Моноидальная категория - Monoidal category

В математике , моноидалъная категория (или тензор категория ) является категорией оснащен бифунктором${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

${\ displaystyle \ otimes: \ mathbf {C} \ times \ mathbf {C} \ to \ mathbf {C}}$

что ассоциативная до более естественного изоморфизма , и объект I , который является одновременно влево и вправо тождественность для ⊗, снова до естественного изоморфизма. Соответствующие естественные изоморфизмы подчиняются определенным условиям когерентности , которые гарантируют коммутацию всех соответствующих диаграмм .

Обычное тензорное произведение превращает векторные пространства , абелевы группы , R -модули или R -алгебры в моноидальные категории. Моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих и других примеров. Каждую ( небольшую ) моноидальную категорию можно также рассматривать как « категоризацию » лежащего в основе моноида , а именно моноида, элементы которого являются классами изоморфизма объектов категории и чья бинарная операция задается тензорным произведением категории.

Совсем другое приложение, моноидальные категории которого можно рассматривать как абстракцию, - это система типов данных, закрытая конструктором типа, который принимает два типа и строит агрегированный тип; типы являются объектами и являются агрегатным конструктором. Таким образом, ассоциативность с точностью до изоморфизма является способом выражения того, что разные способы агрегирования одних и тех же данных, таких как и, хранят одну и ту же информацию, даже если агрегированные значения не обязательно должны быть одинаковыми. Тип агрегата может быть аналогичен операции сложения (тип суммы) или умножения (тип продукта). Для типового продукта объектом идентичности является единица , поэтому существует только один обитатель типа, и поэтому продукт с ним всегда изоморфен другому операнду. Для типа sum объектом идентификации является тип void , который не хранит никакой информации и невозможно обратиться к жителю. Концепция моноидальной категории не предполагает, что значения таких агрегированных типов могут быть разделены; напротив, он обеспечивает основу, объединяющую классическую и квантовую теорию информации . ${\ displaystyle \ otimes}$${\ Displaystyle ((а, б), в)}$${\ Displaystyle (а, (Ь, с))}$${\ displaystyle ()}$

В теории категорий моноидальные категории могут использоваться для определения концепции моноидного объекта и связанного с ним действия над объектами категории. Они также используются в определении расширенной категории .

Моноидальные категории имеют множество приложений за пределами собственно теории категорий. Они используются для определения моделей мультипликативного фрагмента интуиционистской линейной логики . Они также составляют математическую основу топологического порядка в физике конденсированного состояния . Плетеные моноидальные категории имеют применение в квантовой информации , квантовой теории поля и теории струн .

Формальное определение

Моноидальная категория категория оборудована моноидальной структура. Моноидальная структура состоит из следующего: ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

• бифунктор называется тензорное произведение или моноидальная продукт ,${\ Displaystyle \ otimes \ двоеточие \ mathbf {C} \ times \ mathbf {C} \ to \ mathbf {C}}$
• объект, называемый единичным объектом или объектом идентификации ,${\ displaystyle I}$
• три естественных изоморфизма при определенных условиях когерентности, выражающих тот факт, что тензорная операция
  • ассоциативно: существует естественный (в каждом из трех аргументов , , ) изоморфизм , называемый ассоциатор , с компонентами ,${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha _ {A, B, C} \ двоеточие A \ otimes (B \ otimes C) \ cong (A \ otimes B) \ otimes C}$
  • имеет как левую, так и правую идентичность: существуют два естественных изоморфизма и , соответственно, называемые левым и правым унитором , с компонентами и .${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ lambda _ {A} \ двоеточие I \ otimes A \ cong A}$${\ displaystyle \ rho _ {A} \ двоеточие A \ otimes I \ cong A}$

Обратите внимание, что хороший способ запомнить, как и действовать, - это аллитерация; Lambda , отменяет идентичность на левой , в то время как Rho , отменяет личность на право . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ rho}$

Условиями согласованности этих естественных преобразований являются:

• для всех , , и в , пятиугольника диаграмме${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

коммутирует ;

• для всех и в треугольная диаграмма${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

ездит на работу.

