Дельта-функция Дирака - Dirac delta function
Дифференциальные уравнения |
---|
Классификация |
Решение |
В математике , то функция Дирака дельта ( δ функция ), также известная как блок импульсного символ, является обобщенной функцией или распределения над действительными числами , значение которого равно нулю всюду , кроме нуля, и чей интеграла по всей вещественной оси равно к одному. Она также может быть интерпретирована как линейный функционал , который отображает каждую функцию в значение в нуле, либо как слабый предел в виде последовательности из столбиковых функций , которые равны нуль на большую часть вещественной оси, с высоким шипом в начале координат. Поэтому функции рельефа иногда называют «приближенными» или «зарождающимися» дельта-функциями.
Дельта-функция была введена физиком Полем Дираком как инструмент для нормализации векторов состояния. Он также используется в теории вероятностей и обработке сигналов . Поскольку это не истинная математическая функция , некоторые математики возражали против нее как от бессмыслицы, пока Лоран Шварц не разработал теорию распределений.
Кронекера функция, которая обычно определяется на дискретной области и принимает значения 0 и 1, является дискретным аналогом дельта - функции Дирака.
Мотивация и обзор
График дельта - функции, как правило , думают как после целого х оси х и положительный у оси х. Дельта Дирака используется для моделирования функции высокого узкого пика ( импульса ) и других подобных абстракций, таких как точечный заряд , точечная масса или электронная точка. Например, чтобы рассчитать динамику удара по бильярдному шару , можно аппроксимировать силу удара с помощью дельта-функции. При этом можно не только упростить уравнения, но также можно рассчитать движение шара, только рассматривая полный импульс столкновения без подробной модели всей передачи упругой энергии на субатомных уровнях (например) .
Для конкретности предположим, что бильярдный шар покоится. В момент удара по нему другой шар, придавая ему импульс P , in . Обмен импульсом на самом деле не является мгновенным, поскольку он опосредован упругими процессами на молекулярном и субатомном уровне, но для практических целей удобно рассматривать эту передачу энергии как фактически мгновенную. Следовательно, сила есть . (Единицы измерения - ар .)
Чтобы смоделировать эту ситуацию более строго, предположим, что сила вместо этого равномерно распределена в течение небольшого промежутка времени . То есть,
Тогда импульс в любой момент времени t находится интегрированием:
Теперь модельная ситуация мгновенной передачи импульса требует принятия предела как , давая
Здесь функции рассматриваются как полезные приближения к идее мгновенной передачи импульса.
Дельта-функция позволяет построить идеализированный предел этих приближений. К сожалению, реальный предел функций (в смысле поточечной сходимости ) равен нулю везде, кроме одной точки, где он бесконечен. Чтобы понять дельта-функцию, мы должны вместо этого настаивать на том, чтобы свойство
который справедлив для всех , должен и дальше удерживаться в пределах. Итак, в уравнении подразумевается, что предел всегда выносится за пределы интеграла .
В прикладной математике, как мы сделали здесь, дельта-функцией часто манипулируют как своего рода предел ( слабый предел ) последовательности функций, каждый член которой имеет высокий пик в начале координат: например, последовательность Гауссовские распределения с центром в начале координат с отклонением, стремящимся к нулю.
Несмотря на свое название, дельта-функция на самом деле не является функцией, по крайней мере, не обычной с доменом и диапазоном в действительных числах . Например, объекты f ( x ) = δ ( x ) и g ( x ) = 0 равны везде, кроме точки x = 0, но имеют разные интегралы. Согласно теории интегрирования Лебега , если f и g - такие функции, что f = g почти всюду , то f интегрируема тогда и только тогда, когда g интегрируема и интегралы от f и g идентичны. Строгий подход к рассмотрению дельта-функции Дирака как самостоятельного математического объекта требует теории меры или теории распределений .
История
Жозеф Фурье представил то, что сейчас называется интегральной теоремой Фурье, в своем трактате Théorie analytique de la chaleur в форме:
что равносильно введению δ- функции в виде:
Позже Огюстен Коши выразил теорему с помощью экспонент:
Коши указал, что в некоторых случаях порядок интегрирования в этом результате имеет значение (в отличие от теоремы Фубини ).
Как это оправдано с помощью теории распределений , уравнение Коши может быть преобразовано так, чтобы оно напоминало исходную формулировку Фурье, и представить δ- функцию как
где δ- функция выражается как
Строгая интерпретация экспоненциальной формы и различные ограничения функции f, необходимые для ее применения, растянулись на несколько столетий. Проблемы с классической интерпретацией объясняются следующим образом:
- Самый большой недостаток классического преобразования Фурье - довольно узкий класс функций (оригиналов), для которых оно может быть эффективно вычислено. А именно, необходимо, чтобы эти функции достаточно быстро убывали до нуля (в окрестности бесконечности), чтобы обеспечить существование интеграла Фурье. Например, преобразования Фурье таких простых функций, как полиномы, не существует в классическом смысле. Распространение классического преобразования Фурье на распределения значительно расширило класс функций, которые можно было преобразовать, и это устранило многие препятствия.
Дальнейшие разработки включали обобщение интеграла Фурье, «начиная с новаторской L 2 -теории Планшереля (1910 г.), продолжая работами Винера и Бохнера (около 1930 г.) и заканчивая объединением в теорию распределений Л. Шварца (1945 г.) ... ", что привело к формальному развитию дельта-функции Дирака.
Бесконечно малая формула для бесконечно высокой дельта-функции единичного импульса (бесконечно малая версия распределения Коши ) явно появляется в тексте Огюстена Луи Коши 1827 года . Симеон Дени Пуассон рассматривал этот вопрос в связи с изучением распространения волн, как и Густав Кирхгоф несколько позже. Кирхгоф и Герман фон Гельмгольц также ввели единичный импульс как предел гауссианов , что также соответствовало представлению лорда Кельвина о точечном источнике тепла. В конце 19 века Оливер Хевисайд использовал формальные ряды Фурье для управления единичным импульсом. Дельта-функция Дирака как таковая была введена в качестве «удобного обозначения» Полем Дираком в его влиятельной книге 1930 года «Принципы квантовой механики» . Он назвал ее «дельта-функцией», поскольку использовал ее как непрерывный аналог дискретной дельты Кронекера .
