Частица в сферически-симметричном потенциале - Particle in a spherically symmetric potential

Важной проблемой квантовой механики является проблема частицы в сферически-симметричном потенциале , т. Е. Потенциале, который зависит только от расстояния между частицей и определенной центральной точкой. В частности, если рассматриваемая частица является электроном, а потенциал выводится из закона Кулона , то задача может быть использована для описания водородоподобного (одноэлектронного) атома (или иона).

В общем случае динамика частицы в сферически-симметричном потенциале определяется гамильтонианом следующего вида:

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m_ {0}}} + V (r)}$

где - масса частицы, - оператор импульса, а потенциал зависит только от  модуля радиус-вектора  r . В квантово - механические волновые функции и энергии (собственные значения) находятся в результате решения уравнения Шредингера с этим гамильтонианом. Из-за сферической симметрии системы естественно использовать сферические координаты , и . Когда это сделано, не зависящее от времени уравнение Шредингера для системы становится разделимым , что позволяет легко решать угловые задачи и оставлять обыкновенное дифференциальное уравнение для определения энергий для конкретного обсуждаемого потенциала . ${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle {\ hat {p}}}$${\ Displaystyle V (г)}$${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle V (г)}$

Структура собственных функций

В собственных состояниях по системе имеют вид

${\ Displaystyle \ пси (г, \ тета, \ фи) = р (г) \ тета (\ тета) \ фи (\ фи) \, \;}$

в котором сферические полярные углы θ и φ представляют собой ширину и азимутальный угол соответственно. Последние два фактора ψ часто группируются вместе как сферические гармоники , так что собственные функции принимают вид

${\ Displaystyle \ пси (г, \ тета, \ фи) = р (г) Y_ {лм} (\ тета, \ фи). \,}$

Дифференциальное уравнение, характеризующее функцию , называется радиальным уравнением . ${\ Displaystyle R (r)}$

Вывод радиального уравнения.

Оператор кинетической энергии в сферических полярных координатах имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m_ {0}}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} \ nabla ^ { 2} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {0} \, r ^ {2}}} \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial r}} {\ Big (} r ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} {\ Big)} - {\ hat {l}} ^ {2} \ right].}$

В сферические гармоники удовлетворяют

${\ displaystyle {\ hat {l}} ^ {2} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) \ Equiv \ left \ {- {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ left [\ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} {\ Big (} \ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} {\ Big)} + { \ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ phi ^ {2}}} \ right] \ right \} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) = l (l + 1) Y_ {lm} (\ theta, \ phi).}$

Подставляя это в уравнение Шредингера, мы получаем одномерное уравнение на собственные значения,

${\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {d \ over dr} \ left (r ^ {2} {dR \ over dr} \ right) - {l (l + 1) \ over r ^ {2}} R + {\ frac {2m_ {0}} {\ hbar ^ {2}}} [EV (r)] R = 0.}$

Это уравнение можно свести к эквивалентному одномерному уравнению Шредингера, подставив , где удовлетворяет ${\ Displaystyle Р (г) = \ и (г) / г}$${\ Displaystyle \ и (г)}$

${\ displaystyle {d ^ {2} \ u \ over dr ^ {2}} + {\ frac {2m_ {0}} {\ hbar ^ {2}}} [E-V _ {\ mathrm {eff}} ( r)] \ u = 0}$

что и есть одномерное уравнение Шредингера с эффективным потенциалом, задаваемым формулой

${\ displaystyle V _ {\ mathrm {eff}} (r) = V (r) + {\ hbar ^ {2} l (l + 1) \ over 2m_ {0} r ^ {2}},}$

где радиальная координата r изменяется от 0 до . Поправка к потенциалу V ( r ) называется центробежным барьером . ${\ displaystyle \ infty}$

Если , то возле начала координат . ${\ Displaystyle \ lim _ {г \ rightarrow 0} г ^ {2} V (г) = 0}$${\ displaystyle R \ sim r ^ {l}}$

