мы положим c равным e , основанию натурального логарифма , то получим, что e x является трансцендентной функцией. Точно так же, если мы установим c равным e в f 5 , то мы получим, что (то есть натуральный логарифм ) является трансцендентной функцией.

Алгебраические и трансцендентные функции

Наиболее известные трансцендентные функции - это логарифм , экспонента (с любым нетривиальным основанием), тригонометрические и гиперболические функции , а также их обратные значения. Менее знакомы являются специальные функции из анализа , такие как гамма , эллиптические и дзета - функций , все из которых являются трансцендентными. В обобщенной гипергеометрической и Бесселе функции трансцендентные в целом, но алгебраическая для некоторых специальных значений параметров.

Функция, не являющаяся трансцендентной, называется алгебраической . Простыми примерами алгебраических функций являются рациональные функции и функция извлечения квадратного корня , но в общем случае алгебраические функции не могут быть определены как конечные формулы элементарных функций.

Неопределенный интеграл от многих алгебраических функций является трансцендентным. Например, функция логарифма возникла из обратной функции в попытке найти площадь гиперболического сектора .

Дифференциальная алгебра исследует, как интеграция часто создает функции, которые алгебраически независимы от некоторого класса, например, когда в качестве переменных принимаются полиномы с тригонометрическими функциями.

Трансцендентно трансцендентные функции

Наиболее известные трансцендентные функции, включая специальные функции математической физики, являются решениями алгебраических дифференциальных уравнений . Те, что не являются, такие как гамма и дзета- функции, называются трансцендентно трансцендентными или гипертрансцендентальными функциями.

Исключительный набор

Если - алгебраическая функция и является алгебраическим числом, то также является алгебраическим числом. Обратное неверно: существуют целые трансцендентные функции такие, которые являются алгебраическим числом для любой алгебраической. Для данной трансцендентной функции множество алгебраических чисел, дающих алгебраические результаты, называется исключительным множеством этой функции. Формально это определяется:

Во многих случаях исключительный набор довольно невелик. Например, это было доказано Линдеманом в 1882 году. В частности, exp (1) = e трансцендентно. Кроме того, поскольку exp ( ) = −1 является алгебраическим, мы знаем, что не может быть алгебраическим. Поскольку i алгебраическое, отсюда следует, что π - трансцендентное число .

В общем, поиск исключительного набора функции - сложная проблема, но если его можно вычислить, то это часто может привести к результатам в трансцендентной теории чисел . Вот еще несколько известных исключительных наборов:

  • J -инвариант Клейна
    где Н является верхней полуплоскости , и [ Q ( α ): Q ] является степень из числового поля Q ( & alpha ; ). Этот результат принадлежит Теодору Шнайдеру .
  • Экспоненциальная функция по основанию 2:
    Этот результат является следствием теоремы Гельфонда – Шнайдера , которая утверждает, что если алгебраический, алгебраический и иррациональный, то трансцендентный. Таким образом, функция 2 x может быть заменена на c x для любого алгебраического c, не равного 0 или 1. Действительно, мы имеем:
  • Следствием гипотезы Шануэля в трансцендентной теории чисел было бы это .
  • Функция с пустым исключительным множеством, не требующая предположения о гипотезе Шануэля .

При расчете исключительного набора для данной функции не так легко, как известно , что при любом подмножестве алгебраических чисел, скажем А , есть трансцендентальная функция, исключительный набор . Подмножество не обязательно должно быть правильным, это означает, что A может быть набором алгебраических чисел. Это прямо означает, что существуют трансцендентные функции, которые производят трансцендентные числа только тогда, когда даны трансцендентные числа. Алекс Уилки также доказал, что существуют трансцендентные функции, для которых логических доказательств трансцендентности первого порядка не существует, предоставив примерную аналитическую функцию .

Размерный анализ

В анализе размерностей трансцендентные функции примечательны тем, что они имеют смысл только тогда, когда их аргумент безразмерен (возможно, после алгебраической редукции). Из-за этого трансцендентные функции могут быть легко обнаруживаемым источником размерных ошибок. Например, бревно (5 метров) - бессмысленное выражение, в отличие от бревна (5 метров / 3 метра) или бревна (3) метра. Можно попытаться применить логарифмическую идентичность для получения log (5) + log (метров), что подчеркивает проблему: применение неалгебраической операции к измерению дает бессмысленные результаты.

Смотрите также

Рекомендации

Внешние ссылки