Плоский модуль - Flat module

В алгебре , A плоский модуль над кольцом R представляет собой R - модуль М таким образом, что принимает тензорное произведение над R с M сохраняет точные последовательности . Модуль является абсолютно плоским, если взятие тензорного произведения на последовательность дает точную последовательность тогда и только тогда, когда исходная последовательность точна.

Плоскостность была введена Жан-Пьером Серром  ( 1956 ) в его статье Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique . См. Также плоский морфизм .

Определение

Модуль М над кольцом R является плоским , если выполнено следующее условие: для каждого инъективного линейное отображение из R - модулей, карта ${\ displaystyle \ varphi: K \ to L}$

${\ displaystyle \ varphi \ otimes _ {R} M: K \ otimes _ {R} M \ to L \ otimes _ {R} M}$

также инъективно, где - отображение, индуцированное${\ displaystyle \ varphi \ otimes _ {R} M}$${\ displaystyle k \ otimes m \ mapsto \ varphi (k) \ otimes m.}$

Для этого определения, то достаточно , чтобы ограничить инъекции до включений конечно порожденных идеалов в R . ${\ displaystyle \ varphi}$

Эквивалентно, R -модуль M является плоским, если тензорное произведение с M является точным функтором ; то есть , если для каждого короткая точная последовательность из R -модулями последовательность также точна. (Это эквивалентное определение, поскольку тензорное произведение является точным справа функтором .) ${\ Displaystyle 0 \ rightarrow K \ rightarrow L \ rightarrow J \ rightarrow 0,}$${\ displaystyle 0 \ rightarrow K \ otimes _ {R} M \ rightarrow L \ otimes _ {R} M \ rightarrow J \ otimes _ {R} M \ rightarrow 0}$

Эти определения применимы также, если R - некоммутативное кольцо, а M - левый R -модуль; в этом случае K , L и J должны быть правыми R -модулями, а тензорные произведения, вообще говоря, не R -модули, а только абелевы группы .

Характеристики

Плоскостность также можно охарактеризовать следующее эквациональное условием, что означает , что R - линейные отношения в М вытекают из линейных отношений в R . R - модуля M является плоским , если и только если для каждого линейного соотношения

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {m} r_ {i} x_ {i} = 0}$

с и , существуют элементы и такие, что ${\ displaystyle r_ {i} \ in R}$${\ displaystyle x_ {i} \ in M}$${\ displaystyle y_ {j} \ in M}$${\ displaystyle a_ {i, j} \ in R,}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} r_ {i} a_ {i, j} = 0 \ qquad {\ text {and}} \ qquad x_ {i} = \ sum _ {j = 1 } ^ {n} a_ {i, j} y_ {j} \ quad {\ text {for}} \ quad i = 1, \ ldots, n.}$

Это эквивалентно определению n элементов модуля и линейного отображения из этого модуля, которое отображает стандартный базис на n элементов. Это позволяет переписать предыдущую характеризацию в терминах гомоморфизмов следующим образом. ${\ displaystyle R ^ {n}}$${\ displaystyle R ^ {n}}$

R - модуля M является плоским тогда и только тогда , когда выполняется следующее условие: для каждой карты , где есть конечно порожденный свободный R - модуль, и для каждого конечно порожденного R -подмодуля от карты факторов через карту г к свободному R - модуль такой, что${\ displaystyle f: с F \ на M,}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ ker f,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g (K) = 0:}$

Связь с другими свойствами модуля

Плоскостность связана с различными другими свойствами модуля, такими как свобода, проективность или отсутствие кручения. В частности, каждый плоский модуль не имеет кручения , каждый проективный модуль плоский и каждый свободный модуль проективен.

Существуют конечно порожденные модули, которые являются плоскими и непроективными. Однако все конечно порожденные модули проективны над наиболее часто рассматриваемыми кольцами.

Частично это показано на следующем рисунке.