Решения для интересующих потенциалов

Возникают пять особых случаев, имеющих особое значение:

1. V ( r ) = 0, или решение вакуума в основе сферических гармоник , что служит основой для других случаев.
2. ${\ Displaystyle V (г) = V_ {0}}$(конечный) для и бесконечный в другом месте, или частица в сферическом эквиваленте квадратной ямы , полезная для описания связанных состояний в ядре или квантовой точке.${\ displaystyle r <r_ {0}}$
3. Как и в предыдущем случае, но с бесконечно большим скачком потенциала на поверхности сферы.
4. V ( r ) ~  r ² для трехмерного изотропного гармонического осциллятора.
5. V ( r ) ~ 1 / r для описания связанных состояний водородоподобных атомов .

Мы намечаем решения в этих случаях, которые следует сравнить с их аналогами в декартовых координатах , ср. частица в коробке . Эта статья в значительной степени опирается на функции Бесселя и полиномы Лагерра .

Вакуумный чемодан

Рассмотрим теперь V ( r ) = 0 (если заменить всюду E на ). Введение безразмерной переменной ${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle E-V_ {0}}$

${\ displaystyle \ rho \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ kr, \ qquad k \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {2m_ {0} E \ over \ hbar ^ {2}}}}$

уравнение превращается в уравнение Бесселя для J, определяемого (отсюда и обозначение J ): ${\ Displaystyle J (\ rho) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ rho}} R (r)}$

${\ Displaystyle \ rho ^ {2} {d ^ {2} J \ over d \ rho ^ {2}} + \ rho {dJ \ over d \ rho} + \ left [\ rho ^ {2} - \ left (l + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} \ right] J = 0}$

которые регулярные решения для положительных энергий задаются так называемыми функциями Бесселя первого рода », так что решения, записанные для R, являются так называемой сферической функцией Бесселя . ${\ Displaystyle J_ {l + 1/2} (\ rho)}$ ${\ Displaystyle R (r) = j_ {l} (kr) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ pi / (2kr)}} J_ {l + 1/2 } (крон)}$

Решения уравнения Шредингера в полярных координатах для частицы массы в вакууме помечены тремя квантовыми числами: дискретными индексами l и m , а также k, непрерывно меняющимся по : ${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle [0, \ infty)}$

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = j_ {l} (kr) Y_ {lm} (\ theta, \ phi)}$

где , - сферические функции Бесселя, - сферические гармоники. ${\ Displaystyle к \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {2m_ {0} E}} / \ hbar}$${\ displaystyle j_ {l}}$${\ displaystyle Y_ {lm}}$

Эти решения представляют собой состояния с определенным угловым моментом, а не с определенным (линейным) импульсом, которые обеспечиваются плоскими волнами . ${\ Displaystyle \ ехр (я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r})}$

Сфера с конечным "квадратным" потенциалом

Рассмотрим теперь потенциал для и в других местах. То есть внутри сферы радиуса потенциал равен V _0, а вне сферы он равен нулю. Потенциал с таким конечным разрывом называется квадратным.${\ Displaystyle V (г) = V_ {0}}$${\ displaystyle r <r_ {0}}$${\ Displaystyle V (г) = 0}$${\ displaystyle r_ {0}}$

Сначала мы рассмотрим связанные состояния, т. Е. Состояния, при которых частица отображается в основном внутри ящика (ограниченные состояния). Те имеют энергию E меньше потенциала вне сферы, т. Е. Имеют отрицательную энергию, и мы увидим, что существует дискретное количество таких состояний, которые мы сравним с положительной энергией с непрерывным спектром, описывающим рассеяние на поверхности. сфера (несвязанных состояний). Также стоит отметить, что в отличие от кулоновского потенциала, имеющего бесконечное количество дискретных связанных состояний, сферическая квадратная яма имеет только конечное (если есть) число из-за своего конечного диапазона (если он имеет конечную глубину).