Определения
Дельту Дирака можно условно представить как функцию на действительной прямой, которая равна нулю везде, кроме начала координат, где она бесконечна,
и который также должен удовлетворять тождеству
Это просто эвристическая характеристика. Дельта Дирака не является функцией в традиционном смысле, поскольку ни одна функция, определенная на действительных числах, не имеет этих свойств. Дельта-функцию Дирака можно строго определить либо как распределение, либо как меру .
Как мера
Один из способов строго уловить понятие дельта-функции Дирака - определить меру , называемую мерой Дирака , которая принимает в качестве аргумента подмножество A вещественной прямой R и возвращает δ ( A ) = 1, если 0 ∈ A , и δ ( A ) = 0 в противном случае. Если функция дельты задумана как моделирование идеализированных масс точки при 0, то δ ( ) представляет масса содержится в множестве A . Затем можно определить интеграл от δ как интеграл функции от этого распределения масс. Формально интеграл Лебега обеспечивает необходимый аналитический прием. Интеграл Лебега по мере δ удовлетворяет
для всех непрерывных функций f с компактным носителем . Мера δ не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега - фактически, это особая мера . Следовательно, дельта-мера не имеет производной Радона – Никодима (по мере Лебега) - нет истинной функции, для которой свойство
держит. В результате последнее обозначение представляет собой удобное злоупотребление обозначением , а не стандартный интеграл ( Римана или Лебега ).
Как вероятностная мера на R , дельта-мера характеризуется своей кумулятивной функцией распределения , которая является функцией единичного шага .
Это означает, что H ( x ) является интегралом кумулятивной индикаторной функции 1 (−∞, x ] по мере δ , т. Е.
последний является мерой этого интервала; более формально, δ ((−∞, x ]) . Таким образом, в частности, интегрирование дельта-функции по непрерывной функции может быть правильно понято как интеграл Римана – Стилтьеса :
Все высшие моменты из б равны нулю. В частности, характеристическая функция и производящая функция момента равны одному.
Как распространение
В теории распределений обобщенная функция рассматривается не как функция сама по себе, а только относительно того, как она влияет на другие функции, когда «интегрируется» с ними. В соответствии с этой философией, чтобы правильно определить дельта-функцию, достаточно сказать, какой «интеграл» дельта-функции соответствует достаточно «хорошей» тестовой функции φ . Функции тестирования также известны как функции удара . Если дельта-функция уже понимается как мера, то интеграл Лебега тестовой функции по этой мере дает необходимый интеграл.
Типичное пространство пробных функций состоит из всех гладких функций на R с компактным носителем , имеющих столько производных, сколько требуется. Как распределение, дельта Дирака является линейным функционалом на пространстве пробных функций и определяется формулой
-
( 1 )
для каждой тестовой функции .
Чтобы δ было правильным распределением, оно должно быть непрерывным в подходящей топологии на пространстве тестовых функций. В общем, для того, чтобы линейный функционал S на пространстве пробных функций определял распределение, необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного целого числа N существовало целое число M N и константа C N такие, что для каждой пробной функции φ , есть неравенство
С б распределения, один имеет такое неравенство (с C N = 1) с М N = 0 для всех N . Таким образом, δ - распределение нулевого порядка. Кроме того, это дистрибутив с компактной поддержкой ( поддержка - {0}).
Дельта-распределение также можно определить несколькими эквивалентными способами. Так , например, она является дистрибутивный производной от ступенчатой функции Хевисайда . Это означает, что для каждой пробной функции φ выполняется
Интуитивно, если интеграция по частям была разрешена, то последний интеграл должен был упроститься до
и действительно, для интеграла Стилтьеса разрешена форма интегрирования по частям, и в этом случае
В контексте теории меры мера Дирака порождает распределение путем интегрирования. Наоборот, уравнение ( 1 ) определяет интеграл Даниэля на пространстве всех непрерывных функций φ с компактным носителем, который, согласно теореме Рисса о представлении , может быть представлен как интеграл Лебега функции φ относительно некоторой меры Радона .
Обычно, когда используется термин « дельта-функция Дирака », он имеет в виду скорее распределения, чем меры, причем мера Дирака является одним из нескольких терминов для соответствующего понятия в теории меры. В некоторых источниках также может использоваться термин дельта-распределение Дирака .
Обобщения
Дельта-функцию можно определить в n -мерном евклидовом пространстве R n как такую меру, что
для любой непрерывной функции f с компактным носителем . В качестве меры n- мерная дельта-функция является мерой произведения одномерных дельта-функций по каждой переменной отдельно. Таким образом, формально при x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) имеем
-
( 2 )
Дельта-функция также может быть определена в смысле распределений точно так же, как указано выше в одномерном случае. Однако, несмотря на широкое использование в инженерном контексте, с ( 2 ) следует обращаться осторожно, поскольку продукт распределений может быть определен только в довольно узких обстоятельствах.
Понятие меры Дирака имеет смысл на любом множестве. Таким образом, если X - множество, x 0 ∈ X - отмеченная точка и Σ - любая сигма-алгебра подмножеств X , то мера, определенная на множествах A ∈ Σ формулой
это дельта-мера или единица массы, сосредоточенная в точке x 0 .
Другое распространенное обобщение дельта-функции - это дифференцируемое многообразие, где большая часть его свойств как распределения также может быть использована из-за дифференцируемой структуры . Дельта-функция на многообразии M с центром в точке x 0 ∈ M определяется как следующее распределение:
-
( 3 )
для всех финитных гладких вещественных функций ф на М . Частным частным случаем этой конструкции является случай, когда M - открытое множество в евклидовом пространстве R n .
