Дельта-потенциал - Delta potential

Часть цикла статей о
Квантовая механика
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Комплементарность Декогеренция Запутанность Уровень энергии Измерение Нелокальность Квантовое число Состояние Суперпозиция Симметрия Туннелирование Неопределенность Волновая функция Крах
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик Отложенный выбор Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Кляйн – Гордон Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Местный Множественные миры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая информатика Квантовые вычисления Квантовый хаос Матрица плотности Теория рассеяния Квантовая статистическая механика Квантовое машинное обучение
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Родился Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер
v т е

В квантовой механике потенциал дельты является потенциальной ямой математически описывается дельта - функция Дирака - это обобщенная функция . Качественно он соответствует потенциалу, который везде равен нулю, кроме одной точки, где он принимает бесконечное значение. Это можно использовать для моделирования ситуаций, когда частица может свободно перемещаться в двух областях пространства с барьером между двумя областями. Например, электрон может почти свободно перемещаться в проводящем материале, но если две проводящие поверхности расположены близко друг к другу, граница раздела между ними действует как барьер для электрона, который можно аппроксимировать дельта-потенциалом.

Потенциал дельты также является предельным случаем из конечного потенциала скважины , которое получается , если один поддерживает продукт ширины скважины и потенциальные постоянная при уменьшении ширины колодца и увеличения потенциала.

В этой статье для простоты рассматривается только одномерная потенциальная яма, но анализ можно расширить до других измерений.

Единый дельта-потенциал

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции ψ ( x ) частицы в одном измерении в потенциале V ( x ) имеет вид

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi (x)} {dx ^ {2}}} + V (x) \ psi ( x) = E \ psi (x),}$

где ħ - приведенная постоянная Планка , а E - энергия частицы.

Дельта-потенциал - это потенциал

${\ Displaystyle V (х) = \ лямбда \ дельта (х),}$

где δ ( x ) - дельта-функция Дирака .

Это называется дельта-потенциальной ямой, если λ отрицательно, и дельта-потенциальным барьером, если λ положительно. Для простоты определено, что дельта возникает в начале координат; сдвиг аргумента дельта-функции не меняет никаких результатов обработки.

Решение уравнения Шредингера

Потенциал разделяет пространство на две части ( x  <0 и x  > 0). В каждой из этих частей потенциальная энергия равна нулю, и уравнение Шредингера сводится к

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} = - {\ frac {2mE} {\ hbar ^ {2}}} \ psi;}$

это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами , чьи решения являются линейными комбинациями из электронной ^IKX и е ^{- IKX} , где волновое число K связан с энергией по

${\ displaystyle k = {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}}.}$

В общем, из-за наличия дельта-потенциала в начале координат коэффициенты решения не обязательно должны быть одинаковыми в обоих полупространствах:

${\ displaystyle \ psi (x) = {\ begin {case} \ psi _ {\ text {L}} (x) = A _ {\ text {r}} e ^ {ikx} + A _ {\ text {l} } e ^ {- ikx}, & {\ text {if}} x <0, \\\ psi _ {\ text {R}} (x) = B _ {\ text {r}} e ^ {ikx} + B _ {\ text {l}} e ^ {- ikx}, & {\ text {if}} x> 0, \ end {case}}}$

где в случае положительных энергий (действительное k ) e ^ikx представляет волну, бегущую вправо, а e ^{- ikx} - волну, бегущую влево.

Связь между коэффициентами получается, предполагая, что волновая функция непрерывна в начале координат:

${\ Displaystyle \ psi (0) = \ psi _ {L} (0) = \ psi _ {R} (0) = A_ {r} + A_ {l} = B_ {r} + B_ {l},}$

Второе соотношение можно найти, изучая производную волновой функции. Обычно мы могли бы также наложить дифференцируемость в начале координат, но это невозможно из-за дельта-потенциала. Однако, если мы проинтегрируем уравнение Шредингера вокруг x  = 0 на интервале [- ε , + ε ]:

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ int _ {- \ epsilon} ^ {+ \ epsilon} \ psi '' (x) \, dx + \ int _ {- \ epsilon } ^ {+ \ epsilon} V (x) \ psi (x) \, dx = E \ int _ {- \ epsilon} ^ {+ \ epsilon} \ psi (x) \, dx.}$

В пределе ε  → 0 правая часть этого уравнения обращается в нуль; левая часть становится

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} [\ psi _ {R} '(0) - \ psi _ {L}' (0)] + \ lambda \ psi (0) ,}$

потому что

${\ displaystyle \ int _ {- \ epsilon} ^ {+ \ epsilon} \ psi '' (x) \, dx = [\ psi '(+ \ epsilon) - \ psi' (- \ epsilon)].}$

Подставляя определение ψ в это выражение, получаем

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} ik (-A_ {r} + A_ {l} + B_ {r} -B_ {l}) + \ lambda (A_ {r} + A_ {l}) = 0.}$

Таким образом, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты

${\ displaystyle {\ begin {cases} A_ {r} + A_ {l} -B_ {r} -B_ {l} & = 0, \\ - A_ {r} + A_ {l} + B_ {r} - B_ {l} & = {\ frac {2m \ lambda} {ik \ hbar ^ {2}}} (A_ {r} + A_ {l}). \ End {cases}}}$

Связанное состояние ( E <0)

График решения волновой функции связанного состояния для потенциала дельта-функции непрерывен всюду, но его производная не определена при x  = 0.

В любом одномерном притягивающем потенциале будет связанное состояние . Чтобы найти его энергию, заметим, что для E  <0, k  =  i √ 2 m | E | / ħ  =  iκ является мнимым, и волновые функции, которые колебались при положительных энергиях в приведенном выше вычислении, теперь являются экспоненциально возрастающими или убывающими функциями x (см. выше). Требование, чтобы волновые функции не расходились на бесконечности, исключает половину членов: A _r  = B _l  = 0. Тогда волновая функция равна

${\ Displaystyle \ psi (x) = {\ begin {case} \ psi _ {\ text {L}} (x) = A _ {\ text {l}} e ^ {\ kappa x}, & {\ text { if}} x \ leq 0, \\\ psi _ {\ text {R}} (x) = B _ {\ text {r}} e ^ {- \ kappa x}, & {\ text {if}} x \ geq 0. \ end {case}}}$

Из граничных условий и условий нормировки следует, что

${\ displaystyle {\ begin {cases} A _ {\ text {l}} = B _ {\ text {r}} = {\ sqrt {\ kappa}}, \\\ kappa = - {\ frac {m \ lambda} {\ hbar ^ {2}}}, \ end {case}}}$

откуда следует, что λ должно быть отрицательным, т. е. связанное состояние существует только для ямы, а не для барьера. Преобразование Фурье этой волновой функции является функцией Лоренца .

Тогда энергия связанного состояния равна

${\ displaystyle E = - {\ frac {\ hbar ^ {2} \ kappa ^ {2}} {2m}} = - {\ frac {m \ lambda ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}} }.}$

Рассеяние ( E > 0)

Вероятность прохождения ( T ) и отражения ( R ) дельта-потенциальной ямы. Энергия E  > 0 выражается в единицах . Пунктиром: классический результат. Сплошная линия: квантовая механика.${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {м \ лямбда ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}}}$

Для положительных энергий частица может свободно перемещаться в любом полупространстве: x  <0 или x  > 0. Она может рассеиваться на потенциале дельта-функции.