Разрешение по существу следует разрешению вакуума с добавлением нормировки полной волновой функции, решая два уравнения Шредингера - внутри и вне сферы - предыдущего типа, то есть с постоянным потенциалом. Также выполняются следующие ограничения:

1. Волновая функция должна быть регулярной в начале координат.
2. Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными на разрыве потенциала.
3. Волновая функция должна сходиться на бесконечности.

Первое ограничение исходит из того , что Нейман N и Ганкель H функции являются особыми в начале координат. Физический аргумент в пользу того, что ψ должен быть определен всюду, выбирает функцию Бесселя первого рода J по сравнению с другими возможностями в случае вакуума. По этой же причине решение внутри сферы будет таким:

${\ displaystyle R (r) = Aj_ {l} \ left ({\ sqrt {2m_ {0} (E-V_ {0}) \ over \ hbar ^ {2}}} r \ right), \ qquad r < г_ {0}}$

с А константа будет определена позже. Обратите внимание, что для связанных состояний . ${\ displaystyle V_ {0} <E <0}$

Связанные состояния привносят новизну по сравнению с вакуумным случаем, когда E теперь отрицательно (в вакууме оно должно было быть положительным). Это, наряду с третьим ограничением, выбирает функцию Ганкеля первого рода как единственное сходящееся решение на бесконечности (сингулярность в начале координат этих функций не имеет значения, поскольку теперь мы находимся вне сферы):

${\ displaystyle R (r) = Bh_ {l} ^ {(1)} \ left (i {\ sqrt {-2m_ {0} E \ over \ hbar ^ {2}}} r \ right), \ qquad r > г_ {0}}$

Второе ограничение по непрерывности ф на наряду с нормализацией позволяет определить константы A и B . Непрерывность производной (или для удобства логарифмической производной ) требует квантования энергии. ${\ displaystyle r = r_ {0}}$

Сфера с бесконечным "квадратным" потенциалом

В случае, когда потенциальная яма бесконечно глубока, так что мы можем рассматривать ее как внутри сферы, так и за ее пределами, проблема заключается в согласовании волновой функции внутри сферы ( сферических функций Бесселя ) с идентично нулевой волновой функцией вне сферы. Допустимые энергии - это те, при которых радиальная волновая функция обращается в нуль на границе. Таким образом, мы используем нули сферических функций Бесселя для нахождения энергетического спектра и волновых функций. Вызов на K - ^й нуль , мы имеем: ${\ displaystyle V_ {0} = 0}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle u_ {l, k}}$${\ displaystyle j_ {l}}$

${\ displaystyle E_ {kl} = {u_ {l, k} ^ {2} \ hbar ^ {2} \ over 2m_ {0} r_ {0} ^ {2}}}$

Таким образом, это сводится к вычислению этих нулей , обычно с использованием таблицы или калькулятора, поскольку эти нули не разрешимы в общем случае. ${\ displaystyle u_ {l, k}}$

В частном случае (сферически-симметричные орбитали) сферическая функция Бесселя равна , нули которой легко записываются как . Таким образом, их собственные значения энергии: ${\ displaystyle l = 0}$${\ displaystyle j_ {0} (x) = {\ frac {\ sin x} {x}}}$${\ Displaystyle и_ {0, к} = к \ пи}$

${\ displaystyle E_ {k0} = {(k \ pi) ^ {2} \ hbar ^ {2} \ over 2m_ {0} r_ {0} ^ {2}} = {k ^ {2} h ^ {2 } \ более 8 м_ {0} г_ {0} ^ {2}}}$

Трехмерный изотропный гармонический осциллятор

Потенциал трехмерного изотропного гармонического осциллятора равен

${\ displaystyle V (r) = {\ frac {1} {2}} m_ {0} \ omega ^ {2} r ^ {2}.}$

В данной статье показано, что N- мерный изотропный гармонический осциллятор имеет энергии

${\ displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega {\ Bigl (} n + {\ frac {N} {2}} {\ Bigr)} \ quad {\ text {with}} \ quad n = 0,1, \ ldots, \ infty,}$