На локально компактном хаусдорфовом пространстве X дельта-мера Дирака, сосредоточенная в точке x, является мерой Радона, ассоциированной с интегралом Даниэля ( 3 ) на непрерывных функциях φ с компактным носителем . На этом уровне обобщения исчисление как таковое больше невозможно, однако доступны различные методы абстрактного анализа. Например, отображение - это непрерывное вложение X в пространство конечных радоновских мер на X , снабженное его расплывчатой топологией . Кроме того, выпуклая оболочка образа X при этом вложении является плотным в пространстве вероятностных мер на X .
Характеристики
Масштабирование и симметрия
Дельта-функция удовлетворяет следующему свойству масштабирования для ненулевого скаляра α:
так что
-
( 4 )
Доказательство:
В частности, дельта-функция является четным распределением в том смысле, что
которое однородно степени −1.
Алгебраические свойства
Дистрибутивный продукт из б с й равен нулем:
Наоборот, если xf ( x ) = xg ( x ) , где f и g - распределения, то
для некоторой постоянной c .
Перевод
Интеграл от запаздывающей дельты Дирака равен
Иногда это называют свойством просеивания или свойством отбора проб . Дельта - функция называется «отсеивать» значение при т = Т .
Отсюда следует, что свертка функции f ( t ) с запаздывающей по времени дельтой Дирака приводит к временной задержке f ( t ) на ту же величину:
Это выполняется при точном условии, что f - умеренное распределение (см. Обсуждение преобразования Фурье ниже ). В качестве частного случая, например, у нас есть тождество (понимаемое в смысле распределения)
Композиция с функцией
В более общем смысле, дельта-распределение может быть составлено с помощью гладкой функции g ( x ) таким образом, чтобы выполнялась известная формула замены переменных:
при условии, что g - непрерывно дифференцируемая функция, у которой g ′ нигде не равен нулю. То есть существует уникальный способ придать значение распределению, чтобы это тождество выполнялось для всех тестовых функций f с компактным носителем . Следовательно, область должна быть разбита, чтобы исключить точку g ′ = 0. Это распределение удовлетворяет δ ( g ( x )) = 0, если g нигде не равно нулю, и в противном случае, если g имеет вещественный корень в x 0 , то
Поэтому естественно определить композицию δ ( g ( x )) для непрерывно дифференцируемых функций g формулой
где сумма распространяется на все корни (т. е. все различные) функции g ( x ), которые считаются простыми . Так, например,
В интегральной форме свойство обобщенного масштабирования можно записать как
Свойства в n измерениях
Вместо этого дельта-распределение в n -мерном пространстве удовлетворяет следующему свойству масштабирования:
так что δ - однородное распределение степени - n .
При любом отражении или повороте ρ дельта-функция инвариантна,
Как и в случае одной переменной, можно однозначно определить композицию δ с билипшицевой функцией g : R n → R n, так что тождество
для всех функций f с компактным носителем .
Используя формулу коплощади из геометрической теории меры , можно также определить композицию дельта-функции с погружением из одного евклидова пространства в другое с другой размерностью; результат - это тип тока . В частном случае непрерывно дифференцируемой функции г : R п → R такой , что градиент в г нигде не равна нулю, то имеет место тождество
где интеграл справа берется по g −1 (0), ( n - 1) -мерной поверхности, определяемой формулой g ( x ) = 0 относительно меры содержания Минковского . Это известно как интеграл простого слоя .
В более общем смысле, если S - гладкая гиперповерхность R n , то мы можем связать с S распределение, которое интегрирует любую гладкую функцию g с компактным носителем над S :
где σ является мерой гиперповерхности , связанная с S . Это обобщение связано с потенциальной теории о простых потенциалов слоя на S . Если D является доменом в R п с гладкой границей S , то δ S равна нормальной производной от функции индикатора из D в том смысле , распределение,
где n - внешняя нормаль. Для доказательства см., Например, статью о поверхностной дельта-функции .
преобразование Фурье
Дельта-функция является умеренным распределением и поэтому имеет четко определенное преобразование Фурье . Формально можно найти
Собственно говоря, преобразование Фурье распределения определяется путем наложения самосопряженности преобразования Фурье при двойном спаривании умеренных распределений с функциями Шварца . Таким образом определяется как единственное умеренное распределение, удовлетворяющее
для всех функций Шварца . И действительно, из этого следует, что
В результате этого тождества свертка дельта-функции с любым другим умеренным распределением S будет просто S :
Это означает, что δ является тождественным элементом для свертки умеренных распределений, и на самом деле пространство распределений с компактным носителем при свертке является ассоциативной алгеброй с тождественной дельта-функцией. Это свойство является фундаментальным при обработке сигналов , поскольку свертка с умеренным распределением является линейной инвариантной во времени системой , и применение линейной инвариантной во времени системы измеряет ее импульсный отклик . Импульсный отклик можно вычислить с любой желаемой степенью точности, выбрав подходящее приближение для δ , и, как только оно известно, оно полностью характеризует систему. См. Теория систем LTI § Импульсная характеристика и свертка .
Обратное преобразование Фурье умеренного распределения f ( ξ ) = 1 является дельта-функцией. Формально это выражается
и более строго, так как
для всех функций Шварца f .
В этих условиях, дельта - функция обеспечивает наводящее утверждение свойства ортогональности ядра Фурье на R . Формально
Это, конечно, сокращение от утверждения, что преобразование Фурье умеренного распределения
является
что снова следует из наложения самосопряженности преобразования Фурье.
Путем аналитического продолжения преобразования Фурье преобразование Лапласа дельта-функции оказывается равным
Распределительные производные
Производная по распределению дельта-распределения Дирака - это распределение δ ′, определенное на гладких пробных функциях φ с компактным носителем формулой
Первое равенство здесь представляет собой своего рода интегрирование по частям, так как если бы δ было истинной функцией, то
К -The производному б определяются аналогично как распределение заданного на тестовых функциях
В частности, δ - бесконечно дифференцируемое распределение.
Первая производная дельта-функции - это предел распределения разностных коэффициентов:
Вернее, есть
где τ h - оператор сдвига, определенный на функциях как τ h φ ( x ) = φ ( x + h ) , а на распределении S - как
В теории электромагнетизма первая производная дельта-функции представляет собой точечный магнитный диполь, расположенный в начале координат. Соответственно, ее называют дипольной или дублетной функцией .
Производная дельта-функции удовлетворяет ряду основных свойств, в том числе:
Последнее из этих свойств можно легко продемонстрировать, применив определение распределительной производной, теорему Либница и линейность внутреннего продукта:
Кроме того, свертка δ ′ с гладкой функцией f с компактным носителем имеет вид
что следует из свойств распределительной производной свертки.
Высшие измерения
В более общем смысле, на открытом множестве U в n -мерном евклидовом пространстве R n дельта-распределение Дирака с центром в точке a ∈ U определяется формулой
для всех ф ∈ S ( U ) , пространство всех гладких финитных функций на U . Если & alpha ; = ( & alpha ; 1 , ..., & alpha ; п ) является любой многоиндексной и ∂ & alpha ; обозначает связанный с ним смешанным частным производным оператором, то & alpha ; й производной ∂ & alpha ; & delta ; из б в задаются
То есть α- ая производная от δ a - это распределение, значение которого на любой пробной функции φ является α- ой производной φ в a (с соответствующим положительным или отрицательным знаком).
Первые частные производные дельта-функции рассматриваются как двойные слои вдоль координатных плоскостей. В более общем смысле, нормальная производная простого слоя, поддерживаемого на поверхности, представляет собой двойной слой, поддерживаемый на этой поверхности, и представляет собой ламинарный магнитный монополь. Высшие производные дельта-функции известны в физике как мультиполи .
Высшие производные естественным образом входят в математику как строительные блоки для полной структуры распределений с точечной опорой. Если S - любое распределение на U, поддерживаемое на множестве { a }, состоящем из одной точки, то существует целое число m и коэффициенты c α такие, что
Представления дельта-функции
Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций.
где η ε ( x ) иногда называют возникающей дельта-функцией. Этот предел подразумевается в слабом смысле: либо то, что
-
( 5 )
для всех непрерывных функций f, имеющих компактный носитель , или что этот предел выполняется для всех гладких функций f с компактным носителем. Разница между этими двумя немного разными способами слабой сходимости часто бывает тонкой: первый - это сходимость в нечеткой топологии мер, а второй - сходимость в смысле распределений .
Приближения к идентичности
Обычно возникающая дельта-функция η ε может быть построена следующим образом. Пусть η - абсолютно интегрируемая функция полного интеграла 1 на R , и определим
В n измерениях вместо этого используется масштабирование
Тогда простая замена переменных показывает, что η ε также имеет интеграл 1. Можно показать, что ( 5 ) выполняется для всех непрерывных функций f с компактным носителем , и поэтому η ε слабо сходится к δ в смысле мер.
П & epsi ; Построенный таким образом , как известно , в качестве приближения к идентичности . Эта терминология связана с тем, что пространство L 1 ( R ) абсолютно интегрируемых функций замкнуто относительно операции свертки функций: f ∗ g ∈ L 1 ( R ), если f и g принадлежат L 1 ( R ). Однако в L 1 ( R ) нет тождества для продукта свертки: нет такого элемента h , что f ∗ h = f для всех f . Тем не менее последовательность η ε аппроксимирует такое тождество в том смысле, что
Этот предел имеет место в смысле сходимости в среднем (сходимости в L 1 ). Для обеспечения поточечной сходимости почти всюду необходимы дополнительные условия на η ε , например, что это успокоитель, связанный с функцией с компактным носителем .
Если исходная η = η 1 сама по себе гладкая и с компактным носителем, то последовательность называется успокаивающей . Стандартный успокаивающий эффект получается путем выбора η в качестве подходящей нормированной функции выпуклости , например
В некоторых ситуациях, таких как численный анализ , желательно кусочно-линейное приближение к идентичности. Это можно получить, взяв η 1 в качестве шляпной функции . При таком выборе η 1 имеем
которые все сплошные и компактно поддерживаются, хотя и не гладкие и, следовательно, не успокаивают.
Вероятностные соображения
В контексте теории вероятностей естественно наложить дополнительное условие, что начальное η 1 в приближении к тождеству должно быть положительным, поскольку такая функция тогда представляет собой распределение вероятностей . Свертка с распределением вероятностей иногда бывает благоприятной, потому что она не приводит к перерегулированию или недорегулированию, поскольку выходной сигнал представляет собой выпуклую комбинацию входных значений и, таким образом, находится между максимумом и минимумом входной функции. Если взять η 1 как любое распределение вероятностей, и положить η ε ( x ) = η 1 ( x / ε ) / ε, как указано выше, мы получим приближение к тождеству. В общем, это быстрее сходится к дельта-функции, если, кроме того, η имеет среднее значение 0 и небольшие высшие моменты. Например, если η 1 - равномерное распределение на [−1/2, 1/2] , также известное как прямоугольная функция , то:
Другой пример - полукруглое распределение Вигнера
Он сплошной и компактно закреплен, но не успокаивает, потому что он негладкий.
Полугруппы
Возникающие дельта-функции часто возникают как полугруппы свертки . Это составляет дополнительное ограничение: свертка η ε с η δ должна удовлетворять
для всех ε , δ > 0 . Полугруппы свертки в L 1, которые образуют возникающую дельта-функцию, всегда являются приближением к тождеству в указанном выше смысле, однако условие полугруппы является довольно сильным ограничением.
