Стеллажи и подставки - Racks and quandles

В математике , стеллажи и quandles наборы с бинарными операциями , удовлетворяющие аксиомам , аналогичные движений Рейдемейстера , используемых для манипулирования сучков диаграмм.

Хотя в основном они используются для получения инвариантов узлов, их можно рассматривать как самостоятельные алгебраические конструкции. В частности, определение квандла аксиоматизирует свойства сопряжения в группе .

История

В 1943 году Митухиса Такасаки (高崎光久) представил алгебраическую структуру, которую он назвал Кей (圭), которая позже стала известна как инволютивный квандл. Его мотивация заключалась в том, чтобы найти неассоциативную алгебраическую структуру, чтобы уловить понятие отражения в контексте конечной геометрии . Идея была переоткрыта и обобщена в (неопубликованной) переписке 1959 года между Джоном Конвеем и Гэвином Рэйтом , которые в то время были студентами Кембриджского университета . Именно здесь впервые появляются современные определения quandles и racks. Рэйф заинтересовался этими структурами (которые он первоначально назвал последовательностями ) еще в школе. Конвей переименовал их в обломки , отчасти как каламбур над именем своего коллеги, а отчасти потому, что они возникают как остатки (или «разрушение и разрушение») группы, когда кто-то отбрасывает мультипликативную структуру и рассматривает только структуру сопряжения . Правописание «стойка» стало преобладающим.

Эти конструкции снова появились в 1980-х годах: в статье Дэвида Джойса 1982 года (где был придуман термин квандл ), в статье 1982 года Сергея Матвеева (под названием дистрибутивные группоиды ) и в документе конференции 1986 года Эгберта Брискорна (где они назывались автоморфными множествами ). Подробный обзор стоек и их приложений в теории узлов можно найти в статье Колина Рурка и Роджера Фенна .

Стеллажи

Стойка может быть определена как набор с бинарной операцией такой , что для каждого себя дистрибутивный закон имеет место: ${\ Displaystyle \ mathrm {R}}$ ${\ Displaystyle \ треугольникleft}$ ${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathrm {R}}$

{\ Displaystyle а \ треугольникleft (б \ треугольниклефт с) = (а \ треугольниклефт б) \ треугольниклефт (а \ треугольниклефт с)}

и для каждого существует единственный такой, что ${\ displaystyle a, b \ in \ mathrm {R},}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathrm {R}}$

{\ Displaystyle а \ треугольникleft c = b.}

Это определение, хотя и краткое и часто используемое, является неоптимальным для определенных целей, поскольку содержит экзистенциальный квантификатор, который на самом деле не является необходимым. Чтобы избежать этого, мы можем написать уникальное , так как тогда мы имеем ${\ displaystyle c \ in \ mathrm {R}}$ ${\ Displaystyle а \ треугольникleft c = b}$ ${\ displaystyle b \ triangleright a.}$

{\ Displaystyle а \ треугольник слева с = Ь \ если и только если с = Ь \ треугольник а,}

и поэтому

{\ Displaystyle а \ треугольникleft (Ь \ треугольник а) = Ь,}

а также

{\ Displaystyle (а \ треугольникleft b) \ triangleright a = b.}

Используя эту идею, стойка может быть эквивалентно определена как набор с двумя бинарными операциями и такой, что для всех ${\ Displaystyle \ mathrm {R}}$ ${\ Displaystyle \ треугольникleft}$ ${\ displaystyle \ triangleright}$ ${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathrm {R} {\ text {:}}}$

${\ Displaystyle а \ треугольникleft (б \ треугольниклефт с) = (а \ треугольниклефт б) \ треугольниклефт (а \ треугольниклефт с)}$ (левый закон самораспределения)
${\ displaystyle (с \ triangleright b) \ triangleright a = (c \ triangleright a) \ triangleright (b \ triangleright a)}$ (право самораспределения)
${\ Displaystyle (а \ треугольникleft b) \ triangleright a = b}$
${\ Displaystyle а \ треугольникleft (Ь \ треугольник а) = Ь}$

Удобно сказать, что элемент действует слева в выражении и действует справа в выражении. Тогда аксиомы третьей и четвертой стойки говорят, что эти левое и правое действия противоположны друг другу. Используя это, мы можем исключить одно из этих действий из определения стойки. Если исключить правое действие и оставить левое, мы получим краткое определение, данное изначально. ${\ displaystyle a \ in \ mathrm {R}}$ ${\ Displaystyle а \ треугольникleft b,}$ ${\ displaystyle b \ triangleright a.}$

В литературе о стойках и квандлах используется множество различных условных обозначений. Например, многие авторы предпочитают работать с правильным действием. Кроме того, использование символов и отнюдь не универсально: многие авторы используют экспоненциальную запись. ${\ Displaystyle \ треугольникleft}$ ${\ displaystyle \ triangleright}$

{\ Displaystyle а \ треугольникleft b = {} ^ {a} b}

а также

{\ displaystyle b \ triangleright a = b ^ {a},}

в то время как многие другие пишут

{\ displaystyle b \ triangleright a = b \ star a.}

Еще одно эквивалентное определение стойки состоит в том, что это набор, в котором каждый элемент действует слева и справа как автоморфизмы стойки, причем левое действие является обратным по отношению к правому. В этом определении тот факт, что каждый элемент действует как автоморфизм, кодирует левый и правый законы самораспределения, а также эти законы:

{\ displaystyle {\ begin {align} a \ треугольникleft (b \ triangleright c) & = (a \ треугольникleft b) \ triangleright (a \ \ Trianglerleft c) \\ (c \ Trianglerleft b) \ triangleright a & = (c \ triangleright a) \ треугольникleft (b \ triangleright a) \ end {выравнивается}}}

которые являются следствием приведенных ранее определений.