т.е. n - неотрицательное целое число; ω - (такая же) основная частота N мод генератора. В этом случае N = 3, так что радиальное уравнение Шредингера принимает вид

${\ displaystyle \ left [- {\ hbar ^ {2} \ over 2m_ {0}} {d ^ {2} \ over dr ^ {2}} + {\ hbar ^ {2} l (l + 1) \ более 2m_ {0} r ^ {2}} + {\ frac {1} {2}} m_ {0} \ omega ^ {2} r ^ {2} - \ hbar \ omega {\ bigl (} n + {\ tfrac {3} {2}} {\ bigr)} \ right] u (r) = 0.}$

Представляем

${\ Displaystyle \ гамма \ эквив {\ гидроразрыва {m_ {0} \ omega} {\ hbar}}}$

и напоминая об этом , мы покажем, что радиальное уравнение Шредингера имеет нормированное решение: ${\ Displaystyle и (г) = рР (г) \,}$

${\ displaystyle R_ {n, l} (r) = N_ {nl} \, r ^ {l} \, e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ gamma r ^ {2}} \; L _ {{\ frac {1} {2}} (nl)} ^ {(l + {\ frac {1} {2}})} (\ gamma r ^ {2}),}$

где функция является обобщенным полином Лагерра в γr ² порядка к (то есть, максимальная степень многочлена пропорциональна γ ^K г ^{2 к} ). ${\ Displaystyle L_ {к} ^ {(\ альфа)} (\ гамма г ^ {2})}$

Константа нормировки N _nl равна,

${\ Displaystyle N_ {NL} = \ left [{\ frac {2 ^ {n + l + 2} \, \ gamma ^ {l + {\ frac {3} {2}}}} {\ pi ^ {\ frac {1} {2}}}} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ left [{\ frac {[{\ frac {1} {2}} (nl)]! \; [{ \ frac {1} {2}} (n + l)]!} {(n + l + 1)!}} \ right] ^ {\ frac {1} {2}}.}$

Собственная функция R _{n, l} (r) принадлежит энергии E _n и должна быть умножена на сферическую гармонику , где ${\ Displaystyle Y_ {lm} (\ theta, \ phi) \,}$

${\ displaystyle l = n, n-2, \ ldots, l _ {\ min} \ quad {\ hbox {with}} \ quad l _ {\ min} = {\ begin {cases} 1 & \ mathrm {if} \; n \; \ mathrm {odd} \\ 0 & \ mathrm {if} \; n \; \ mathrm {even} \ end {case}}}$

Это тот же результат, что и в статье Harmonic Oscillator , с небольшой разницей в обозначениях . ${\ Displaystyle \ гамма = 2 \ ню \,}$

Вывод

Сначала мы преобразуем радиальное уравнение несколькими последовательными подстановками в обобщенное дифференциальное уравнение Лагерра, которое имеет известные решения: обобщенные функции Лагерра. Затем нормируем обобщенные функции Лагерра на единицу. Эта нормализация выполняется с обычным элементом объема r ²  d r .

Сначала масштабируем радиальную координату

${\ displaystyle y = {\ sqrt {\ gamma}} r \ quad {\ hbox {with}} \ quad \ gamma \ Equiv {\ frac {m_ {0} \ omega} {\ hbar}},}$

а затем уравнение принимает вид

${\ displaystyle \ left [{d ^ {2} \ over dy ^ {2}} - {l (l + 1) \ over y ^ {2}} - y ^ {2} + 2n + 3 \ right] v (y) = 0}$

с . ${\ Displaystyle v (y) = и \ влево (у / {\ sqrt {\ gamma}} \ вправо)}$

Рассмотрение предельного поведения v ( y ) в начале координат и на бесконечности предлагает следующую замену v ( y ):

${\ Displaystyle v (y) = y ^ {l + 1} e ^ {- y ^ {2} / 2} f (y).}$

Эта замена преобразует дифференциальное уравнение к виду

${\ displaystyle \ left [{d ^ {2} \ over dy ^ {2}} + 2 \ left ({\ frac {l + 1} {y}} - y \ right) {\ frac {d} {dy }} + 2n-2l \ right] f (y) = 0,}$

где мы разделили с помощью , что можно сделать, пока y не равно нулю. ${\ displaystyle y ^ {l + 1} e ^ {- y ^ {2} / 2}}$

Преобразование в полиномы Лагерра.