На практике полугруппы, аппроксимирующие дельта-функцию, возникают как фундаментальные решения или функции Грина физически мотивированных эллиптических или параболических уравнений в частных производных . В контексте прикладной математики полугруппы возникают как результат линейной инвариантной во времени системы . Абстрактно, если A - линейный оператор, действующий на функции x , то полугруппа свертки возникает при решении задачи начального значения
в котором предел, как обычно, понимается в слабом смысле. Положив η ε ( x ) = η ( ε , x ), мы получим соответствующую возникающую дельта-функцию.
Некоторые примеры физически важных полугрупп свертки, возникающих из такого фундаментального решения, включают следующее.
- Тепловое ядро
Тепловое ядро , определяется
представляет температуру в бесконечном проводе в момент времени t > 0, если единица тепловой энергии хранится в начале провода в момент времени t = 0. Эта полугруппа эволюционирует в соответствии с одномерным уравнением теплопроводности :
В теории вероятностей , п & epsi ; ( х ) является нормальным распределением по дисперсии е и среднего 0. Она представляет собой плотность вероятности в момент времени т = е положений частицы , начиная с началом координат следующей стандартным броуновским движением . В этом контексте условие полугруппы является выражением марковского свойства броуновского движения.
В многомерном евклидовом пространстве R n тепловое ядро имеет вид
и имеет ту же физическую интерпретацию, mutatis mutandis . Он также представляет собой зарождающуюся дельта-функцию в том смысле, что η ε → δ в смысле распределения при ε → 0 .
- Ядро Пуассона
является фундаментальным решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости. Он представляет собой электростатический потенциал в полубесконечной пластине, потенциал которой по краю удерживается на фиксированном уровне дельта-функции. Ядро Пуассона также тесно связано с распределением Коши и функциями ядра Епанечникова и Гаусса . Эта полугруппа эволюционирует по уравнению
где оператор строго определяется как множитель Фурье
Колебательные интегралы
В таких областях физики, как распространение волн и волновая механика , участвующие уравнения являются гиперболическими и поэтому могут иметь более сингулярные решения. В результате возникающие дельта-функции, которые возникают как фундаментальные решения связанных задач Коши , обычно являются осциллирующими интегралами . Пример, который исходит из решения уравнения Эйлера-Трикомьте на околозвуковую газовой динамику , является перемасштабирована функцией Эйри
Несмотря на использование преобразования Фурье, легко увидеть, что оно в некотором смысле порождает полугруппу - она не является абсолютно интегрируемой и поэтому не может определять полугруппу в указанном выше сильном смысле. Многие возникающие дельта-функции, построенные как осциллирующие интегралы, сходятся только в смысле распределений (пример - ядро Дирихле ниже), а не в смысле мер.
Другой пример - задача Коши для волнового уравнения в R 1 + 1 :
Решение u представляет собой смещение бесконечной упругой струны из положения равновесия с начальным возмущением в начале координат.
Другие приближения к идентичности этого типа включают функцию sinc (широко используемую в электронике и телекоммуникациях)
Разложение на плоскую волну
Один подход к изучению линейного уравнения в частных производных
где L - дифференциальный оператор на R n , состоит в том, чтобы сначала найти фундаментальное решение, которое является решением уравнения
Когда L является особенно простым, эта проблема часто может быть решена с использованием преобразования Фурье напрямую (как в случае уже упомянутого ядра Пуассона и теплового ядра). Для более сложных операторов иногда проще сначала рассмотреть уравнение вида
где h - плоская волновая функция, что означает, что она имеет вид
для некоторого вектора ξ. Такое уравнение может быть разрешено (если коэффициенты L являются аналитическими функциями ) с помощью теоремы Коши – Ковалевской или (если коэффициенты L постоянны) с помощью квадратуры. Итак, если дельта-функцию можно разложить на плоские волны, то в принципе можно решить линейные уравнения в частных производных.
Такое разложение дельта-функции на плоские волны было частью общей техники, впервые введенной по существу Иоганном Радоном , а затем развитой в этой форме Фрицем Джоном ( 1955 ). Выберите k так, чтобы n + k было четным целым числом, а для действительного числа s положите
Тогда δ получается применением степени лапласиана к интегралу относительно меры dω единичной сферы функции g ( x · ξ ) для ξ в единичной сфере S n −1 :
Лапласиан здесь интерпретируются как слабая производная, так что это уравнение следует понимать , что для любой пробной функции ф ,
Результат следует из формулы для ньютоновского потенциала (фундаментального решения уравнения Пуассона). По сути, это форма формулы обращения для преобразования Радона, поскольку она восстанавливает значение φ ( x ) из ее интегралов по гиперплоскостям. Например, если n нечетно и k = 1 , то интеграл в правой части равен
где Rφ ( ξ , p ) - преобразование Радона функции φ :
Альтернативное эквивалентное выражение разложения плоской волны из работы Гельфанда и Шилова (1966–1968 , I, § 3.10):
для n даже, и
для n нечетное.
Ядра Фурье
При изучении рядов Фурье главный вопрос состоит в том, чтобы определить, сходится ли и в каком смысле ряд Фурье, связанный с периодической функцией, к функции. П - й частичной суммой ряда Фурье функции F периода 2 П определяется сверткой (на интервале [-л, π] ) с ядром Дирихле :
Таким образом,
куда
Фундаментальный результат элементарных рядов Фурье утверждает, что ядро Дирихле стремится к кратному дельта-функции при N → ∞ . Это интерпретируется в смысле распределения, что
для любой гладкой функции f с компактным носителем . Таким образом, формально
на интервале [−π, π] .
Несмотря на это, результат верен не для всех непрерывных функций с компактным носителем : то есть D N не сходится слабо в смысле мер. Отсутствие сходимости рядов Фурье привело к введению множества методов суммирования, обеспечивающих сходимость. Метод суммирования Чезаро приводит к ядру Фейера
В ядрах фейеровские стремятся к дельта - функции в более сильном смысле , что
для любой непрерывной функции f с компактным носителем . Подразумевается, что ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется по Чезаро со значением функции в каждой точке.
