Композиционная алгебра - Composition algebra

В математике , А композиционная алгебра над полем К является не обязательно ассоциативная алгебра над K вместе с невырожденной квадратичной формой N , который удовлетворяет

для всех х и у в А .

Композиционная алгебра включает инволюцию, называемую сопряжением : квадратичная форма называется нормой алгебры.

Композиционная алгебра ( A , ∗, N ) является либо алгеброй с делением, либо расщепленной алгеброй , в зависимости от существования ненулевого v в A, такого что N ( v ) = 0, называемого нулевым вектором . Когда х это не вектор нулевой, мультипликативный обратный из х является . Когда есть ненулевой нулевой вектор, N - изотропная квадратичная форма , и «алгебра расщепляется».

Структурная теорема

Каждый унитальная композиционная алгебра над полем K может быть получена путем многократного применения конструкции Кэли-Диксона , начиная с K (если характерная из K отличается от 2 ) , или 2-мерный состав подалгебра (если символ ( К ) = 2 ) . Возможные размеры композиционной алгебры: 1 , 2 , 4 и 8 .

  • Одномерные композиционные алгебры существуют только тогда, когда char ( K ) ≠ 2 .
  • Композиционные алгебры размерности 1 и 2 коммутативны и ассоциативны.
  • Композиционные алгебры размерности 2 являются либо квадратичные расширения поля из К , либо изоморфна KK .
  • Композиционные алгебры размерности 4 называются кватернионными алгебрами . Они ассоциативны, но не коммутативны.
  • Композиционные алгебры размерности 8 называются алгебрами октонионов . Они не ассоциативны и не коммутативны.

Для согласованной терминологии алгебры размерности 1 были названы унарионами , а алгебры размерности 2 - бинарионами .

Экземпляры и использование

Если в качестве поля K взять комплексные числа C и квадратичную форму z 2 , то четыре композиционные алгебры над C - это сама C , бикомплексные числа , бикватернионы (изоморфные кольцу комплексных матриц 2 × 2 M (2,  C ) ), и биоктонионы CO , которые также называют сложными октонионами.

Матрица кольцо М (2,  С ) уже давно является объектом интереса, во- первых , как бикватернионов от Hamilton (1853), а затем в изоморфного матричной форме, и , в особенности , как Pauli алгебры .

Функция возведения в квадрат N ( x ) = x 2 на поле действительных чисел образует изначальную композиционную алгебру. Если в качестве поля K взять действительные числа R , то имеется всего шесть других вещественных композиционных алгебр. В двух, четырех и восьми измерениях есть как алгебра с делением, так и «алгебра расщепления»:

бинарионы: комплексные числа с квадратичной формой x 2 + y 2 и расщепленные комплексные числа с квадратичной формой x 2 - y 2 ,
кватернионы и сплит-кватернионы ,
октонионы и сплит-октонионы .

Каждая композиционная алгебра имеет ассоциированную билинейную форму B ( x, y ), построенную с нормой N и поляризационным тождеством :

История

Состав сумм квадратов был отмечен несколькими ранними авторами. Диофант знал о тождестве, включающем сумму двух квадратов, которое теперь называется тождеством Брахмагупты – Фибоначчи , которое также сформулировано как свойство евклидовых норм комплексных чисел при умножении. Леонард Эйлер обсуждал тождество четырех квадратов в 1748 году, и это привело Гамильтона к построению своей четырехмерной алгебры кватернионов . В 1848 году были описаны тессарины, давшие первый свет бикомплексным числам.

Около 1818 года датский ученый Фердинанд Деген показал восьмиквадратную идентичность Дегена , которая позже была связана с нормами элементов алгебры октонионов :

Исторически первая неассоциативная алгебра, числа Кэли ... возникла в контексте теоретико-числовой проблемы квадратичных форм, допускающих композицию ... этот теоретико-числовой вопрос может быть преобразован в вопрос, касающийся некоторых алгебраических систем, композиционных алгебр. ..

В 1919 году Леонард Диксон продвинул исследование проблемы Гурвица, сделав обзор работ, предпринятых к тому времени, и продемонстрировав метод удвоения кватернионов для получения чисел Кэли . Он ввел новую мнимую единицу e , а для кватернионов q и Q пишет число Кэли q + Q e . Обозначая кватернион, сопряженный через q , произведение двух чисел Кэли равно

Сопряжение числа Кэли есть q ' - Q e , а квадратичная форма qq ' + QQ ' , полученная путем умножения числа на его сопряженное. Метод удвоения получил название конструкции Кэли – Диксона .

В 1923 г. случай вещественных алгебр с положительно определенной формой был ограничен теоремой Гурвица (композиционные алгебры) .

В 1931 году Макс Цорн ввел гамму (γ) в правило умножения в конструкции Диксона для генерации расщепленных октонионов . Адриан Альберт также использовал гамму в 1942 году, когда показал, что удвоение Диксона можно применить к любому полю с функцией возведения в квадрат, чтобы построить алгебры бинарионов, кватернионов и октонионов с их квадратичными формами. Натан Джейкобсон описал автоморфизмы композиционных алгебр в 1958 году.

Классические композиционные алгебры над R и C являются алгебрами с единицей . Композиционные алгебры без в мультипликативной идентичности были найдены HP Петерсон ( Петерсон алгебра ) и Сусум Окубо ( Окубо алгебра ) и другими.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение