Наброски алгебраических структур - Outline of algebraic structures

В математике изучаются многие типы алгебраических структур . Абстрактная алгебра - это в первую очередь изучение конкретных алгебраических структур и их свойств. Алгебраические структуры можно рассматривать по-разному, однако общей отправной точкой текстов по алгебре является то, что алгебраический объект включает в себя один или несколько наборов с одной или несколькими бинарными операциями или унарными операциями, удовлетворяющими набору аксиом .

Другой раздел математики, известный как универсальная алгебра, изучает алгебраические структуры в целом. С точки зрения универсальной алгебры, большинство структур можно разделить на разновидности и квазимногообразия в зависимости от используемых аксиом. Некоторые аксиоматические формальные системы , которые не являются ни многообразиями, ни квазимногообразиями, называемые немногообразиями , иногда по традиции включаются в число алгебраических структур.

Конкретные примеры каждой структуры можно найти в перечисленных статьях.

Сегодня алгебраических структур так много, что эта статья неизбежно будет неполной. В дополнение к этому, иногда существует несколько имен для одной и той же структуры, а иногда одно имя будет определяться несовпадающими аксиомами разных авторов. Большинство структур, представленных на этой странице, будут обычными, с чем согласны большинство авторов. Другие веб-списки алгебраических структур, организованные более или менее в алфавитном порядке, включают Jipsen и PlanetMath. Эти списки упоминают многие структуры, не включенные ниже, и могут содержать больше информации о некоторых структурах, чем представлено здесь.

Изучение алгебраических структур

Алгебраические структуры появляются в большинстве разделов математики, и можно встретить их по-разному.

• Начало обучения: в американских университетах группы , векторные пространства и поля обычно являются первыми структурами, встречающимися в таких предметах, как линейная алгебра . Обычно они вводятся как наборы с определенными аксиомами.
• Углубленное изучение:
  • Абстрактная алгебра изучает свойства конкретных алгебраических структур.
  • Универсальная алгебра изучает алгебраические структуры абстрактно, а не конкретные типы структур.
    • Разновидности
  • Теория категорий изучает взаимосвязь между различными структурами, алгебраическими и неалгебраическими. Для изучения неалгебраического объекта часто бывает полезно использовать теорию категорий, чтобы связать объект с алгебраической структурой.
    • Пример: фундаментальная группа из топологического пространства дает информацию о топологическом пространстве.

Типы алгебраических структур

Вообще говоря, алгебраическая структура может использовать любое количество множеств и любое количество аксиом в своем определении. Однако наиболее часто изучаемые структуры обычно включают только один или два набора и одну или две бинарные операции . Приведенные ниже структуры организованы по тому, сколько наборов задействовано и сколько бинарных операций используется. Увеличенный отступ предназначен для обозначения более экзотической структуры, а уровни с наименьшим отступом являются самыми основными.

Одна бинарная операция на одном наборе

Следующие структуры состоят из набора с бинарной операцией. Наиболее распространенная структура - это группа . Другие структуры включают ослабление или усиление аксиом для групп и могут дополнительно использовать унарные операции.

• Группы - это ключевые структуры. Абелевы группы - важный особый тип групп.
  • полугруппы и моноиды : они похожи на группы, за исключением того, что операция не требует обратных элементов.
  • квазигруппы и циклы : они похожи на группы, за исключением того, что операция не обязательно должна быть ассоциативной.
  • Магмы : они похожи на группы, за исключением того, что операция не обязательно должна быть ассоциативной или иметь обратные элементы.
• Полурешетка : это в основном «половина» решетчатой ​​структуры (см. Ниже).

Две бинарные операции на одном наборе

Основными типами структур с одним набором, имеющим две бинарные операции, являются кольца и решетки . Аксиомы, определяющие многие другие структуры, являются модификациями аксиом для колец и решеток. Одно из основных различий между кольцами и решетками заключается в том, что их две операции по-разному связаны друг с другом. В кольцевых структурах две операции связаны законом распределения ; в решетчатых структурах операции связаны законом поглощения .

• Кольца : эти две операции обычно называют сложением и умножением. Коммутативные кольца - особенно важный тип колец, в котором операция умножения коммутативна. Целочисленные области и поля - особенно важные типы коммутативных колец.
  • Неассоциативные кольца : они похожи на кольца, но операция умножения не обязательно должна быть ассоциативной.
    • Кольца Ли и жордановы кольца являются частными примерами неассоциативных колец.
  • полукольца : они похожи на кольца, но операция сложения не требует обратных.
  • nearrings : они похожи на кольца, но операция сложения не обязательно должна быть коммутативной.
  • * -кольца : это кольца с дополнительной унарной операцией, известной как инволюция .
• Решетки : две операции обычно называют встречей и соединением .
  • Latticoid : встречаются и присоединиться к коммутируют , но не нужно ассоциировать .
  • Скошенная решетка : встретиться и присоединиться к партнеру, но не обязательно коммутировать.

Две бинарные операции и два набора

Следующие структуры имеют общую особенность , имеющие два множества, A и B , так что существует бинарная операция из A × A в A , и другая операция из A × B в A .

• Векторные пространства : множество A - абелева группа, а множество B - поле .
  • Градуированные векторные пространства : векторные пространства, оснащенные разложением прямой суммы на подпространства.
• Модули : множество A - абелева группа, но B - только общее кольцо и не обязательно поле.
  • Специальные типы модулей, включая свободные модули , проективные модули , инъективные модули и плоские модули , изучаются в абстрактной алгебре.
• Группа с операторами : в этом случае набор A - это группа, а набор B - это просто набор.

Три бинарных операции и два набора

Многие структуры здесь фактически являются гибридными структурами ранее упомянутых.

• Алгебра над полем : это кольцо, которое также является векторным пространством над полем. Существуют аксиомы, регулирующие взаимодействие двух структур. Умножение обычно считается ассоциативным.
  • Алгебра над кольцом : они определяются так же, как алгебры над полями, за исключением того, что теперь поле может быть любым коммутативным кольцом.
  • Градуированная алгебра : эти алгебры снабжены разбиением на градации .
• Неассоциативные алгебры : это алгебры, для которых ассоциативность умножения колец ослаблена.
  • Алгебры Ли и йордановы алгебры являются частными примерами неассоциативных алгебр.
• Коалгебра : эта структура имеет аксиомы, которые делают ее умножение двойным по отношению к таковым в ассоциативной алгебре.
  • Биалгебра : эти структуры одновременно являются алгебрами и коалгебрами, операции которых совместимы. Фактически для этой структуры есть четыре операции.

Алгебраические структуры с дополнительной неалгебраической структурой

Существует множество примеров математических структур, в которых алгебраическая структура существует наряду с неалгебраической структурой.

• Топологические векторные пространства - это векторные пространства с совместимой топологией .
• Группы Ли : это топологические многообразия, которые также несут совместимую групповую структуру.
• Упорядоченные группы , упорядоченные кольца и упорядоченные поля имеют алгебраическую структуру, совместимую с порядком на множестве.
• Алгебры фон Неймана : это * -алгебры в гильбертовом пространстве , наделенные слабой операторной топологией .

Алгебраические структуры в разных дисциплинах

Некоторые алгебраические структуры находят применение в дисциплинах за пределами абстрактной алгебры. Следующее предназначено для демонстрации некоторых конкретных приложений в других областях.

По физике :

• Группы Ли широко используются в физике. Несколько хорошо известных включают ортогональные группы и унитарные группы .
• Алгебры Ли
• Внутренние пространства продукта
• Алгебра Каца – Муди
• В кватернионах и более обычно геометрические алгебры

По математической логике :

• Булевы алгебры являются одновременно кольцами и решетками согласно своим двум операциям.
  • Алгебры Гейтинга - частный пример булевых алгебр.
• Арифметика Пеано
• Граничная алгебра
• MV-алгебра

В информатике :

• Макс плюс алгебра
• Синтаксический моноид
• Переходный моноид

Смотрите также

Ноты

Ссылки

внешние ссылки

• Джипсен:
  • Алфавитный список структур алгебры; включает многие, не упомянутые здесь.
  • Интернет-книги и конспекты лекций.
  • Карта содержит около 50 построек, некоторые из которых не показаны выше. Точно так же большинство вышеперечисленных структур отсутствуют на этой карте.
• Указатель тем PlanetMath .
• Hazewinkel, Michiel (2001) Энциклопедия математики. Springer-Verlag.
• Страница Mathworld по абстрактной алгебре.
• Стэнфорд энциклопедия философии : Алгебра по Vaughan Pratt .