Теория гильбертова пространства
Распределение дельта является плотно определенным неограниченным линейный функционал на гильбертовом пространстве L 2 из квадратных интегрируемых функций . Действительно, гладкая финитные функции плотны в L 2 , и действие распределения дельты на таких функциях хорошо определенно. Во многих приложениях, можно определить подпространства L 2 и дать более сильную топологию , на которой дельта - функция определяет линейный ограниченный функционал .
- Соболевские пространства
Из теоремы вложения Соболева для пространств Соболева на вещественной прямой R следует, что любая квадратично интегрируемая функция f такая, что
автоматически непрерывно и удовлетворяет, в частности,
Таким образом, δ - линейный ограниченный функционал на пространстве Соболева H 1 . Эквивалентно δ является элементом непрерывного сопряженного пространства H −1 к H 1 . В более общем смысле, в n измерениях δ ∈ H - s ( R n ) при s > n / 2 .
Пространства голоморфных функций
В комплексном анализе дельта-функция входит через интегральную формулу Коши , которая утверждает, что если D - область на комплексной плоскости с гладкой границей, то
для всех голоморфных функций F в D , непрерывных на замыкании D . В результате дельта-функция δ z представляется в этом классе голоморфных функций интегралом Коши:
Кроме того, пусть Н 2 (∂ D ) является пространство Харди , состоящее из замыкания в L 2 (∂ D ) всех голоморфных функций в D непрерывно вплоть до границы D . Тогда функции из H 2 (∂ D ) однозначно продолжаются до голоморфных функций из D , и интегральная формула Коши остается в силе. В частности, для z ∈ D дельта-функция δ z является непрерывным линейным функционалом на H 2 (∂ D ). Это частный случай ситуации в нескольких комплексных переменных , в которых, для гладких областей D , то Сег ядро играет роль интеграла Коши.
Разрешения личности
Принимая во внимание полного ортогонального базиса набор функций { φ п } в сепарабельном гильбертовом пространстве, например, нормированные собственные векторы оператора А компактного самосопряженного оператора , любой вектор е может быть выражены как
Коэффициенты {α n } находятся как
который может быть представлен обозначениями:
форма лицевой нотации Дирака. В этих обозначениях расширение f принимает диадическую форму:
Позволить I обозначим тождественный оператор на гильбертовом пространстве, то выражение
называется разрешением тождества . Когда гильбертово пространство является пространством L 2 ( D ) квадратично интегрируемых функций на области D , количество:
является интегральным оператором, и выражение для f можно переписать
В правой части сходится к F в L 2 смысла. Это не обязательно в поточечном смысле, даже если f - непрерывная функция. Тем не менее, часто злоупотребляют обозначениями и пишут
в результате получается представление дельта-функции:
С подходящим оснащенным гильбертовым пространством (Φ, L 2 ( D ), Φ *), где Φ ⊂ L 2 ( D ) содержит все гладкие функции с компактным носителем, это суммирование может сходиться в Φ *, в зависимости от свойств базиса φ n . В большинстве случаев, представляющих практический интерес, ортонормированный базис исходит из интегрального или дифференциального оператора, и в этом случае ряд сходится в смысле распределения .
Бесконечно малые дельта-функции
Коши использовал бесконечно малое α, чтобы записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака δ α, которой удовлетворял в ряде статей в 1827 году. Коши определил бесконечно малую величину в Cours d'Analyse (1827) в терминах стремящейся последовательности до нуля. А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой в терминологии Коши и Лазара Карно .
Нестандартный анализ позволяет строго относиться к бесконечно малым. Статья Ямашиты (2007) содержит библиографию по современным дельта-функциям Дирака в контексте бесконечно обогащенного континуума, обеспечиваемого гиперреалами . Здесь дельта Дирака может быть задана фактической функцией, имеющей свойство, которое для каждой действительной функции F есть, как и предполагалось Фурье и Коши.
Гребень Дирака
Так называемая единообразная «последовательность импульсов» дельта-мер Дирака, известная как гребенка Дирака или распределение Шаха, создает функцию выборки , часто используемую в цифровой обработке сигналов (DSP) и анализе сигналов в дискретном времени. Гребень Дирака задается как бесконечная сумма , предел которой понимается в смысле распределения,
который представляет собой последовательность точечных масс в каждом из целых чисел.
С точностью до общей нормализующей константы гребенка Дирака равна своему собственному преобразованию Фурье. Это очень важно , потому что если любая функция Шварца , то периодизация из даются свертка
Особенно,
это в точности формула суммирования Пуассона . В более общем смысле, эта формула остается верной, если это умеренное распределение с быстрым спуском или, что то же самое, если это медленно растущая обычная функция в пространстве умеренных распределений.
Теорема Сохоцкого – Племеля.
Теорема Сохоцкого – Племеля , важная для квантовой механики, связывает дельта-функцию с распределением pv 1 / x , главным значением Коши функции 1 / x , определяемым формулой
Формула Сохоцкого гласит, что
Здесь предел понимается в смысле распределения, что для всех финитных гладких функций F ,
Связь с дельтой Кронекера
Кронекера δ Ij является величина определяется
для всех целых чисел i , j . Тогда эта функция удовлетворяет следующему аналогу свойства просеивания: если - любая дважды бесконечная последовательность , то
Аналогично, для любой вещественной или комплекснозначной непрерывной функции f на R дельта Дирака удовлетворяет свойству просеивания
Это демонстрирует дельта-функцию Кронекера как дискретный аналог дельта-функции Дирака.