Quandles

Quandle определяется как стойки, таким образом, что для всех ${\ displaystyle \ mathrm {Q},}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathrm {Q}}$

{\ Displaystyle а \ треугольникleft а = а,}

или эквивалентно

{\ displaystyle a \ triangleright a = a.}

Примеры и приложения

Каждая группа дает квандл, в котором операции происходят от сопряжения:

{\ displaystyle {\ begin {align} a \ треугольникleft b & = aba ^ {- 1} \\ b \ triangleright a & = a ^ {- 1} ba \\ & = a ^ {- 1} \ треугольникleft b \ end { выровнено}}}

Фактически, любой эквациональный закон, которому удовлетворяет сопряжение в группе, следует из аксиом квандла. Итак, можно думать о квандле как о том, что осталось от группы, когда мы забываем умножение, тождество и инверсии и помним только операцию спряжения.

Каждый ручной узел в трехмерном евклидовом пространстве имеет «фундаментальный квандл». Чтобы определить это, можно заметить, что фундаментальная группа узлового дополнения или узловая группа имеет представление (представление Виртингера ), в котором отношения включают только сопряжение. Так что эту презентацию также можно использовать как презентацию квандла. Фундаментальный квандл - очень мощный инвариант узлов. В частности, если два узла имеют изоморфные фундаментальные квандлы, то существует гомеоморфизм трехмерного евклидова пространства, который может менять ориентацию , переводя один узел в другой.

Менее мощные , но более легко вычислимые инварианты узлов могут быть получены путем подсчета гомоморфизмов из узла quandle к фиксированной quandle Поскольку представление Виртингер имеет один генератор для каждой цепи в схеме узла , эти инварианты могут быть вычислены путем подсчета способами маркировки каждого прядь элементом с учетом определенных ограничений. Более сложные инварианты такого типа могут быть построены с помощью когомологий квандлов . ${\ displaystyle \ mathrm {Q}.}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Q},}$

В Квандлы Александера также важны, поскольку их можно использовать для вычисления полинома Александера узла. Пустьмодуль над кольцомиз многочленов Лорана от одной переменной. Тогда Александр quandle будетсделан в quandle с левым действием заданного ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [т, т ^ {- 1}]}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$

{\ Displaystyle а \ треугольникleft b = tb + (1-t) a.}

Стойки представляют собой полезное обобщение квандлов в топологии, поскольку, в то время как квандлы могут представлять узлы на круглом линейном объекте (таком как веревка или нить), стойки могут представлять ленты, которые могут быть скручены, а также завязаны узлами.

Квандл называется инволютивным, если для всех ${\ displaystyle \ mathrm {Q}}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathrm {Q},}$

{\ Displaystyle а \ треугольникleft (а \ треугольниклефт b) = Ь}

или эквивалентно,

{\ displaystyle (b \ triangleright a) \ triangleright a = b.}

Любое симметричное пространство дает инволютивный квандл, где есть результат «отражения насквозь ». ${\ Displaystyle а \ треугольникleft b}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a}$

Смотрите также

Внешние ссылки

Knot Quandaries Quelled by Quandles - Введение в квандлы и другие инварианты узлов для студентов
Обзор идей Quandle , Скотт Картер
Инварианты узлов, полученные из квандлов и стоек Сейичи Камада
Полки, стеллажи, шпиндели и квандлы , стр. 56 Ли 2-алгебры с помощью Alissa Кран
https://ncatlab.org/nlab/show/quandle

[takasaki-1] Takasaki, Mituhisa (1943). «Абстракции симметричных функций». Математический журнал Тохоку . 49 : 143–207.

[cw-2] Конвей, Джон Х .; Призрак, Гэвин (1959). «(неопубликованная переписка)». Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

[wraith-3] Рэйф, Гэвин. «Личный рассказ о узлах» . Архивировано из оригинала на 2006-03-13.

[joyce-4] Джойс, Дэвид (1982). « Классифицирующий инвариант узлов: узел-квандл » . Журнал чистой и прикладной алгебры . 23 : 37–65. DOI : 10.1016 / 0022-4049 (82) 90077-9 .

[5] Баэз, Джон. «Происхождение слова„Quandle “ » . Кафе n-категории . Дата обращения 5 июня 2015 .

[matveev-6] Матвеев, Сергей (1984). « Распределительные группоиды в теории узлов ». Математика. Сборник СССР . 47 : 73–83. DOI : 10.1070 / SM1984v047n01ABEH002630 .

[brieskorn-7] Брискорн, Эгберт (1988). « Автоморфные множества и особенности ». В книге «Косы» (Санта-Крус, Калифорния, 1986), Contemporary Mathematics . 78 : 45–115. DOI : 10.1090 / conm / 078/975077 .

[fr-8] Рурк, Колин; Фенн, Роджер (1992). « Стойки и звенья коразмерности 2 ». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 1 (4): 343–406. DOI : 10.1142 / S0218216592000203 .

Languages

In other projects