Частица в коробке - Particle in a box

Некоторые траектории частицы в поле согласно законам Ньютона в классических механик (а), и в соответствии с уравнением Шредингера в квантовой механике (B-F). В (B – F) горизонтальная ось - положение, а вертикальная ось - действительная часть (синий цвет) и мнимая часть (красный цвет) волновой функции . Состояния (B, C, D) являются собственными состояниями энергии , а (E, F) - нет.

В квантовой механике , то частица в коробке модели (также известный как бесконечной потенциальной ямы или бесконечной прямоугольной ямы ) описывает частицу свободно перемещаться в небольшом пространстве , окруженном непроницаемых барьеров. Модель в основном используется в качестве гипотетического примера для иллюстрации различий между классическими и квантовыми системами. В классических системах, например, частица, захваченная внутри большого ящика, может двигаться с любой скоростью внутри ящика, и вероятность того, что она будет найдена в одном месте, не выше, чем в другом. Однако, когда яма становится очень узкой (в масштабе нескольких нанометров), квантовые эффекты становятся важными. Частица может занимать только определенные положительные уровни энергии.. Точно так же у нее никогда не может быть нулевой энергии, а это означает, что частица никогда не может «сидеть на месте». Кроме того, в зависимости от уровня энергии он с большей вероятностью будет обнаружен в определенных положениях, чем в других. Частица никогда не может быть обнаружена в определенных положениях, известных как пространственные узлы.

Модель частицы в ящике - одна из очень немногих задач квантовой механики, которую можно решить аналитически, без приближений. Благодаря своей простоте модель позволяет понять квантовые эффекты, не прибегая к сложной математике. Он служит простой иллюстрацией того, как возникают квантования энергии (уровни энергии), которые встречаются в более сложных квантовых системах, таких как атомы и молекулы. Это одна из первых проблем квантовой механики, которую изучают на курсах физики бакалавриата, и она обычно используется в качестве приближения для более сложных квантовых систем.

Одномерное решение

Барьеры вне одномерного ящика имеют бесконечно большой потенциал, а внутренняя часть ящика имеет постоянный нулевой потенциал.

Простейшая форма частицы в ящичной модели рассматривает одномерную систему. Здесь частица может двигаться только вперед и назад по прямой линии с непроницаемыми препятствиями на обоих концах. Стенки одномерного ящика можно рассматривать как области пространства с бесконечно большой потенциальной энергией . И наоборот, внутренняя часть коробки имеет постоянную нулевую потенциальную энергию. Это означает, что на частицу внутри ящика не действуют никакие силы, и она может свободно перемещаться в этой области. Однако бесконечно большие силы отталкивают частицу, если она касается стенок ящика, не позволяя ей ускользнуть. Потенциальная энергия в этой модели задается как

где L - длина бокса, x c - расположение центра бокса, а x - положение частицы внутри бокса. Простые случаи включают центрированный прямоугольник ( x c = 0) и сдвинутый прямоугольник ( x c = L / 2).

Позиционная волновая функция

В квантовой механике волновая функция дает наиболее фундаментальное описание поведения частицы; все измеримые свойства частицы (такие как ее положение, импульс и энергия) могут быть получены из волновой функции. Волновую функцию можно найти, решив уравнение Шредингера для системы

где это приведенная постоянная Планка , это масса частицы, является мнимая единица и время.

Внутри ящика на частицу не действуют никакие силы, а это означает, что часть волновой функции внутри ящика колеблется в пространстве и времени с той же формой, что и свободная частица :

 

 

 

 

( 1 )

где и - произвольные

комплексные числа . Частота колебаний в пространстве и времени определяется волновым числом и угловой частотой соответственно. Оба они связаны с полной энергией частицы выражением