Квантовый случай можно изучить в следующей ситуации: частица, падающая на барьер с левой стороны ( A _r ) . Он может отражаться ( A _l ) или передаваться ( B _r ) . Чтобы найти амплитуды отражения и прохождения при падении слева, мы подставляем в приведенные выше уравнения A _r  = 1 (падающая частица), A _l  =  r (отражение), B _l  = 0 (нет падающей частицы справа) и B _r  =  t (передача), и решите относительно r и t, даже если у нас нет никаких уравнений относительно t . Результат

${\ displaystyle t = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {m \ lambda} {i \ hbar ^ {2} k}}}}, \ quad r = {\ cfrac {1} {{\ cfrac {i \ hbar ^ {2} k} {m \ lambda}} - 1}}.}$

Из-за зеркальной симметрии модели амплитуды падения справа такие же, как и слева. В результате существует ненулевая вероятность

${\ displaystyle R = | r | ^ {2} = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {\ hbar ^ {4} k ^ {2}} {m ^ {2} \ lambda ^ {2} }}}} = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {2 \ hbar ^ {2} E} {m \ lambda ^ {2}}}}}}$

для отражения частицы. Это не зависит от знака λ , то есть барьер имеет такую ​​же вероятность отражения частицы, как и яма. Это существенное отличие от классической механики, где вероятность отражения будет равна 1 для барьера (частица просто отскакивает назад) и 0 для ямы (частица проходит через яму без помех).

Таким образом, вероятность передачи равна

${\ displaystyle T = | t | ^ {2} = 1-R = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {m ^ {2} \ lambda ^ {2}} {\ hbar ^ {4} k ^ {2}}}}} = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {m \ lambda ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2} E}}}}.}.}$

Замечания и применение

Представленный выше расчет на первый взгляд может показаться нереальным и малополезным. Однако она оказалась подходящей моделью для множества реальных систем.

Один из таких примеров касается границ раздела двух проводящих материалов. В объеме материалов движение электронов квазисвободно и может быть описано кинетическим членом в приведенном выше гамильтониане с эффективной массой m . Часто поверхности таких материалов покрыты оксидными слоями или не идеальны по другим причинам. Этот тонкий непроводящий слой можно затем смоделировать с помощью локального дельта-потенциала, как указано выше. Затем электроны могут туннелировать из одного материала в другой, вызывая ток.

Работа сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) основана на этом туннельном эффекте. В этом случае барьер возникает из-за наличия воздуха между концом СТМ и нижележащим объектом. Прочность барьера связана с тем, что разделение тем сильнее, чем дальше друг от друга они находятся. Для более общей модели этой ситуации см. Конечный потенциальный барьер (QM) . Дельта-функция потенциального барьера является предельным случаем рассматриваемой здесь модели для очень высоких и узких барьеров.

Вышеупомянутая модель одномерная, а пространство вокруг нас - трехмерное. Таким образом, фактически следует решать уравнение Шредингера в трех измерениях. С другой стороны, многие системы изменяются только в одном направлении координат и трансляционно инвариантны в других направлениях. Тогда уравнение Шредингера может быть сведено к рассматриваемому здесь случаю с помощью анзаца для волновой функции данного типа . ${\ Displaystyle \ пси (х, у, г) = \ пси (х) \ фи (у, г) \, \!}$

В качестве альтернативы можно обобщить дельта-функцию, чтобы она существовала на поверхности некоторой области D (см. Лапласиан индикатора ).

Дельта - функция модель фактически является одномерной версия атома водорода в соответствии с размерным масштабированием метода , разработанного группой Дадли Р. Herschbach дельты - функция модели становится особенно полезная при двухъямных моделях функции Дирака Delta , которая представляет собой одну -размерная версия иона молекулы водорода , как показано в следующем разделе.

Двойной дельта-потенциал

Симметричные и антисимметричные волновые функции для двухъямной модели дельта-функции Дирака с «межъядерным» расстоянием R  = 2

Двухъямная дельта-функция Дирака моделирует двухатомную молекулу водорода с помощью соответствующего уравнения Шредингера:

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi (x)} {dx ^ {2}}} + V (x) \ psi ( x) = E \ psi (x),}$

где потенциал сейчас

${\ displaystyle V (x) = - q \ left [\ delta \ left (x + {\ frac {R} {2}} \ right) + \ lambda \ delta \ left (x - {\ frac {R} {2) }}\верно-верно],}$