Приложения
Теория вероятности
В теории вероятностей и статистике дельта-функция Дирака часто используется для представления дискретного распределения или частично дискретного, частично непрерывного распределения с использованием функции плотности вероятности (которая обычно используется для представления абсолютно непрерывных распределений). Например, функция плотности вероятности f ( x ) дискретного распределения, состоящего из точек x = { x 1 , ..., x n }, с соответствующими вероятностями p 1 , ..., p n , может быть записана как
В качестве другого примера рассмотрим распределение, в котором 6/10 времени возвращают стандартное нормальное распределение , а 4/10 времени возвращают точно значение 3,5 (т.е. частично непрерывное, частично дискретное распределение смеси ). Функция плотности этого распределения может быть записана как
Дельта-функция также используется для представления результирующей функции плотности вероятности случайной величины, которая преобразуется с помощью непрерывно дифференцируемой функции. Если Y = g ( X ) - непрерывная дифференцируемая функция, то плотность Y можно записать как
Дельта - функция также используется в совершенно другим способом , чтобы представить по местному времени в виде диффузионного процесса (например , броуновское движение ). Местное время случайного процесса B ( t ) определяется выражением
и представляет количество времени, которое процесс проводит в точке x диапазона процесса. Точнее, в одном измерении этот интеграл можно записать
где 1 [ x - ε , x + ε ] - индикаторная функция интервала [ x - ε , x + ε ] .
Квантовая механика
Дельта-функция целесообразна в квантовой механике . Волновая функция частицы дает амплитуду вероятности нахождения частицы в пределах данной области пространства. Волновые функции предполагаются элементы гильбертова пространства L 2 из квадратично интегрируемых функций , а суммарная вероятность нахождения частицы в пределах заданного интервала является интегралом от величины волновой функции в квадрат на интервале. Набор { } волновых функций ортонормирован, если они нормированы
где - дельта Кронекера. Набор ортонормированных волновых функций является полным в пространстве интегрируемых с квадратом функций, если любую волновую функцию можно выразить как линейную комбинацию { } с комплексными коэффициентами:
с . Полные ортонормированные системы волновых функций естественно возникают как собственные функции в гамильтониан (в виде связанной системы ) в квантовой механике , которая измеряет уровни энергии, которые называются собственными значениями. Набор собственных значений в этом случае известен как спектр гамильтониана. В обозначениях бра – кета , как и выше , это равенство означает разрешение тождества:
Здесь предполагается, что собственные значения дискретны, но набор собственных значений наблюдаемого может быть непрерывным, а не дискретным. Примером является положение наблюдаемой , Qψ ( х ) = х ψ ( х ) . Спектр положения (в одном измерении) представляет собой всю действительную линию и называется непрерывным спектром . Однако, в отличие от гамильтониана, оператор положения не имеет собственных функций. Обычный способ преодолеть этот недостаток - расширить класс доступных функций, разрешив также распределения: то есть заменить гильбертово пространство квантовой механики соответствующим оснащенным гильбертовым пространством . В этом контексте оператор позиции имеет полный набор собственных распределений, помеченных точками y действительной прямой, заданными следующим образом:
Собственные функции положения обозначаются в нотации Дирака и известны как собственные состояния положения.
Аналогичные соображения применимы и к собственным состояниям оператора импульса , или действительно любому другого самосопряженном неограниченного оператора Р на гильбертовом пространстве, при условии , что спектр Р непрерывен и нет вырожденных собственных значений. В этом случае существует набор Ω действительных чисел (спектр) и набор φ y распределений, индексированных элементами Ω, такие, что
То есть, φ у являются собственными векторами Р . Если собственные векторы нормированы так, что
в смысле распределения, то для любой пробной функции ψ
куда
То есть, как и в дискретном случае, есть разрешение тождества
где операторнозначный интеграл снова понимается в слабом смысле. Если спектр P имеет как непрерывную, так и дискретную части, то разрешение тождества включает суммирование по дискретному спектру и интеграл по непрерывному спектру.
Дельта-функция также имеет множество других специализированных приложений в квантовой механике, например модели дельта-потенциала для одиночной и двойной потенциальной ямы.
Структурная механика
Дельта-функцию можно использовать в строительной механике для описания переходных нагрузок или точечных нагрузок, действующих на конструкции. Основное уравнение простой системы масса-пружина, возбуждаемая внезапным силовым импульсом I в момент времени t = 0, может быть записано
где m - масса, ξ - прогиб, а k - жесткость пружины .
В качестве другого примера, уравнение, определяющее статический прогиб тонкой балки , согласно теории Эйлера-Бернулли , имеет следующий вид:
где EI - жесткость балки на изгиб , w - прогиб , x - пространственная координата и q ( x ) - распределение нагрузки. Если балка нагружена точечной силой F при x = x 0 , распределение нагрузки записывается
Поскольку интегрирование дельта-функции приводит к ступенчатой функции Хевисайда , из этого следует, что статический прогиб тонкой балки, подверженной множественным точечным нагрузкам, описывается набором кусочно- полиномов .
Кроме того, точечный момент, действующий на балку, можно описать дельта-функциями. Рассмотрим две противоположные точечные силы F на расстоянии d друг от друга. Затем они создают момент M = Fd, действующий на балку. Теперь пусть расстояние d приближается к предельному нулю, а M остается постоянным. Распределение нагрузки, предполагая, что момент, действующий по часовой стрелке при x = 0, записывается как
Таким образом, точечные моменты могут быть представлены производной дельта-функции. Интегрирование уравнения балки снова приводит к кусочно- полиномиальному прогибу.
Смотрите также
- Атом (теория меры)
- Дельта-потенциал
- Мера Дирака
- Фундаментальное решение
- Функция Грина
- Лапласиан индикатора
Примечания
использованная литература
- Аратын, Хенрик; Расинариу, Константин (2006), Краткий курс математических методов с Maple , World Scientific, ISBN 978-981-256-461-0.
- Арфкен, Великобритания ; Вебер, HJ (2000), Математические методы для физиков (5-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0.
- Bracewell, RN (1986), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill.
- Кордова, А. (1988), "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376.
- Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том II , Wiley-Interscience.