которое известно как дисперсионное соотношение для свободной частицы. Здесь следует заметить, что теперь, поскольку частица не полностью свободна, но находится под влиянием потенциала (потенциала V, описанного выше), энергия частицы, приведенная выше, не то же самое, что где
p - импульс частицы. , и, таким образом, указанное выше волновое число k фактически описывает энергетические состояния частицы, а не состояния импульса (т.е. оказывается, что импульс частицы не задается ). В этом смысле довольно опасно называть число k волновым числом, поскольку оно не связано с импульсом, как это обычно бывает с «волновым числом». Обоснование того, что k называется волновым числом, состоит в том, что оно перечисляет количество гребней, которые волновая функция имеет внутри блока, и в этом смысле это волновое число. Это несоответствие можно увидеть более четко ниже, когда мы узнаем, что энергетический спектр частицы дискретен (разрешены только дискретные значения энергии), но импульсный спектр непрерывен (импульс может изменяться непрерывно) и, в частности, соотношение для энергия и импульс частицы не соблюдаются. Как было сказано выше, причина, по которой это соотношение между энергией и импульсом не выполняется, заключается в том, что частица несвободна, но в системе есть потенциал V , а энергия частицы равна , где T - кинетическая, а V - потенциал. энергия.
Начальные волновые функции для первых четырех состояний в одномерной частице в ящике

Размер (или амплитуда ) волновой функции в данной позиции связан с вероятностью нахождения там частицы . Следовательно, волновая функция должна исчезать повсюду за краями ящика. Кроме того, амплитуда волновой функции не может резко "прыгать" от одной точки к другой. Этим двум условиям удовлетворяют только волновые функции вида

где
а также
где n - натуральное число (1,2,3,4 ...). Для сдвинутого ящика ( x c = L / 2) решение особенно простое. Простейшие решения или оба дают тривиальную волновую функцию , которая описывает частицу, которой нет нигде в системе. Отрицательные значения не учитываются, поскольку они дают волновые функции, идентичные положительным решениям, за исключением физически несущественной смены знака. Здесь видно, что для частицы разрешен только дискретный набор значений энергии и волновых чисел
k . Обычно в квантовой механике также требуется, чтобы производная волновой функции в дополнение к самой волновой функции была непрерывной; здесь это требование привело бы к единственному решению, являющемуся постоянной нулевой функцией, чего мы не желаем, поэтому мы отказываемся от этого требования (поскольку эту систему с бесконечным потенциалом можно рассматривать как нефизический абстрактный предельный случай, мы можем рассматривать ее как такие и "нарушайте правила"). Обратите внимание, что отказ от этого требования означает, что волновая функция не является дифференцируемой функцией на границе ящика, и, таким образом, можно сказать, что волновая функция не решает уравнение Шредингера в граничных точках и (но решает его везде) .

Наконец, неизвестную константу можно найти,

нормировав волновую функцию так, чтобы общая плотность вероятности нахождения частицы в системе была 1. Отсюда следует, что

Таким образом, A может быть любым комплексным числом с абсолютным значением 2 / L ; эти разные значения A дают одно и то же физическое состояние, поэтому для упрощения можно выбрать A = 2 / L.

Ожидается, что собственные значения , т. Е. Энергия ящика, должны быть одинаковыми независимо от его положения в пространстве, но изменяться. Обратите внимание, что представляет собой фазовый сдвиг волновой функции. Этот фазовый сдвиг не влияет на решение уравнения Шредингера и, следовательно, не влияет на

собственное значение .

Если мы установим начало координат в центр прямоугольника, мы можем кратко переписать пространственную часть волновой функции как:

Импульсная волновая функция

Волновая функция импульса пропорциональна преобразованию Фурье волновой функции положения. При (обратите внимание, что параметр

k, описывающий волновую функцию импульса ниже, не является в точности специальным значением k n выше, связанным с собственными значениями энергии), волновая функция импульса определяется выражением
где sinc - кардинальная функция синуса
sinc , sinc ( x ) = sin ( x ) / x . Для центрированного блока ( x c = 0 ) решение является реальным и особенно простым, поскольку фазовый множитель справа уменьшается до единицы. (Осторожно, это можно записать как четную функцию от p .)

Можно видеть, что импульсный спектр в этом волновом пакете является непрерывным, и можно сделать вывод, что для энергетического состояния, описываемого волновым числом k n , импульс может, при измерении, также достигать других значений за пределами .

Следовательно, также оказывается, что, поскольку энергия предназначена для

n- го собственного состояния, соотношение не выполняется строго для измеренного импульса p ; собственное состояние энергии не является собственным состоянием импульса и, фактически, даже не суперпозицией двух собственных состояний импульса, как можно было бы представить себе из уравнения ( 1 ) выше: в частности, у него нет четко определенного импульса до измерения!

