Градуированное векторное пространство - Graded vector space

В математике , А градуированное векторное пространство является векторным пространством , которое имеет дополнительную структуру классификации или градацию , которая представляет собой разложение векторного пространства в прямую сумму векторных подпространств.

ℕ -градуированные векторные пространства

Позвольте быть набор неотрицательных целых чисел. -Градуированное векторное пространство , часто называют просто градуированное векторное пространством без префикса , это векторное пространство V вместе с разложением в прямую сумму вида ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ textstyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle V = \ bigoplus _ {п \ in \ mathbb {N}} V_ {п}}$

где каждый - векторное пространство. Тогда для данного n элементы из называются однородными элементами степени n . ${\ displaystyle V_ {n}}$${\ displaystyle V_ {n}}$

Часто используются градиентные векторные пространства. Например, набор всех многочленов от одной или нескольких переменных образует градуированное векторное пространство, где однородные элементы степени n являются в точности линейными комбинациями одночленов степени  n .

Общие I- градуированные векторные пространства

Подпространствам градуированного векторного пространства не обязательно должны быть проиндексированы множество натуральных чисел, и могут быть индексированы элементами любого множества I . Я -градуироваиные векторное пространство V векторное пространство вместе с разложением в прямую сумму подпространств , индексированных элементов я из установленного I :

${\ displaystyle V = \ bigoplus _ {i \ in I} V_ {i}.}$

Таким образом, -градуированное векторное пространство, как определенно выше, является только я -градуированное векторное пространством , где множество I является (множество натуральных чисел ). ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Случай, когда I - кольцо (элементы 0 и 1), особенно важен в физике . A -градуированное векторное пространство также известно как супервекторное пространство . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}$

Гомоморфизмы

Для общих наборов индексов I , A линейного отображение между два я -градуированными векторными пространствами F  : V → W называется градуированным линейным отображением , если он сохраняет градуировку однородных элементов. Градуированное линейное отображение также называется гомоморфизмом (или морфизмом ) градуированных векторных пространств или однородным линейным отображением :

${\ displaystyle f (V_ {i}) \ substeq W_ {i}}$ для всех я в я .

Для фиксированного поля и фиксированного набора индексов градуированные векторные пространства образуют категорию , морфизмы которой являются градуированными линейными отображениями.

Когда I - коммутативный моноид (например, натуральные числа ), то в более общем случае можно определить линейные отображения, однородные любой степени i в I, с помощью свойства

${\ displaystyle f (V_ {j}) \ substeq W_ {i + j}}$ для всех j в I ,

где «+» обозначает операцию моноида. Если, кроме того, I удовлетворяет свойству сокращения, так что его можно вложить в коммутативную группу A, которую он генерирует (например, целые числа, если I - натуральные числа), то можно также определить линейные отображения, однородные степени i в A, с помощью то же свойство (но теперь "+" обозначает групповую операцию в A ). В частности, для i в I линейное отображение будет однородным степени - i, если

${\ Displaystyle F (V_ {я + j}) \ substeq W_ {j}}$ для всех j в I , а

${\ Displaystyle f (V_ {j}) = 0 \,}$ если J - я не в I .

Подобно тому, как набор линейных отображений из векторного пространства в себя образует ассоциативную алгебру (алгебру эндоморфизмов векторного пространства), наборы однородных линейных отображений из пространства в себя, либо ограничивая степени до I, либо допуская любые степени в группа A , образуют ассоциативные градуированные алгебры над этими индексными множествами.

Операции над градуированными векторными пространствами

Некоторые операции с векторными пространствами могут быть определены и для градуированных векторных пространств.

Для двух I -градуированных векторных пространств V и W их прямая сумма имеет основное векторное пространство V ⊕ W с градуировкой

( V ⊕ W ) _я = V _я ⊕ W _я  .

Если I - полугруппа , то тензорное произведение двух I -градуированных векторных пространств V и W является другим I -градуированным векторным пространством с градацией ${\ displaystyle V \ otimes W}$

${\ Displaystyle (V \ otimes W) _ {i} = \ bigoplus _ {\ left \ {\ left (j, k \ right) | j + k = i \ right \}} V_ {j} \ otimes W_ { k}.}$

Смотрите также

• Оценка (математика)
• Градуированная алгебра
• Ряд Гильберта – Пуанкаре
• Comodule
• Градуированный модуль
• Правило Литтлвуда – Ричардсона

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1974) Алгебра I (главы 1-3), ISBN  978-3-540-64243-5 , глава 2, раздел 11; Глава 3.