Группа Фишера - Fischer group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Кляйн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В области современной алгебры, известной как теория групп , группы Фишера - это три спорадические простые группы Fi ₂₂ , Fi ₂₃ и Fi _24, введенные Берндом Фишером  ( 1971 , 1976 ).

3-транспозиционные группы

Группы Фишера названы в честь Бернда Фишера, который открыл их при исследовании групп с 3 транспозициями. Это группы G со следующими свойствами:

• G порождается классом сопряженности элементов порядка 2, называемым «транспозициями Фишера» или 3-транспозициями.
• Произведение любых двух различных транспозиций имеет порядок 2 или 3.

Типичным примером группы 3-транспозиций является симметричная группа , в которой транспозиции Фишера действительно являются транспозициями. Симметрическая группа S _n может быть порождена n - 1 транспозициями: (12), (23), ..., ( n - 1, n ) .

Фишер смог классифицировать группы с 3 транспозициями, которые удовлетворяют определенным дополнительным техническим условиям. Группы, которые он нашел, в основном распадались на несколько бесконечных классов (помимо симметрических групп: определенные классы симплектических, унитарных и ортогональных групп), но он также обнаружил 3 очень большие новые группы. Эти группы обычно обозначаются как Fi ₂₂ , Fi ₂₃ и Fi ₂₄ . Первые две из них - простые группы, а третья содержит простую группу Fi ₂₄ ' индекса 2.

Отправной точкой для групп Фишера является унитарная группа PSU ₆ (2), которую можно рассматривать как группу Fi ₂₁ в серии групп Фишера порядка 9,196,830,720 = 2 ¹⁵ ⋅3 ⁶ ⋅5⋅7⋅11 . Фактически именно двойная крышка 2.PSU ₆ (2) становится подгруппой новой группы. Это стабилизатор одной вершины в графе из 3510 (= 2⋅3 ³ ⋅5⋅13). Эти вершины идентифицируются как сопряженные 3-транспозиции в группе симметрии Fi ₂₂ графа.

Группы Фишера названы по аналогии с большими группами Матье . В Fi ₂₂ максимальный набор 3-транспозиций, все коммутирующие друг с другом, имеет размер 22 и называется базовым набором. Существует 1024 3-транспозиций, называемых анабазическими, которые не коммутируют ни с одним из элементов конкретного базового набора. Любой из остальных 2364, называемый шестнадцатеричным , коммутирует с 6 основными. Множества из 6 образуют систему Штейнера S (3,6,22) , группа симметрии которой равна M ₂₂ . Базовый набор порождает абелеву группу порядка 2 ¹⁰ , которая продолжается в Fi ₂₂ до подгруппы 2 ¹⁰ : M ₂₂ .

Следующая группа Фишера рассматривает 2.Fi ₂₂ как одноточечный стабилизатор для графа из 31671 (= 3 ⁴ ⋅17⋅23) вершин и рассматривает эти вершины как 3-транспозиции в группе Fi ₂₃ . 3-транспозиции входят в базовые наборы по 23, 7 из которых коммутируют с заданной внешней 3-транспозицией.

Затем берется Fi ₂₃ и рассматривается как одноточечный стабилизатор для графа из 306936 (= 2 ³ ⋅3 ³ ⋅7 ² ⋅29) вершин, составляющих группу Fi ₂₄ . 3-транспозиции входят в базовые наборы по 24, восемь из которых коммутируют с заданной внешней 3-транспозицией. Группа Fi ₂₄ не проста, но ее производная подгруппа имеет индекс 2 и является спорадической простой группой.

Обозначение

Для этих групп нет общепринятых обозначений. Некоторые авторы используют F вместо Fi (например, F ₂₂ ). Обозначения Фишера для них были M (22), M (23) и M (24) ′, что подчеркивало их тесную связь с тремя крупнейшими группами Матье , M ₂₂ , M ₂₃ и M ₂₄ .

Одним из конкретных источников путаницы является то, что Fi ₂₄ иногда используется для обозначения простой группы Fi ₂₄ ', а иногда и для обозначения полной группы с 3 транспонированием (которая в два раза больше).

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром, но что подобные явления могут быть обнаружены и у других групп. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить разложения многих Hauptmoduln (главных или главных модулей) из простых комбинаций размерностей спорадических групп.

использованная литература

• Ашбахер, Майкл (1997), группы с 3 транспонированием , Кембриджские трактаты по математике, 124 , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511759413 , ISBN   978-0-521-57196-8 , MR   1423599 содержит полное доказательство теоремы Фишера.
• Фишер, Бернд (1971), "Конечные группы , порожденные 3-транспозиций я.", Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232-246, DOI : 10.1007 / BF01404633 , ISSN   0020-9910 , МР   0294487 Это первая часть препринта Фишера о построении его групп. Остальная часть статьи не опубликована (по состоянию на 2010 г.).
• Фишер, Бернд (1976), Конечные группы, порожденные 3-транспозициями , Препринт, Математический институт, Уорикский университет
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для выпускников по математике 251, 251 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN   978-1-84800-987-5 , Zbl   1203.20012
• Уилсон, Р.А. «Атлас представления конечных групп»
  https://web.archive.org/web/20171204142908/http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/html/contents.html#spo