Распределение вероятностей положения и импульса

В классической физике частицу с равной вероятностью можно обнаружить в любом месте коробки. В квантовой механике, однако, плотность вероятности нахождения частицы в данном положении выводится из волновой функции, поскольку для частицы в ящике плотность вероятности нахождения частицы в данном положении зависит от ее состояния и определяется выражением

Таким образом, при любом значении п больше единицы, есть регионы в пределах окна , для которого , указывая , что

пространственные узлы существует , при которой частица не может быть найдена.

В квантовой механике среднее или математическое ожидание положения частицы определяется выражением

Для устойчивой частицы в ящике можно показать, что среднее положение всегда , независимо от состояния частицы. Для суперпозиции состояний математическое ожидание позиции будет изменяться в зависимости от перекрестного члена, который пропорционален .

Разница в положении является мерой неопределенности положения частицы:

Плотность вероятности нахождения частицы с заданным импульсом получается из волновой функции как . Как и в случае с положением, плотность вероятности нахождения частицы при заданном импульсе зависит от ее состояния и определяется выражением

где опять же . Затем рассчитывается, что математическое ожидание импульса равно нулю, а дисперсия импульса рассчитывается следующим образом:

Неопределенности положения и импульса ( и ) определяются как равные квадратному корню из их соответствующих дисперсий, так что:

Это произведение увеличивается с увеличением n , имея минимальное значение для n = 1. Значение этого произведения для n = 1 примерно равно 0,568, что соответствует

принципу неопределенности Гейзенберга , который гласит, что произведение будет больше или равно

Другой мерой неопределенности положения является информационная энтропия распределения вероятностей H x :

где x 0 - произвольная эталонная длина.

Другой мерой неопределенности импульса является информационная энтропия распределения вероятностей H p :

где γ - постоянная Эйлера . Квантово-механический принцип энтропийной неопределенности утверждает, что для
( нац )

Для сумма энтропий позиции и импульса дает:

( нац )

которое удовлетворяет квантовому принципу энтропийной неопределенности.

Уровни энергии

Энергия частицы в ящике (черные кружки) и свободной частицы (серая линия) одинаково зависят от волнового числа. Однако частица в ящике может иметь только определенные дискретные уровни энергии.

Энергии, которые соответствуют каждому из разрешенных волновых чисел, могут быть записаны как

. Уровни энергии увеличиваются , что означает, что высокие уровни энергии отделены друг от друга на большее расстояние, чем уровни низкой энергии. Наименьшая возможная энергия для частицы (ее
нулевая энергия ) находится в состоянии 1, которое определяется выражением
Следовательно, частица всегда имеет положительную энергию. Это контрастирует с классическими системами, в которых частица может иметь нулевую энергию, неподвижно покоя. Это можно объяснить с помощью принципа неопределенности , который гласит, что произведение неопределенностей в положении и импульсе частицы ограничено величиной
Можно показать, что неопределенность положения частицы пропорциональна ширине ящика. Таким образом, неопределенность количества движения примерно обратно пропорциональна ширине ящика. Кинетическая энергия частицы определяется выражением , и, следовательно, минимальная кинетическая энергия частицы в ящике обратно пропорциональна массе и квадрату ширины ямы, что качественно согласуется с приведенным выше расчетом.

Ящики с большими размерами

(Гипер) прямоугольные стены

Волновая функция 2D скважины с n x = 4 и n y = 4

Если частица заперта в двумерном ящике, она может свободно перемещаться в направлениях и , между барьерами, разделенными длинами и соответственно. Для центрированного прямоугольника волновая функция положения может быть записана, включая длину прямоугольника, как . Используя подход, аналогичный подходу для одномерного бокса, можно показать, что волновые функции и энергии для центрированного бокса задаются соответственно выражением

где двумерный волновой вектор определяется выражением

Для трехмерной коробки решения следующие:

где трехмерный волновой вектор определяется выражением:
.

В общем случае для n- мерного ящика решения следующие:

N-мерные волновые функции импульса также могут быть представлены как, и тогда волновая функция импульса для n-мерного центрированного ящика будет равна:

Интересной особенностью вышеупомянутых решений является то, что, когда две или более длины одинаковы (например, ), существует несколько волновых функций, соответствующих одной и той же полной энергии. Например, волновая функция с имеет ту же энергию, что и волновая функция с . Эта ситуация называется

вырождением, а в случае, когда ровно две вырожденные волновые функции имеют одинаковую энергию, этот уровень энергии называется двукратно вырожденным . Вырождение возникает из-за симметрии системы. В приведенном выше случае две длины равны, поэтому система симметрична относительно поворота на 90 °.