Модули без кручения

Каждый плоский модуль не имеет кручения . Это следует из приведенной выше характеристики в терминах соотношений, когда m = 1

Обратное верно для целых чисел и, в более общем смысле, для областей главных идеалов и дедекиндовских колец .

Область целостности, над которой каждый модуль без кручения является плоским, называется областью Прюфера .

Свободные и проективные модули

Модуль М является проективным тогда и только тогда , когда есть свободный модуль G и две линейные карты и такая , что , в частности, каждый свободный модуль является проективным (взять и ).${\ displaystyle i: M \ to G}$${\ displaystyle p: G \ to M}$${\ displaystyle p \ circ i = \ mathrm {id} _ {M}.}$${\ displaystyle G = M}$${\ Displaystyle я = р = \ mathrm {id} _ {M}}$

Каждый проективный модуль плоский. Это может быть доказано из приведенных выше характеристик плоскостности и проективности в терминах линейных отображений, взяв и${\ displaystyle g = я \ circ f}$${\ displaystyle h = p.}$

Наоборот, конечно порожденные плоские модули проективны при мягких условиях, которые обычно выполняются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии . Это делает концепцию плоскостности полезной в основном для модулей, которые не являются конечно порожденными.

Конечно представимый модуль (то есть фактор конечно порожденный свободного модуль с помощью конечно порожденным субмодулем) , что является плоским всегда проективный. Это можно доказать, взяв f сюръективным и в приведенной выше характеризации плоскостности в терминах линейных отображений. Условие подразумевает существование такого линейного отображения , что и, таким образом, поскольку f сюръективно, так и M проективно. ${\ Displaystyle К = \ кер f}$${\ displaystyle g (K) = 0}$${\ displaystyle i: M \ to G}$${\ displaystyle i \ circ f = g,}$${\ Displaystyle H \ CIRC I \ CIRC F = H \ CIRC G = F.}$${\ displaystyle h \ circ i = \ mathrm {id} _ {M},}$

Над нётеровым кольцом каждый конечно порожденный плоский модуль проективен, поскольку каждый конечно порожденный модуль конечно представим. Тот же результат верен для области целостности , даже если она не нётерова.

На локальном кольце каждый конечно порожденный плоский модуль свободен.

Конечно порожденный плоский модуль, не являющийся проективным, можно построить следующим образом. Пусть множество из бесконечных последовательностей , члены которых принадлежат фиксированному полю F . Это коммутативное кольцо с покомпонентным определением сложения и умножения. Это кольцо абсолютно плоское (то есть каждый модуль плоский). Модуль, где I - идеал последовательностей с конечным числом ненулевых членов, является, таким образом, плоским и конечно порожденным (только один образующий), но он не является проективным. ${\ Displaystyle R = F ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle R / I,}$

Не примеры

• Если I - идеал в нётеровом коммутативном кольце R , то не является плоским модулем, за исключением случая, когда I порождается идемпотентом (то есть элементом, равным его квадрату). В частности, если R - область целостности , она плоская, только если равна R или является нулевым идеалом .${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle I}$

• Над областью целостности плоский модуль не имеет кручения . Таким образом, модуль, содержащий ненулевые элементы кручения, не является плоским. В частности, и все поля положительных характеристик являются неплоскими -модулями, где - кольцо целых чисел, а - поле рациональных чисел.${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Прямые суммы, лимиты и продукты

Прямая сумма модулей является квартирой и только тогда , когда каждый плоская. ${\ displaystyle \ textstyle \ bigoplus _ {я \ in I} M_ {я}}$${\ displaystyle M_ {i}}$

Прямой предел плоского является плоским. В частности, прямой предел свободных модулей плоский. Наоборот, любой плоский модуль можно записать как прямой предел конечно порожденных свободных модулей.

Прямые продукты плоских модулей, как правило, не обязательно должны быть плоскими. Фактически, для данного кольца R любое прямое произведение плоских R -модулей является плоским тогда и только тогда, когда R - когерентное кольцо (то есть каждый конечно порожденный идеал конечно определен).