где - «межъядерное» расстояние с пиками дельта-функции Дирака (отрицательными), расположенными в точке x  = ± R / 2 (показано коричневым цветом на диаграмме). Принимая во внимание связь этой модели с ее трехмерным молекулярным аналогом, мы используем атомные единицы и набор . Вот формально регулируемый параметр. Из случая одной лунки мы можем вывести " анзац " для решения ${\ Displaystyle 0 <р <\ infty}$${\ displaystyle \ hbar = m = 1}$${\ Displaystyle 0 <\ лямбда <1}$

${\ displaystyle \ psi (x) = Ae ^ {- d \ left | x + {\ frac {R} {2}} \ right |} + Be ^ {- d \ left | x - {\ frac {R} { 2}} \ right |}.}$

Согласование волновой функции на пиках дельта-функции Дирака дает определитель

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} qd & qe ^ {- dR} \\ q \ lambda e ^ {- dR} & q \ lambda -d \ end {vmatrix}} = 0, \ quad {\ text {where}} E = - {\ frac {d ^ {2}} {2}}.}$

Таким образом, оказывается, что он определяется псевдоквадратичным уравнением ${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle d _ {\ pm} (\ lambda) = {\ frac {1} {2}} q (\ lambda +1) \ pm {\ frac {1} {2}} \ left \ {q ^ {2 } (1+ \ lambda) ^ {2} -4 \ lambda q ^ {2} \ left [1-e ^ {- 2d _ {\ pm} (\ lambda) R} \ right] \ right \} ^ {1 / 2},}$

который имеет два решения . В случае равных зарядов (симметричный гомоядерный случай) λ  = 1, и псевдоквадратичный сводится к ${\ displaystyle d = d _ {\ pm}}$

${\ displaystyle d _ {\ pm} = q \ left [1 \ pm e ^ {- d _ {\ pm} R} \ right].}$

Случай «+» соответствует волновой функции, симметричной относительно средней точки (показанной красным на диаграмме), где A  =  B , и называется gerade . Соответственно, случай «-» - это волновая функция, которая антисимметрична относительно средней точки, где A = - B , и называется ungerade (показана зеленым на диаграмме). Они представляют собой приближение двух низших дискретных энергетических состояний трехмерного объекта и полезны при его анализе. Аналитические решения для собственных значений энергии для случая симметричных зарядов даются формулами ${\ displaystyle {\ ce {H2 ^ +}}}$

${\ displaystyle d _ {\ pm} = q + W (\ pm qRe ^ {- qR}) / R,}$

где W является стандартным Ламберта W функция . Обратите внимание, что самая низкая энергия соответствует симметричному решению . В случае неравных зарядов, и в этом отношении трехмерной молекулярной проблемы, решения даются путем обобщения W- функции Ламберта (см. Раздел об обобщении W-функции Ламберта и ссылки здесь). ${\ displaystyle d _ {+}}$

Один из самых интересных случаев - это когда qR  ≤ 1, что приводит к . Таким образом, имеется нетривиальное решение для связанного состояния с E  = 0. Для этих конкретных параметров возникает много интересных свойств, одним из которых является необычный эффект, заключающийся в том, что коэффициент передачи равен единице при нулевой энергии. ${\ displaystyle d _ {-} = 0}$

Смотрите также

• Бесплатная частица
• Частица в коробке
• Конечная потенциальная яма
• W функция Ламберта
• Частица в кольце
• Частица в сферически-симметричном потенциале
• Квантовый гармонический осциллятор
• Атом водорода или водородоподобный атом
• Кольцевой волновод
• Частица в одномерной решетке (периодический потенциал)
• Молекулярный ион водорода
• Метод голштинской селедки.
• Лапласиан индикатора
• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями

использованная литература

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. С. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
• Для трехмерного случая ищите «потенциал дельта-оболочки»; далее см. K. Gottfried (1966), Quantum Mechanics Volume I: Fundamentals , ch. III, сек. 15.

внешние ссылки

• СМИ, связанные с потенциалом дельты на Викискладе?