Строгая моноидальная категория является один , для которых естественные изоморфизмы альфа , λ и ρ тождества. Каждая моноидальная категория моноидально эквивалентна строгой моноидальной категории.

Примеры

• Любая категория с конечными продуктами может рассматриваться как моноидальная, причем продукт является моноидальным продуктом, а конечный объект - единицей. Такую категорию иногда называют декартовой моноидальной категорией . Например:
  • Набор , категория наборов с декартовым произведением, любой конкретный одноэлементный набор, служащий единицей.
  • Cat , категория малых категорий с категорией продукта , где категория с одним объектом и только его идентификационной картой является единицей.
• Соответственно, любая категория с конечными копроизведениями является моноидальной, причем копроизведение является моноидальным продуктом, а исходный объект - единицей. Такая моноидальная категория называется кокартовой моноидальной.
• R -Mod , категория модулей над коммутативным кольцом R , является моноидальной категорией, в которой тензорное произведение модулей ⊗ _R служит моноидальным произведением, а кольцо R (рассматриваемое как модуль над самим собой) служит единицей. К особым случаям относятся:
  • K -Vect , категория векторных пространств над полем K , с одномерным векторным пространством K, служащим единицей.
  • Ab , категория абелевых групп с группой целых чисел Z, служащей единицей.
• Для любого коммутативного кольца R категория R -алгебр моноидальна с тензорным произведением алгебр в качестве произведения и R в качестве единицы.
• Категория заостренных пространств (ограничивается компактно порожденные пространствами , например) является моноидальной с разбивала продуктом , служащий в качестве продукта и заостренной 0-сферы (в двух точках дискретного пространства) , служащей в качестве блока.
• Категория всех эндофункторов в категории C является строгой моноидальной категорией с композицией функторов в качестве произведения и тождественного функтора в качестве единицы.
• Как и для любой категории E , полная подкатегория, охватываемая любым заданным объектом, является моноидом, это случай, когда для любой 2-категории E и любого объекта C в Ob ( E ) полная 2-подкатегория E, охватываемая { C } - моноидальная категория. В случае E = Cat мы получаем пример с эндофункторами выше.
• Ограниченные сверху пересекающиеся полурешетки являются строгими симметричными моноидальными категориями : произведение - пересечение, а единица - верхний элемент.
• Любой обычный моноид - это небольшая моноидальная категория с набором объектов , только тождества для морфизмов , как тензорное произведение и как его объект тождества. И наоборот, множество классов изоморфизма (если это имеет смысл) моноидальной категории является моноидом относительно тензорного произведения.${\ Displaystyle (М, \ cdot, 1)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle 1}$

Моноидальные предзаказы

Моноидальные предзаказы, также известные как «предупорядоченные моноиды», являются частными случаями моноидальных категорий. Подобная структура встречается в теории систем перезаписи струн , но ее также много и в чистой математике. Например, набор из натуральных чисел имеет и структуру моноидной ( с использованием + и 0) и структуру предпорядка ( с использованием ≤), которые вместе образуют моноидалъный предпорядок, в основном потому , что и подразумевают . Приведем теперь общий случай. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle м \ leq п}$${\ Displaystyle м '\ leq п'}$${\ Displaystyle м + м '\ leq п + п'}$

Хорошо известно , что предзаказ можно рассматривать как категории С , такой , что для любых двух объектов , существует не более одного морфизма в C . Если случится морфизм от c к c ' , мы могли бы написать , но в текущем разделе мы считаем более удобным выразить этот факт в форме стрелки . Поскольку существует не более одного такого морфизма, нам никогда не нужно давать ему имя, например . В рефлексивность и транзитивность свойства заказа, соответственно объясняется тождественного морфизма и формулы композиции в C . Мы пишем IFF и , то есть , если они изоморфны в C . Обратите внимание, что в частичном порядке любые два изоморфных объекта фактически равны. ${\ displaystyle c, c '\ in \ mathrm {Ob} (\ mathbf {C})}$${\ displaystyle c \ to c '}$${\ displaystyle c \ leq c '}$${\ displaystyle c \ to c '}$${\ displaystyle f \ двоеточие c \ to c '}$${\ displaystyle c \ cong c '}$${\ displaystyle c \ leq c '}$${\ displaystyle c '\ leq c}$