Удлинители плоских колец

Кольцевой гомоморфизм является плоским , если S представляет собой плоский R - модуль для структуры модуля , индуцированного гомоморфизмом. Например, кольцо многочленов R [ т ] плоский над R , для любого кольца R . ${\ displaystyle R \ to S}$

Для любого мультипликативного подмножества коммутативного кольца , то локализация кольцо плоское над R (это проективное только в исключительных случаях). Например, плоский и не проективный над${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} R}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}.}$

Если - идеал нётерова коммутативного кольца, то пополнение по относительно плоское. Это строго плоско тогда и только тогда , когда содержится в Jacobson радикала из (смотри также Зарискому кольца .) ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R,}$ ${\ displaystyle {\ widehat {R}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle A.}$

Локализация

В этом разделе R обозначает коммутативное кольцо . Если это простой идеал из R , то локализация на , как обычно, обозначается в качестве индекса. То есть, и если M - R -модуль,${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {p}} = S ^ {- 1} R,}$${\ Displaystyle M _ {\ mathfrak {p}} = S ^ {- 1} M = R _ {\ mathfrak {p}} \ otimes _ {R} M.}$

Если R -модуль M плоский, то является плоским -модулем для любого простого идеала${\ Displaystyle М _ {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}.}$

Наоборот, если является плоским -модулем для каждого максимального идеала , то M является плоским R -модулем (и является плоским -модулем для любого простого идеала ). ${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle М _ {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Эти свойства являются фундаментальными в коммутативной алгебре, поскольку они сводят вопрос о плоскостности к случаю локальных колец . Их часто выражают, говоря, что плоскостность - это местное свойство .

Плоские морфизмы схем

Морфизм из схем является плоским морфизмом , если индуцированное отображение на локальных кольцах ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y, f (x)} \ to {\ mathcal {O}} _ {X, x}}$

представляет собой плоский кольцевой гомоморфизм для любой точки х в X . Таким образом, свойства плоских (или строго плоских) гомоморфизмов колец естественным образом расширяются до геометрических свойств плоских морфизмов в алгебраической геометрии. Например, рассмотрим предыдущий пример . Тогда включение определяет плоский морфизм ${\ Displaystyle R = \ mathbb {C} [т, х, у] / (ху-т)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [т] \ hookrightarrow R}$

${\ displaystyle \ pi: \ operatorname {Spec} (R) \ to \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [t]).}$

Каждое (геометрическое) волокно является кривой уравнения. См. Также плоское вырождение и деформацию к нормальному конусу . ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (т)}$${\ displaystyle xy = t.}$

Пусть - кольцо многочленов над коммутативным нётеровым кольцом и ненулевым делителем. Тогда является плоским тогда и только тогда, когда является примитивным (коэффициенты порождают единичный идеал). Примером может служить ^{стр. 3,} которая плоская (и даже свободная) (см. Также ниже геометрическое значение). Такие плоские расширения можно использовать для получения примеров плоских модулей, которые не являются бесплатными и не являются результатом локализации. ${\ Displaystyle S = R [x_ {1}, \ dots, x_ {r}]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f \ in S}$${\ Displaystyle S / fS}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [т, х, у] / (ху-т),}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [т]}$

Верная плоскостность

Модуль является абсолютно плоским, если взятие тензорного произведения на последовательность дает точную последовательность тогда и только тогда, когда исходная последовательность точна. Хотя это понятие определено для модулей над ненужным коммутативным кольцом, оно используется в основном для коммутативных алгебр . Итак, это единственный случай, который здесь рассматривается, даже если некоторые результаты могут быть обобщены на случай модулей над некоммутаивным кольцом.