Если используется подстановка , и дифференциальные операторы принимают вид ${\ Displaystyle х = у ^ {2} \,}$${\ displaystyle y = {\ sqrt {x}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dy}} = {\ frac {dx} {dy}} {\ frac {d} {dx}} = 2y {\ frac {d} {dx}} = 2 {\ sqrt {x}} {\ frac {d} {dx}}, {\ text {и}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dy ^ {2}}} = {\ frac {d} {dy}} \ left (2y {\ frac {d} {dx}} \ right) = 4x {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + 2 {\ frac {d} {dx}}.}$

Выражение между квадратными скобками при умножении f ( y ) становится дифференциальным уравнением, характеризующим обобщенное уравнение Лагерра (см. Также уравнение Куммера ):

${\ displaystyle x {\ frac {d ^ {2} g} {dx ^ {2}}} + {\ Big (} (l + {\ frac {1} {2}}) + 1-x {\ Big) } {\ frac {dg} {dx}} + {\ frac {1} {2}} (nl) g (x) = 0}$

с . ${\ Displaystyle г (х) \ эквив е ({\ sqrt {х}}) \, \;}$

При условии неотрицательного целого числа решения этого уравнения являются обобщенными (ассоциированными) полиномами Лагерра.${\ Displaystyle к \ эквив (пл) / 2 \,}$

${\ displaystyle g (x) = L_ {k} ^ {(l + {\ frac {1} {2}})} (x).}$

Из условий на k следует: (i) и (ii) n и l либо оба нечетны, либо оба четны. Это приводит к приведенному выше условию на l . ${\ Displaystyle п \ geq l \,}$

Восстановление нормированной радиальной волновой функции

Помня об этом , мы получаем нормированное радиальное решение ${\ Displaystyle и (г) = рР (г) \,}$

${\ displaystyle R_ {n, l} (r) = N_ {nl} \, r ^ {l} \, e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ gamma r ^ {2}} \; L _ {{\ frac {1} {2}} (nl)} ^ {(l + {\ frac {1} {2}})} (\ gamma r ^ {2}).}$

Условие нормировки радиальной волновой функции:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} r ^ {2} | R (r) | ^ {2} \, dr = 1.}$

Подставляя , дает, и уравнение становится ${\ Displaystyle д = \ гамма г ^ {2} \, \;}$${\ Displaystyle dq = 2 \ гамма г \, др \, \;}$

${\ displaystyle {\ frac {N_ {nl} ^ {2}} {2 \ gamma ^ {l + {3 \ over 2}}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} q ^ {l + {1 \ более 2}} e ^ {- q} \ left [L _ {{\ frac {1} {2}} (nl)} ^ {(l + {\ frac {1} {2}})} (q) \ right ] ^ {2} \, dq = 1.}$

Используя свойства ортогональности обобщенных многочленов Лагерра, это уравнение упрощается до

${\ displaystyle {\ frac {N_ {nl} ^ {2}} {2 \ gamma ^ {l + {3 \ over 2}}}} \ cdot {\ frac {\ Gamma [{\ frac {1} {2}} } (n + l + 1) +1]} {[{\ frac {1} {2}} (nl)]!}} = 1.}$

Следовательно, нормировочная константа может быть выражена как

${\ displaystyle N_ {nl} = {\ sqrt {\ frac {2 \, \ gamma ^ {l + {3 \ over 2}} \, ({\ frac {nl} {2}})!} {\ Gamma ( {\ frac {n + l} {2}} + {\ frac {3} {2}})}}}}$

