Разнообразие (универсальная алгебра) - Variety (universal algebra)

В универсальной алгебре , многообразие алгебр или эквационального класса является классом всех алгебраических структур данной сигнатуры , удовлетворяющих заданным набор идентичностей . Например, группы образуют множество алгебр, как и абелевы группы , кольца , моноиды и т. Д. Согласно теореме Биркгофа, класс алгебраических структур одной сигнатуры является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятие гомоморфных образов, подалгебр и (прямых) произведений . В контексте теории категорий множество алгебр вместе со своими гомоморфизмами образуют категорию ; их обычно называют финитарными алгебраическими категориями .

Covariety класс всех коалгебраических структур данной подписи.

Терминология

Разнообразие алгебр не следует путать с алгебраическим многообразием , что означает набор решений системы полиномиальных уравнений. Формально они совершенно разные, и их теории имеют мало общего.

Термин «многообразие алгебр» относится к алгебрам в общем смысле универсальной алгебры ; есть также более конкретный смысл алгебры, а именно как алгебра над полем , то есть векторное пространство, снабженное билинейным умножением.

Определение

Подпись (в данном контексте) представляет собой набор, элементы которого называются операции , каждая из которых присваивается натуральное число (0, 1, 2, ...) называется его Арность . Для данной сигнатуры и набора , элементы которого называются переменными , слово представляет собой конечное плоское корневое дерево, в котором каждый узел помечен либо переменной, либо операцией, так что каждый узел, помеченный переменной, не имеет ветвей от корня. и каждый узел, помеченный операцией, имеет столько же ветвей от корня, сколько арность узла . Эквациональная закон пара таких слов; запишем аксиому, состоящую из слов и as . ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle o}$${\ displaystyle o}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle v = w}$

Теория представляет собой подпись, набор переменных и множество эквациональных законов. Любая теория дает следующее разнообразие алгебр. Принимая во внимание теории , в алгебру из состоит из набора вместе с, для каждой операции из с арностью , функцией такой , что для каждой аксиомы и каждое задания элементов к переменным в этой аксиоме, то имеет место равенство, которое дается путем применения операции с элементами, как указано деревьями, определяющими и . Мы называем класс алгебр данной теории есть многообразие алгебр . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle o}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle o_ {A} \ двоеточие A ^ {n} \ to A}$${\ displaystyle v = w}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle T}$

Однако в конечном итоге более важной, чем этот класс алгебр, является категория алгебр и гомоморфизмов между ними. Для двух алгебр теории , скажем и , гомоморфизм - это функция, такая что ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$

${\ displaystyle f (o_ {A} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})) = o_ {B} (f (a_ {1}), \ dots, f (a_ {n}))}$

для каждой операции арности . Любая теория дает категорию, в которой объекты являются алгебрами этой теории, а морфизмы - гомоморфизмами. ${\ displaystyle o}$${\ displaystyle n}$

Примеры

Класс всех полугрупп образует множество алгебр сигнатуры (2), что означает, что полугруппа имеет единственную бинарную операцию. Достаточным определяющим уравнением является ассоциативный закон:

${\ Displaystyle х (yz) = (ху) z.}$

Класс групп образует множество алгебр сигнатуры (2,0,1), три операции - соответственно умножение (двоичное), тождество (нулевое значение, константа) и инверсия (унарное). Знакомые аксиомы ассоциативности, тождества и инверсии образуют один подходящий набор тождеств:

${\ Displaystyle х (yz) = (ху) z}$

${\ displaystyle 1x = x1 = x}$

${\ displaystyle xx ^ {- 1} = x ^ {- 1} x = 1.}$

Класс колец также образует множество алгебр. Подпись здесь (2,2,0,0,1) (две бинарные операции, две константы и одна унарная операция).

Если мы зафиксируем конкретное кольцо R , мы сможем рассмотреть класс левых R- модулей . Чтобы выразить скалярное умножение с элементами из R , нам нужна одна унарная операция для каждого элемента R. Если кольцо бесконечно, у нас, таким образом, будет бесконечно много операций, что допускается определением алгебраической структуры в универсальной алгебре. Тогда нам также понадобится бесконечно много тождеств, чтобы выразить аксиомы модуля, что допускается определением множества алгебр. Таким образом, левые R -модули образуют множество алгебр.

В поле ничего не образует многообразие алгебр; требование, чтобы все ненулевые элементы были обратимыми, не может быть выражено как универсально удовлетворяемое тождество.

В полугруппах также не образуют многообразие алгебр, так как свойство отмены не является уравнение, то есть подразумевается , что не соответствует любому набору уравнений. Однако они действительно образуют квазимногообразие, поскольку импликация, определяющая свойство отмены, является примером квазиидентичности .

Теорема Биркгофа

Учитывая класс алгебраических структур одной и той же сигнатуры, мы можем определить понятия гомоморфизма, подалгебры и произведения . Гаррет Биркгоф доказал, что класс алгебраических структур одной сигнатуры является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и произвольных произведений. Это результат фундаментальной важности для универсальной алгебры, известный как теорема Биркгофа или теорема HSP . H , S и P обозначают, соответственно, операции гомоморфизма, подалгебры и произведения.

Класс алгебр, удовлетворяющих некоторому набору тождеств, будет замкнут относительно операций HSP. Доказать обратное - классы алгебр, замкнутые относительно операций HSP, должны быть эквациональными, - сложнее.