В этом разделе - кольцевой гомоморфизм коммутативных колец, который дает структурам -алгебры и -модуля. Если это -модуль плоский (или точно плоский), обычно говорят, что он плоский (или точно плоский), а тот плоский (или точно плоский). ${\ displaystyle f \ двоеточие R \ to S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R,}$${\ displaystyle f}$

Если плоско, следующие условия эквивалентны. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R,}$

• ${\ displaystyle S}$ точно плоский.
• Для каждого максимального идеала из , один имеет${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} S \ neq S.}$
• Если - ненулевой -модуль, то${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} S \ neq 0.}$
• Для каждого простого идеала из есть простой идеал из таким образом, что Другими словами, отображение , индуцированное на спектрах сюръективна.${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R,}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = f ^ {- 1} ({\ mathfrak {P}}).}$${\ displaystyle f ^ {*} \ двоеточие \ OperatorName {Spec} (S) \ to \ operatorname {Spec} (R)}$${\ displaystyle f}$
• ${\ displaystyle f,}$инъективна, и является чистым Подкольцо из что, инъективно для каждого -модуль .${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle S;}$${\ displaystyle M \ to M \ otimes _ {R} S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$

Из второго условия следует, что плоский локальный гомоморфизм локальных колец строго плоский. Из последнего условия , что для любого идеала из (взять ). В частности, если является нётеровым кольцом, то оно также нётерово. ${\ displaystyle I = IS \ cap R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle M = R / I}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$

Последнее , но одно условие можно сформулировать в следующей усиленной форме: это submersive , что означает , что Зариская топология в является фактор топологией этого из (это частный случай того , что строго плоский квазикомпактна морфизм схем имеет это свойство.). См. Также Плоский морфизм # Свойства плоских морфизмов . ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (S) \ to \ operatorname {Spec} (R)}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (S)}$

Примеры

• Гомоморфизм колец , являющийся ненулевым свободным R -модулем, строго плоский. Например: ${\ displaystyle R \ to S}$${\ displaystyle S}$
  • Каждое расширение поля абсолютно плоское. Это свойство неявно стоит за использованием комплексификации для доказательства результатов в реальных векторных пространствах.
  • Кольцо многочленов является строго плоским расширением его кольца коэффициентов.
  • Если -
  монический многочлен , то включение строго плоское.${\ displaystyle p \ in R [x]}$${\ Displaystyle R \ hookrightarrow R [t] / \ langle f \ rangle}$

Пусть В прямое произведение из локализаций на строго плоско над тогда и только тогда , когда генерировать единичный идеал в (то есть, если есть линейная комбинация из ).${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {k} \ in R.}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {i} R [t_ {i} ^ {- 1}]}$${\ displaystyle t_ {i}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {k}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle t_ {i}}$

Прямая сумма локализаций из во всех его простых идеалов строго плоский модуль , который не является алгеброй, за исключением , если существует конечное число простых идеалов.${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R}$

Два последних примера неявно лежат в основе широкого использования локализации в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.

• Для данного гомоморфизма колец существует ассоциированный комплекс, называемый комплексом Амицура :${\ displaystyle f: от A \ до B,}$
  $${\ displaystyle 0 \ to A {\ overset {f} {\ to}} B {\ overset {\ delta ^ {0}} {\ to}} B \ otimes _ {A} B {\ overset {\ delta ^ {1}} {\ to}} B \ otimes _ {A} B \ otimes _ {A} B \ to \ cdots}$$

  
  где кограничные операторы представляют собой чередующиеся суммы карт, полученных путем вставки 1 в каждое пятно; например, . Тогда (Гротендик) этот комплекс точен, если точно плоский.${\ displaystyle \ delta ^ {n}}$${\ displaystyle \ delta ^ {0} (b) = b \ otimes 1-1 \ otimes b}$${\ displaystyle f}$