Более сложные формы стен

Волновая функция для квантово-механической частицы в ящике, стенки которого имеют произвольную форму, задается уравнением Гельмгольца с граничным условием, что волновая функция обращается в нуль на стенках. Эти системы изучаются в области квантового хаоса для форм стенок, соответствующие динамические бильярдные столы которых не интегрируются.

Приложения

Из-за своей математической простоты частица в модели ящика используется для поиска приближенных решений для более сложных физических систем, в которых частица находится в узкой области с низким электрическим потенциалом между двумя высокопотенциальными барьерами. Эти системы с квантовыми ямами особенно важны в оптоэлектронике и используются в таких устройствах, как лазер с квантовыми ямами, инфракрасный фотодетектор с квантовыми ямами и модулятор

квантово-ограниченного эффекта Штарка . Он также используется для моделирования решетки в модели Кронига-Пенни и для конечного металла в приближении свободных электронов.

Конъюгированные полиены

β-каротин представляет собой сопряженный полиен

Системы сопряженных полиенов можно смоделировать, используя частицы в коробке. Сопряженная система электронов может быть смоделирована как одномерный ящик с длиной, равной общему расстоянию связи от одного конца полиена до другого. В этом случае каждая пара электронов в каждой π-связи соответствует своему энергетическому уровню. Разница в энергии между двумя уровнями энергии, n f и n i, равна:

Разница между энергией основного состояния n и первым возбужденным состоянием n + 1 соответствует энергии, необходимой для возбуждения системы. Эта энергия имеет определенную длину волны и, следовательно, цвет света, связанный с:

Типичный пример этого явления - β-каротин . β-каротин (C 40 H 56 ) представляет собой сопряженный полиен оранжевого цвета и молекулярной длиной примерно 3,8 нм (хотя длина его цепи составляет всего примерно 2,4 нм). Из-за высокого уровня сопряжения β-каротина электроны рассредоточены по всей длине молекулы, что позволяет моделировать ее как одномерную частицу в ящике. β-каротин 11 углерода -carbon двойных связей в конъюгации; каждая из этих двойных связей содержит два π-электрона, поэтому у β-каротина 22 π-электрона. С двумя электронами на уровень энергии β-каротин можно рассматривать как частицу в ящике с уровнем энергии n = 11. Следовательно, минимальная энергия, необходимая для возбуждения электрона на следующий энергетический уровень, может быть вычислена, n = 12, следующим образом (учитывая, что масса электрона равна 9,109 × 10 −31 кг):

Используя предыдущее отношение длины волны к энергии, вспоминая как постоянную Планка h, так и скорость света c :

Это указывает на то, что β-каротин в основном поглощает свет в инфракрасном спектре, поэтому человеческому глазу он будет казаться белым. Однако наблюдаемая длина волны составляет 450 нм, что указывает на то, что частица в ящике не является идеальной моделью для этой системы.

Лазер на квантовой яме

Частица в модели ящика может быть применена к лазерам с

квантовыми ямами , которые представляют собой лазерные диоды, состоящие из одного материала полупроводниковой «ямы», зажатого между двумя другими полупроводниковыми слоями из другого материала. Поскольку слои этого сэндвича очень тонкие (средний слой обычно имеет толщину около 100 A), можно наблюдать эффекты квантового ограничения . Идея о том, что квантовые эффекты могут быть использованы для создания лучших лазерных диодов, возникла в 1970-х годах. Лазер на квантовой яме был запатентован в 1976 году Р. Динглом и Ч. Х. Генри.

В частности, поведение квантовых ям может быть представлено частицей в модели с конечной ямой. Необходимо выбрать два граничных условия. Во-первых, волновая функция должна быть непрерывной. Часто второе граничное условие выбирается так, чтобы производная волновой функции была непрерывной через границу, но в случае квантовой ямы массы разные по обе стороны от границы. Вместо этого выбрано второе граничное условие, чтобы сохранить поток частиц как , что согласуется с экспериментом. Решение для частицы с конечной ямой в ящике должно быть решено численно, что приведет к получению волновых функций, которые являются синусоидальными функциями внутри квантовой ямы и экспоненциально убывающими функциями в барьерах. Такое квантование уровней энергии электронов позволяет лазеру с квантовыми ямами излучать свет более эффективно, чем обычные полупроводниковые лазеры.

