Интеграция с дисками - Disc integration

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

Интеграция диска , также известная в интегральном исчислении как метода диска , является методом расчета объема о наличии тела вращения из твердотельного материала , когда интегрирующие вдоль оси «параллельно» к оси вращения . Этот метод моделирует полученную трехмерную форму как стопку из бесконечного числа дисков разного радиуса и бесконечно малой толщины. Также можно использовать те же принципы с кольцами вместо дисков (« метод шайбы ») для получения полых тел вращения. Это отличается от интеграции оболочки , которая объединяется вдоль оси, перпендикулярной оси вращения.

Определение

Функция x

Если функция, которую нужно повернуть, является функцией x , следующий интеграл представляет объем тела вращения:

${\ displaystyle \ pi \ int _ {a} ^ {b} R (x) ^ {2} \, dx}$

где R ( x ) - расстояние между функцией и осью вращения. Это работает, только если ось вращения горизонтальна (пример: y = 3 или какая-то другая константа).

Функция y

Если функция, которую нужно повернуть, является функцией y , следующий интеграл будет определять объем тела вращения:

${\ displaystyle \ pi \ int _ {c} ^ {d} R (y) ^ {2} \, dy}$

где R ( y ) - расстояние между функцией и осью вращения. Это работает, только если ось вращения вертикальна (пример: x = 4 или некоторая другая константа).

Метод мойки

Чтобы получить полое тело вращения («метод шайбы»), необходимо взять объем внутреннего тела вращения и вычесть его из объема внешнего тела вращения. Это можно вычислить с помощью одного интеграла, подобного следующему:

${\ displaystyle \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left (R _ {\ mathrm {O}} (x) ^ {2} -R _ {\ mathrm {I}} (x) ^ {2} \ вправо) \, dx}$

где R _O ( x ) - функция, наиболее удаленная от оси вращения, а R _I ( x ) - функция, которая находится ближе всего к оси вращения. Например, на следующем рисунке показано вращение по оси x красного «листа», заключенного между квадратным корнем и квадратичной кривыми:

Объем этого твердого вещества составляет:

${\ displaystyle \ pi \ int _ {0} ^ {1} \ left (\ left ({\ sqrt {x}} \ right) ^ {2} - \ left (x ^ {2} \ right) ^ {2 } \ right) \, dx \ ,.}$

Следует проявлять осторожность при оценке не квадрата разницы двух функций, а оценки разности квадратов двух функций.

${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {O}} (x) ^ {2} -R _ {\ mathrm {I}} (x) ^ {2} \ neq \ left (R _ {\ mathrm {O}} (x) -R _ {\ mathrm {I}} (x) \ right) ^ {2}}$

(Эта формула работает только для оборотов вокруг оси x .)

Чтобы вращаться вокруг любой горизонтальной оси, просто вычтите из этой оси каждую формулу. Если h - значение горизонтальной оси, то объем равен

${\ displaystyle \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left (\ left (h-R _ {\ mathrm {O}} (x) \ right) ^ {2} - \ left (h-R _ {\ mathrm {I}} (x) \ right) ^ {2} \ right) \, dx \ ,.}$

Например, чтобы повернуть область между y = −2 x + x ² и y = x вдоль оси y = 4 , можно выполнить интегрирование следующим образом:

${\ Displaystyle \ пи \ int _ {0} ^ {3} \ left (\ left (4- \ left (-2x + x ^ {2} \ right) \ right) ^ {2} - (4-x) ^ {2} \ right) \, dx \ ,.}$

Границы интегрирования - это нули первого уравнения за вычетом второго. Обратите внимание, что при интегрировании по оси, отличной от оси x , график функции, наиболее удаленной от оси вращения, может быть не таким очевидным. В предыдущем примере, даже несмотря на то, что график y = x относительно оси x расположен выше графика y = −2 x + x ² , относительно оси вращения функция y = x - внутренняя функция: ее график ближе к y = 4 или уравнению оси вращения в примере.

Та же идея может быть применена как к оси Y, так и к любой другой вертикальной оси. Просто нужно решить каждое уравнение относительно x, прежде чем вставлять их в формулу интегрирования.

Смотрите также

• Твердая революция
• Интеграция с оболочкой

использованная литература