Двигаясь вперед, мы хотим , чтобы добавить моноидалъную структуру в предзаказа С . Для этого мы должны выбрать

• объект , называемый моноидальной единицей , и${\ Displaystyle I \ in \ mathbf {C}}$
• Функтор , который мы будем обозначать просто точкой " ", называется моноидальным умножением .${\ Displaystyle \ mathbf {C} \ times \ mathbf {C} \ to \ mathbf {C}}$${\ Displaystyle \; \ cdot \;}$

Таким образом, для любых двух объектов у нас есть объект . Мы должны выбирать и быть ассоциативными и едиными, с точностью до изоморфизма. Это означает, что мы должны иметь: ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$${\ Displaystyle c_ {1} \ cdot c_ {2}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ cdot}$

${\ Displaystyle (c_ {1} \ cdot c_ {2}) \ cdot c_ {3} \ cong c_ {1} \ cdot (c_ {2} \ cdot c_ {3})}$и .${\ Displaystyle I \ cdot c \ cong c \ cong c \ cdot I}$

Более того, тот факт, что · требуется, чтобы быть функтором, означает - в данном случае, когда C - предпорядок - не более чем следующее:

если а потом .${\ displaystyle c_ {1} \ to c_ {1} '}$${\ displaystyle c_ {2} \ to c_ {2} '}$${\ Displaystyle (c_ {1} \ cdot c_ {2}) \ to (c_ {1} '\ cdot c_ {2}')}$

Дополнительные условия когерентности для моноидальных категорий в этом случае бессмысленны, потому что каждая диаграмма коммутирует в предпорядке.

Обратите внимание, что если C является частичным порядком, приведенное выше описание упрощается еще больше, потому что изоморфизмы ассоциативности и унитальности становятся равенствами. Другое упрощение происходит, если мы предполагаем, что набор объектов является свободным моноидом в наборе образующих . В этом случае мы могли бы написать , где * обозначает звезду Клини, а моноидальная единица I обозначает пустую строку. Если мы начнем с набора порождающих морфизмов R (фактов о ≤), мы восстановим обычное понятие полусистемы Туэ , где R называется «правилом переписывания». ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle \ mathrm {Ob} (\ mathbf {C}) = \ Sigma ^ {*}}$

Чтобы вернуться к нашему примеру, пусть N будет категорией, объектами которой являются натуральные числа 0, 1, 2, ..., с одним морфизмом, если в обычном порядке (и без морфизмов от i до j в противном случае), и моноидальным структура с моноидальной единицы , заданной 0 и моноидальным умножением заданного обычным сложением, . Тогда N - моноидальный предпорядок; фактически это тот, который свободно порождается одним объектом 1 и одним морфизмом 0 ≤ 1, где снова 0 - моноидальная единица. ${\ displaystyle i \ to j}$${\ displaystyle i \ leq j}$${\ Displaystyle я \ cdot j: = я + j}$

Свойства и связанные с ними понятия

Из трех определяющих условий когерентности , что большой класс диаграмм (т.е. диаграммы морфиз- построены с использованием , , , идентичностей и тензорное произведение) коммутируют: это Маклейна « когерентность теорема ». Иногда неточно утверждают, что все такие диаграммы коммутируют. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ rho}$

Существует общее понятие моноидного объекта в моноидальной категории, которое обобщает обычное понятие моноида из абстрактной алгебры . Обычные моноиды - это в точности моноидные объекты в декартовой моноидальной категории Set . Кроме того, любую (небольшую) строго моноидальную категорию можно рассматривать как моноидный объект в категории категорий Cat (с моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением).