Используя теорему Биркгофа, мы можем, например, проверить сделанное выше утверждение о том, что аксиомы поля не выражаются никаким возможным набором тождеств: произведение полей не является полем, поэтому поля не образуют разновидности.

Подвиды

Подмногообразие из множества алгебры V является подклассом V , который имеет ту же сигнатуру, V и сам по себе разнообразие, т.е. определяется набором идентификаторов.

Обратите внимание, что хотя каждая группа становится полугруппой, когда тождество как константа опущено (и / или обратная операция опущена), класс групп не образует подмножество множества полугрупп, потому что сигнатуры различны. Точно так же класс полугрупп, которые являются группами, не является подмногообразием многообразия полугрупп. Класс моноидов, являющихся группами, содержит и не содержит свою подалгебру (точнее, подмоноид) . ${\ Displaystyle \ langle \ mathbb {Z}, + \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle \ mathbb {N}, + \ rangle}$

Однако класс абелевых групп является подмногообразием множества групп, потому что он состоит из групп, удовлетворяющих условиям без изменения сигнатуры. В конечно порожденных абелевых групп не образуют подмногообразие, так как по теореме Биркгофа они не образуют множество, как произвольное произведение конечно порожденных абелевых групп не является конечно порожденной. ${\ displaystyle xy = yx,}$

Если рассматривать многообразие V и его гомоморфизмы как категорию , то подмногообразие U в V является полной подкатегорией в V , что означает, что для любых объектов a , b в U гомоморфизмы из a в b в U в точности совпадают с гомоморфизмами из a в b в В .

Бесплатные объекты

Предположим, что V - нетривиальное многообразие алгебр, т.е. V содержит алгебры с более чем одним элементом. Можно показать , что для любого множества S , многообразие V содержит свободную алгебру F _S на S . Это означает, что существует инъективное отображение множества i  : S → F _S, которое удовлетворяет следующему универсальному свойству : для любой алгебры A из V и любого отображения k  : S → A существует единственный V -гомоморфизм f  : F _S → A такой что . ${\ displaystyle f \ circ i = k}$

Это обобщает понятия свободной группы , свободной абелевой группы , свободной алгебры , свободного модуля и т. Д. Отсюда следует, что каждая алгебра в многообразии является гомоморфным образом свободной алгебры.

Теория категорий

Если - конечная алгебраическая категория (т. Е. Категория множества алгебр с гомоморфизмами в качестве морфизмов), то функтор забывания${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle G \ двоеточие V \ to \ mathbf {Set}}$

имеет левый сопряженный элемент , а именно функтор, который присваивает каждому множеству свободную алгебру на этом множестве. Это присоединение является строго монадическим , поскольку категория изоморфна категории Эйленберга – Мура для монады . ${\ Displaystyle F \ двоеточие \ mathbf {Установить} \ в V}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Set} ^ {T}}$${\ displaystyle T = GF}$

Таким образом, монады достаточно для восстановления финитарной алгебраической категории, что позволяет сделать следующее обобщение. Один говорит , что категория является алгебраической категорией , если оно монадический над . Это более общее понятие, чем «финитарная алгебраическая категория», поскольку оно допускает такие категории, как CABA (полные атомные булевы алгебры) и CSLat (полные полурешетки), сигнатуры которых включают бесконечные операции. В этих двух случаях сигнатура велика, что означает, что она образует не набор, а правильный класс, потому что его операции имеют неограниченную арность. Алгебраическая категория сигма-алгебр также имеет бесконечные операции, но их арность счетна, поэтому ее сигма мала (образует множество). ${\ Displaystyle T \ двоеточие \ mathbf {Set} \ to \ mathbf {Set}}$${\ displaystyle \ mathbf {Set}}$

Каждая финитарная алгебраическая категория является локально представимой категорией .

Псевдомногообразие конечных алгебр

Поскольку многообразия замкнуты относительно произвольных прямых произведений, все нетривиальные многообразия содержат бесконечные алгебры. Были предприняты попытки разработать конечный аналог теории многообразий. Это привело, например, к понятию многообразия конечных полугрупп . В этой разновидности используются только финишные продукты. Однако он использует более общий вид идентичностей.

Псевдомногообразие обычно определяются как класс алгебр данной сигнатуры, замкнутый относительно гомоморфных образов, подалгебр и финитарных прямых произведений. Не каждый автор предполагает, что все алгебры псевдомногообразия конечны; в этом случае иногда говорят о множестве конечных алгебр . Для псевдомногообразий не существует общего финитарного аналога теоремы Биркгофа, но во многих случаях введение более сложного понятия уравнений позволяет получить аналогичные результаты.

Псевдомногообразия имеют особое значение при изучении конечных полугрупп и, следовательно, в теории формальных языков . Теорема Эйленберга , часто называемая теоремой о многообразии , описывает естественное соответствие между многообразиями регулярных языков и псевдомногообразиями конечных полугрупп.

Смотрите также

• Квазимногообразие

Примечания

внешняя ссылка

Две монографии доступны бесплатно онлайн:

• Стэнли Н. Беррис и Х.П. Санкаппанавар (1981), Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN   3-540-90578-2 . [Доказательство теоремы Биркгофа находится в II § 11.]
• Питер Джипсен и Генри Роуз (1992), Разновидности решеток , Конспект лекций по математике 1533. Springer Verlag. ISBN   0-387-56314-8 .