Из-за своего небольшого размера квантовые точки не демонстрируют объемные свойства указанного полупроводника, а скорее демонстрируют квантованные энергетические состояния. Этот эффект известен как квантовое ограничение и привел к многочисленным применениям квантовых точек, таких как лазер с квантовыми ямами.

Исследователи из Принстонского университета недавно построили лазер с квантовой ямой размером не больше рисового зерна. Лазер питается от одного электрона, который проходит через две квантовые точки; двойная квантовая точка. Электрон переходит из состояния с более высокой энергией в состояние с более низкой энергией, испуская фотоны в микроволновом диапазоне. Эти фотоны отражаются от зеркал, создавая луч света; лазер.

Лазер с квантовой ямой во многом основан на взаимодействии света и электронов. Это соотношение является ключевым компонентом квантово-механических теорий, которые включают длину волны Де Бройля и частицу в коробке. Двойная квантовая точка позволяет ученым получить полный контроль над движением электрона, что, в свою очередь, приводит к образованию лазерного луча.

Квантовые точки

Квантовые точки - это очень маленькие полупроводники (в масштабе нанометров). Они демонстрируют квантовое ограничение в том

смысле, что электроны не могут покинуть «точку», что позволяет использовать приближения «частица в коробке». Их поведение можно описать трехмерными уравнениями квантования энергии типа "частица в коробке".

Энергетическая щель квантовой точки является энергетический зазор между его валентных и зоны проводимости . Эта энергетическая щель равна щели в массивном материале плюс полученная из уравнения энергии "частица в ящике", которая дает энергию для электронов и

дырок . Это можно увидеть в следующем уравнении, где и - эффективные массы электрона и дырки, - радиус точки и постоянная Планка:

Следовательно, энергетическая щель квантовой точки обратно пропорциональна квадрату «длины ящика», то есть радиусу квантовой точки.

Манипулирование шириной запрещенной зоны позволяет поглощать и излучать свет определенных длин волн, поскольку энергия обратно пропорциональна длине волны. Чем меньше квантовая точка, тем больше ширина запрещенной зоны и, следовательно, короче длина поглощаемой волны.

Различные полупроводниковые материалы используются для синтеза квантовых точек разного размера и, следовательно, излучают свет с разной длиной волны. Часто используются материалы, которые обычно излучают свет в видимой области, и их размеры настраиваются таким образом, чтобы излучались определенные цвета. Типичными веществами, используемыми для синтеза квантовых точек, являются кадмий (Cd) и селен (Se). Например, когда электроны двух нанометровых квантовых точек CdSe релаксируют после возбуждения , излучается синий свет. Точно так же красный свет излучается в четырех нанометровых квантовых точках CdSe.

Квантовые точки имеют множество функций, включая, помимо прочего, флуоресцентные красители, транзисторы , светодиоды , солнечные элементы и получение медицинских изображений с помощью оптических датчиков.

Одной из функций квантовых точек является их использование для картирования лимфатических узлов, что возможно благодаря их уникальной способности излучать свет в ближней инфракрасной области (NIR). Картирование лимфатических узлов позволяет хирургам отслеживать наличие раковых клеток и их местонахождение.

Квантовые точки полезны для этих функций из-за их излучения более яркого света, возбуждения широким спектром длин волн и более высокой устойчивости к свету, чем у других веществ.

Релятивистские эффекты

Плотность вероятности не стремится к нулю в узлах, если релятивистские эффекты учитываются с помощью уравнения Дирака.

Смотрите также

Рекомендации

Библиография

  • Bransden, BH; Иоахайн, CJ (2000). Квантовая механика (2-е изд.). Эссекс: образование Пирсона. ISBN 978-0-582-35691-7.
  • Дэвис, Джон Х. (2006). Физика низкоразмерных полупроводников: введение (6-е переиздание). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-48491-6.
  • Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-111892-8.

Внешние ссылки