Другие формы нормировочной константы могут быть получены с использованием свойств гамма-функции , при этом следует отметить, что n и l имеют одинаковую четность. Это означает, что n  +  l всегда четно, так что гамма-функция становится

${\ displaystyle \ Gamma \ left [{1 \ over 2} + \ left ({\ frac {n + l} {2}} + 1 \ right) \ right] = {\ frac {{\ sqrt {\ pi} } (n + l + 1) !!} {2 ^ {{\ frac {n + l} {2}} + 1}}} = {\ frac {{\ sqrt {\ pi}} (n + l + 1)!} {2 ^ {n + l + 1} [{\ frac {1} {2}} (n + l)]!}},}$

где мы использовали определение двойного факториала . Следовательно, нормировочная константа также определяется выражением

${\ displaystyle N_ {nl} = \ left [{\ frac {2 ^ {n + l + 2} \, \ gamma ^ {l + {3 \ over 2}} \, [{1 \ over 2} (nl) ]! \; [{1 \ over 2} (n + l)]!} {\; \ Pi ^ {1 \ over 2} (n + l + 1)!}} \ Right] ^ {1 \ over 2 } = {\ sqrt {2}} \ left ({\ frac {\ gamma} {\ pi}} \ right) ^ {1 \ over 4} \, ({2 \ gamma}) ^ {\ ell \ over 2 } \, {\ sqrt {\ frac {2 \ gamma (nl) !!} {(n + l + 1) !!}}}.}$

Водородоподобные атомы

Водородный (водородоподобный) атом - это двухчастичная система, состоящая из ядра и электрона. Две частицы взаимодействуют через потенциал, задаваемый законом Кулона :

${\ displaystyle V (r) = - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Ze ^ {2}} {r}}}$

куда

• ε ₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума,
• Z - атомный номер ( eZ - заряд ядра),
• е - элементарный заряд (заряд электрона),
• r - расстояние между электроном и ядром.

Масса m ₀ , введенная выше, является приведенной массой системы. Поскольку масса электрона примерно в 1836 раз меньше массы легчайшего ядра (протона), значение m ₀ очень близко к массе электрона m _e для всех водородных атомов. В оставшейся части статьи мы делаем приближение m ₀ = m _e . Поскольку m _e будет явным образом фигурировать в формулах, при необходимости это приближение будет легко скорректировать.

Чтобы упростить уравнение Шредингера, мы вводим следующие константы, которые определяют атомную единицу энергии и длины соответственно:

${\ displaystyle E _ {\ textrm {h}} = m _ {\ textrm {e}} \ left ({\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar}} \ right) ^ {2} \ quad {\ hbox {and}} \ quad a_ {0} = {{4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} \ over {m _ {\ textrm {e}} e ^ {2}}}.}$

Подставим и в приведенное выше радиальное уравнение Шредингера. Это дает уравнение, в котором скрыты все естественные константы, ${\ displaystyle y = Zr / a_ {0} \,}$${\ Displaystyle W = E / (Z ^ {2} E _ {\ textrm {h}}) \,}$

${\ displaystyle \ left [- {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2}} {dy ^ {2}}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac { l (l + 1)} {y ^ {2}}} - {\ frac {1} {y}} \ right] u_ {l} = Wu_ {l}.}$

Существуют два класса решений этого уравнения: (i) W отрицательно, соответствующие собственные функции интегрируемы с квадратом, а значения W квантованы (дискретный спектр). (ii) W неотрицательно. Любое действительное неотрицательное значение W физически разрешено (непрерывный спектр), соответствующие собственные функции неквадратично интегрируемы. В оставшейся части статьи будут рассмотрены только решения класса (i). Волновые функции известны как связанные состояния , в отличие от решений класса (ii), которые известны как состояния рассеяния .

Для отрицательного W величина действительна и положительна. Масштабирование y , то есть подстановка, дает уравнение Шредингера: ${\ Displaystyle \ альфа \ эквив 2 {\ sqrt {-2W}}}$${\ Displaystyle х \ экв \ альфа у}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} - {\ frac {l (l + 1)} {x ^ {2}}} + {\ frac {2}} } {\ alpha x}} - {\ frac {1} {4}} \ right] u_ {l} = 0, \ quad {\ text {with}} x \ geq 0.}$

Поскольку обратные степени x пренебрежимо малы, а решение для больших x есть . Другое решение, физически неприемлемо. Для обратного квадрата преобладает степень, и решением для малых x является x ^{l +1} . Другое решение, x ^{- l} , физически неприемлемо. Следовательно, чтобы получить полное решение, мы подставляем ${\ Displaystyle х \ rightarrow \ infty}$${\ Displaystyle \ ехр [-x / 2]}$${\ Displaystyle \ ехр [х / 2]}$${\ displaystyle x \ rightarrow 0}$

${\ displaystyle u_ {l} (x) = x ^ {l + 1} e ^ {- x / 2} f_ {l} (x). \,}$

Уравнение для f _l ( x ) принимает следующий вид:

${\ displaystyle \ left [х {\ гидроразрыва {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + (2l + 2-x) {\ frac {d} {dx}} + (nl-1) \ справа] f_ {l} (x) = 0 \ quad {\ hbox {with}} \ quad n = (- 2W) ^ {- {\ frac {1} {2}}} = {\ frac {2} { \ alpha}}.}$

Если есть неотрицательное целое число, скажем k , это уравнение имеет полиномиальные решения, записанные как ${\ displaystyle nl-1}$

${\ Displaystyle L_ {к} ^ {(2l + 1)} (х), \ qquad k = 0,1, \ ldots,}$

которые являются обобщенными многочленами Лагерра порядка k . Мы возьмем соглашение для обобщенных многочленов Лагерра Абрамовица и Стегуна. Обратите внимание, что полиномы Лагерра, приведенные во многих учебниках по квантовой механике, например в книге Мессии, являются полиномами Абрамовица и Стегуна, умноженными на коэффициент ( 2l + 1 + k )! Определение, данное в этой статье в Википедии, совпадает с определением Абрамовица и Стегуна.

Энергия становится

${\ Displaystyle W = - {\ frac {1} {2n ^ {2}}} \ quad {\ hbox {with}} \ quad n \ эквив k + l + 1.}$

Главное квантовое число n удовлетворяет , или . Поскольку полная радиальная волновая функция равна ${\ Displaystyle п \ geq l + 1}$${\ Displaystyle л \ Leq п-1}$${\ Displaystyle \ альфа = 2 / п}$

${\ displaystyle R_ {nl} (r) = {\ frac {u (r)} {r}} = N_ {nl} \ left ({\ frac {2Zr} {na_ {0}}} \ right) ^ { l} \; e ^ {- {\ textstyle {\ frac {Zr} {na_ {0}}}}} \; L_ {nl-1} ^ {(2l + 1)} \ left ({\ frac {2Zr } {na_ {0}}} \ right),}$

с константой нормализации, которая поглощает лишние члены из ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}$

${\ displaystyle N_ {nl} = \ left [\ left ({\ frac {2Z} {na_ {0}}} \ right) ^ {3} \ cdot {\ frac {(nl-1)!} {2n [ (n + l)!] ^ {3}}} \ right] ^ {1 \ over 2}}$

что принадлежит энергии

${\ displaystyle E = - {\ frac {Z ^ {2}} {2n ^ {2}}} E _ {\ textrm {h}}, \ qquad n = 1,2, \ ldots.}$

При вычислении постоянной нормировки использовался интеграл

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {2l + 2} e ^ {- x} \ left [L_ {nl-1} ^ {(2l + 1)} (x) \ right] ^ {2} dx = {\ frac {2n (n + l)!} {(Nl-1)!}}.}$

использованная литература