Моноидальные функторы - это функторы между моноидальными категориями, которые сохраняют тензорное произведение, а моноидальные естественные преобразования - это естественные преобразования между теми функторами, которые «совместимы» с тензорным произведением.

Каждую моноидальную категорию можно рассматривать как категорию B (∗, ∗) бикатегории B только с одним объектом, обозначаемым ∗.

Понятие категории C , обогащенный в моноидальной категории М заменяет понятие множества морфизмов между парами объектов в C с понятием М -объекта морфизмов между каждыми двумя объектами в C .

Бесплатная строгая моноидальная категория

Для каждой категории С , то свободная строгая моноидальная категория Σ ( C ) может быть построена следующим образом :

• его объектами являются списки (конечные последовательности) A ₁ , ..., A _n объектов C ;
• есть стрелки между двумя объектами A ₁ , ..., A _m и B ₁ , ..., B _n, только если m = n , и тогда стрелки представляют собой списки (конечные последовательности) стрелок f ₁ : A ₁ → B ₁ , ..., f _n : A _n → B _n в C ;
• тензорное произведение двух объектов A ₁ , ..., A _n и B ₁ , ..., B _m является конкатенацией A ₁ , ..., A _n , B ₁ , ..., B _m двух списки, и, аналогично, тензорное произведение двух морфизмов задается конкатенацией списков. Объект идентификации - это пустой список.

Эта операция Σ, отображающая категорию C в Σ ( C ), может быть расширена до строгой 2- монады на Cat .

Специализации

• Если в моноидальной категории и естественно изоморфны способом, совместимым с условиями когерентности, мы говорим о сплетенной моноидальной категории . Если, кроме того, этот естественный изоморфизм является обратным самому себе, мы имеем симметричную моноидальную категорию .${\ displaystyle A \ otimes B}$${\ displaystyle B \ otimes A}$
• Закрытая моноидальная категория является моноидальным категория , где функтор имеет правый сопряженный , который называется «внутренним Hom-функтор» . Примеры включают декартовы замкнутые категории, такие как Set , категория множеств, и компактные замкнутые категории, такие как FdVect , категория конечномерных векторных пространств.${\ Displaystyle X \ mapsto X \ otimes A}$${\ Displaystyle X \ mapsto \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {C}} (A, X)}$
• Автономные категории (или компактные замкнутые категории или жесткие категории ) - это моноидальные категории, в которых существуют двойственные с хорошими свойствами; они абстрагируются от идеи FdVect .
• Симметричные моноидальные категории кинжала , оснащенные дополнительным функтором кинжала, абстрагирующие идею FdHilb , конечномерных гильбертовых пространств. К ним относятся категории компактных кинжалов .
• Категории Таннаки - это моноидальные категории, обогащенные над полем, которые очень похожи на категории представлений линейных алгебраических групп .

Смотрите также

• Скелет (теория категорий)
• Сферическая категория
• Моноидальное действие категории

использованная литература

• Хоял, Андре ; Улица, Росс (1993). «Плетеные тензорные категории». Успехи в математике 102 , 20–78.
• Хоял, Андре ; Улица, Росс (1988). « Планарные диаграммы и тензорная алгебра ».
• Келли, Г. Макс (1964). «Об условиях Маклейна для когерентности естественных ассоциативностей, коммутаций и т. Д.» Журнал алгебры 1 , 397–402.
• Келли, Г. Макс (1982). Основные понятия теории обогащенных категорий (PDF) . Серия лекций Лондонского математического общества № 64. Издательство Кембриджского университета.
• Мак-Лейн, Сондерс (1963). «Естественная ассоциативность и коммутативность». Исследования Университета Райса 49 , 28–46.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag.
• Моноидальная категория в nLab

внешние ссылки

• СМИ, относящиеся к категории "Моноидальные" на Викискладе?