- Дэвис, Говард Тед; Томсон, Кендалл Т. (2000), Линейная алгебра и линейные операторы в технике с приложениями в системе Mathematica , Academic Press, ISBN 978-0-12-206349-7
- Дьедонне, Жан (1976), Трактат по анализу. Vol. II , Нью-Йорк: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-215502-4, Руководство по ремонту 0530406.
- Дьедонне, Жан (1972), Трактат по анализу. Vol. III , Бостон, Массачусетс: Academic Press, MR 0350769
- Дирак, Поль (1930), Принципы квантовой механики (1-е изд.), Oxford University Press.
- Driggers, Рональд Г. (2003), Энциклопедия оптической инженерии , CRC Press, Bibcode : 2003eoe..book ..... D , ISBN 978-0-8247-0940-2.
- Duistermaat, Hans ; Колк (2010), Распределения: теория и приложения , Springer.
- Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 153 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325.
- Гэннон, Терри (2008), "Алгебры вершинных операторов" , Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, ISBN 978-1400830398.
- Гельфанд И.М .; Шилов, Г.Е. (1966–1968), Обобщенные функции , 1–5 , Academic Press, ISBN. 9781483262246.
- Хартманн, Уильям М. (1997), Сигналы, звук и ощущения , Springer, ISBN 978-1-56396-283-7.
- Хазевинкель, Михил (2011). Энциклопедия математики . 10 . Springer. ISBN 978-90-481-4896-7. OCLC 751862625 .
- Hewitt, E ; Стромберг, К. (1963), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag.
- Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 978-3-540-12104-6, Руководство по ремонту 0717035.
- Isham, CJ (1995), Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы , Imperial College Press, ISBN 978-81-7764-190-5.
- Джон, Фриц (1955), Плоские волны и сферические средства, применяемые к уравнениям в частных производных , Interscience Publishers, Нью-Йорк-Лондон, ISBN 9780486438047, Руководство по ремонту 0075429.
- Ланг, Серж (1997), бакалаврский анализ , бакалаврские тексты по математике (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2698-5 , ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913.
- Ланге, Рутгер-Ян (2012), «Теория потенциала, интегралы по траекториям и лапласиан индикатора», Journal of High Energy Physics , 2012 (11): 29–30, arXiv : 1302.0864 , Bibcode : 2012JHEP ... 11. .032L , DOI : 10.1007 / JHEP11 (2012) 032 , S2CID 56188533.
- Лаугвиц, Д. (1989), "Определенные значения бесконечных сумм: аспекты основ анализа бесконечно малых около 1820 г.", Arch. Hist. Exact Sci. , 39 (3): 195-245, DOI : 10.1007 / BF00329867 , S2CID 120890300.
- Левин, Франк С. (2002), "Волновые функции координатного пространства и полнота" , Введение в квантовую теорию , Cambridge University Press, стр. 109 и далее , ISBN 978-0-521-59841-5
- Li, YT; Вонг, Р. (2008), "Интегральные и серийные представления дельта-функции Дирака", Commun. Pure Appl. Анальный. , 7 (2): 229-247, Arxiv : 1303,1943 , DOI : 10,3934 / cpaa.2008.7.229 , МР 2373214 , S2CID 119319140.
- де ла Мадрид, Р .; Bohm, A .; Гаделла, М. (2002), "Обработка непрерывного спектра в оснащенном гильбертовом пространстве", Fortschr. Phys. , 50 (2): 185–216, arXiv : Quant-ph / 0109154 , Bibcode : 2002ForPh..50..185D , doi : 10.1002 / 1521-3978 (200203) 50: 2 <185 :: AID-PROP185> 3,0 .CO; 2-S.
- МакМэхон, Д. (2005-11-22), "Введение в пространство состояний" (PDF) , Демистификация квантовой механики, Самоучитель , Демистифицированная серия, Нью-Йорк: МакГроу-Хилл, стр. 108, DOI : 10,1036 / 0071455469 , ISBN 978-0-07-145546-6, проверено 17 марта 2008 г..
- ван дер Поль, Балт .; Бреммер, Х. (1987), Оперативное исчисление (3-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0327-6, MR 0904873.
- Рудин, В. (1991), Функциональный анализ (2-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054236-5.
- Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), функции Эйри и приложения к физике , Лондон: Imperial College Press, ISBN 9781911299486.
- Сайчев А.И.; Войчинский, Войбор Анджей (1997), «Глава 1: Основные определения и операции» , Распределения в физических и технических науках: распределительное и фрактальное исчисление, интегральные преобразования и всплески , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3924-2
- Шварц, Л. (1950), Теория распределений , 1 , Герман..
- Шварц, Л. (1951), Теория распределений , 2 , Герман.
- Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
- Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 978-0-8493-8273-4.
- Владимиров, В.С. (1971), Уравнения математической физики , Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-1713-1.
- Вайсштейн, Эрик В. «Дельта-функция» . MathWorld .
- Ямасита, Х. (2006), «Точечный анализ скалярных полей: нестандартный подход», Журнал математической физики , 47 (9): 092301, Bibcode : 2006JMP .... 47i2301Y , doi : 10.1063 / 1.2339017
- Ямасита, Х. (2007), "Комментарий к" Точечный анализ скалярных полей: нестандартный подход "[J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]", Журнал математической физики , 48 (8): 084101, Bibcode : 2007JMP .... 48h4101Y , DOI : 10,1063 / 1,2771422
внешние ссылки
- СМИ, связанные с распространением Дирака на Викискладе?
- "Дельта-функция" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Видеоурок на KhanAcademy.org
- Дельта-функция Дирака , учебное пособие по дельта-функции Дирака.
- Видео-лекции - Лекция 23 , лекция Артура Мэттака .
- Дельта-мера Дирака - это гиперфункция
- Мы показываем существование единственного решения и анализируем приближение конечных элементов, когда исходный член является дельта-мерой Дирака.
- Нелебеговы меры на мере Р. Лебега-Стилтьеса, дельта-мера Дирака.