Верно плоские локальные гомоморфизмы

Вот одна характеристика строго плоского гомоморфизма для необязательно плоского гомоморфизма. Учитывая инъективная локальный гомоморфизм такой , что это - первичный идеал , то гомоморфизм строго плоско тогда и только тогда , когда теорема перехода имеет место для него; то есть, для каждого примарного идеала из ,${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}}) \ hookrightarrow (S, {\ mathfrak {n}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}$${\ displaystyle S \ to B}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ operatorname {length} _ {S} (S / {\ mathfrak {q}} S) = \ operatorname {length} _ {S} (S / {\ mathfrak {m}} S) \ operatorname {length } _ {R} (R / {\ mathfrak {q}}).}$

Гомологическая характеризация с помощью функторов Tor

Плоскостность также может быть выражена с помощью функторов Tor , левых производных функторов тензорного произведения. Левый R -модуль M плоский тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {n} ^ {R} (X, M) = 0}$для всех и всех правых R -модулей X ).${\ Displaystyle п \ geq 1}$

Фактически, достаточно проверить, что первый член Tor равен нулю, т. Е. M является плоским тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (N, M) = 0}$

для любого R -модуля N или, что еще более ограничительно, когда и - любой конечно порожденный идеал. ${\ Displaystyle N = R / I}$${\ Displaystyle I \ подмножество R}$

Используя длинные точные последовательности функтора Tor , можно легко доказать факты о короткой точной последовательности

${\ displaystyle 0 \ to A {\ overset {f} {\ longrightarrow}} B {\ overset {g} {\ longrightarrow}} C \ to 0}$

Если A и C плоские, то B тоже . Кроме того, если B и C плоские, то A тоже . Если A и B плоские, C не обязательно должен быть плоским. Однако, если является чистым в B и B является плоской, а затем и С являются плоскими.

Плоские разрешения

Плоское разрешение из модуля M является разрешением вида

${\ displaystyle \ cdots \ to F_ {2} \ to F_ {1} \ to F_ {0} \ to M \ to 0,}$

где F _i - все плоские модули. Любая свободная или проективная резолюция обязательно является плоской резолюцией. Плоские разрешения могут использоваться для вычисления функтора Tor .

Длиной конечного плоского разрешения является первым индексом п таким образом, что отличен от нуля и для . Если модуль M допускает конечное плоское разрешение, минимальная длина среди всех конечных плоских резолюций М называется его плоского размером и обозначаемый FD ( M ). Если M не допускает конечного плоского разрешения, то по соглашению плоская размерность называется бесконечной. В качестве примера рассмотрим модуль M такой, что fd ( M ) = 0. В этой ситуации точность последовательности 0 → F ₀ → M → 0 указывает на то, что стрелка в центре является изоморфизмом, и, следовательно, сама M является изоморфизмом. плоский. ${\ displaystyle F_ {n}}$${\ displaystyle F_ {i} = 0}$${\ displaystyle i> n}$

В некоторых областях теории модулей плоское разрешение должно удовлетворять дополнительному требованию, чтобы каждая карта была плоским предварительным покрытием ядра карты справа. Для проективных резольвент это условие почти невидимо: проективное предпокрытие - это просто эпиморфизм из проективного модуля. Эти идеи вдохновлены работами Ауслендера в приближении. Эти идеи также известны из более общего понятия минимальных проективных резольвент, где каждое отображение требуется, чтобы быть проективным покрытием ядра карты справа. Однако проективные покрытия в общем случае могут не существовать, поэтому минимальные проективные резольвенты имеют ограниченное применение над кольцами, такими как целые числа.

Плоские крышки

Хотя проективные покрытия для модулей не всегда существуют, предполагалось, что для общих колец каждый модуль будет иметь плоское покрытие, то есть каждый модуль M будет эпиморфным образом плоского модуля F , так что каждое отображение из плоского модуля на M пропускается через F , и любой эндоморфизм F над M является автоморфизмом. Эта гипотеза о плоском покрытии была впервые явно сформулирована в ( Enochs 1981 , p 196) . Гипотеза оказалась верной, положительно разрешенной и доказанной одновременно Л. Биканом, Р. Эль Баширом и Э. Енохом. Этому предшествовали важные вклады П. Эклофа, Дж. Трлифая и Дж. Сюй. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFEnochs1981 ( справка )

Поскольку плоские покрытия существуют для всех модулей над всеми кольцами, минимальные плоские резольвенты во многих случаях могут заменять минимальные проективные резольвенты. Измерение отклонения плоских разрешений от проективных разрешений называется относительной гомологической алгеброй и рассматривается в классических работах, таких как ( MacLane, 1963 ), и в более поздних работах, посвященных плоским разрешениям, например ( Enochs & Jenda 2000 ). ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFMacLane1963 ( справка )

В конструктивной математике

Плоские модули имеют повышенное значение в конструктивной математике , где проективные модули менее полезны. Например, то, что все свободные модули являются проективными, эквивалентно полной аксиоме выбора , поэтому теоремы о проективных модулях, даже если они доказаны конструктивно, не обязательно применимы к свободным модулям. Напротив, для доказательства того, что свободные модули плоские, выбора не требуется, поэтому теоремы о плоских модулях все еще применимы.

Смотрите также

• Общая плоскостность
• Плоский морфизм
• Регулярное кольцо фон Неймана - те кольца, над которыми все модули плоские.
• Обычно плоское кольцо

использованная литература

• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) .
• Bican, L .; Эль Башир, р .; Енохс, Э. (2001), «Все модули имеют плоские крышки», Bull. Лондонская математика. Soc. , 33 (4): 385-390, DOI : 10,1017 / S0024609301008104 , ISSN  0024-6093 , МР  1832549
• Бурбаки, Николас . Коммутативная алгебра .
• Чейз, Стивен У. (1960), "Прямые произведения модулей", Труды Американского математического общества , 97 (3): 457-473, DOI : 10,2307 / 1993382 , JSTOR  1993382 , MR  0120260
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике , 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960
• Enochs, Эдгар E. (1981), "Инъективные и плоские крышки, конверты и резольвенты", Израиль Журнал математики , 39 (3): 189-209, DOI : 10.1007 / BF02760849 , ISSN  0021-2172 , МР  0636889 , S2CID  120567780
• Енохс, Эдгар Э .; Jenda, Overtoun MG (2000), Относительная гомологическая алгебра , Выставки де Грюйтера по математике, 30 , Берлин: Walter de Gruyter & Co., DOI : 10.1515 / 9783110803662 , ISBN 978-3-11-016633-0, Руководство по ремонту  1753146
• Кунц, Эрнст (1969), "Характеризация регулярных локальных колец характеристики р ", Американский журнал математика , 91 (3): 772-784, DOI : 10,2307 / 2373351 , JSTOR  2373351 , МР  0252389
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, 189 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту  1653294
• Лазар, Даниэль (1969), "Autour de la platitude" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 97 : 81–128, doi : 10.24033 / bsmf.1675
• Mac Lane, Saunders (1963), Homology , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Бостон, Массачусетс: Academic Press , MR  0156879
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра
• Мацумура, Хидеюки (1986). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования в области высшей математики. 8 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6. Руководство по ремонту  0879273 . Zbl  0603.13001 .
• Мамфорд, Дэвид , Красная книга разновидностей и схем
• Northcott, DG (1984), полилинейная алгебра , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-26269-9 - стр. 33
• Ричман, Фред (1997), «Плоская размерность, конструктивность и теорема о сизигии Гильберта», New Zealand Journal of Mathematics , 26 (2): 263–273, ISSN  1171-6096 , MR  1601663
• Серра, Жан-Пьер (1956), "Geometrie algébrique и др геометрический подход Аналитический" , Annales де l'Институт Фурье , 6 : 1-42, DOI : 10,5802 / aif.59 , ISSN  0373-0956 , MR  0082175