Около кольца - Near-ring

В математике , А почтикольцо (также рядом с кольцом или почтикольцо ) является алгебраической структурой похожа на кольцо , но меньше , удовлетворяющая аксиомы . Почти-кольца естественным образом возникают из функций на группах .

Определение

Множество Н вместе с двумя бинарными операциями + (называется аддитивными ) и ⋅ ( так называемого умножением ) называется (справа) рядом с кольцом , если:

Точно так же можно определить левое почти-кольцо , заменив правый распределительный закон соответствующим левым распределительным законом. В литературе встречаются как правые, так и левые близкие кольца; например, в книге Пильца используются правые близкие кольца, в то время как в книге Глина используются левые близкие кольца.

Непосредственным следствием этого одностороннюю дистрибутивный закон является то , что это правда , что 0⋅ х = 0 , но это не всегда верно , что х ⋅0 = 0 для любого х в N . Другое непосредственное следствие состоит в том, что (- x ) ⋅ y = - ( xy ) для любых x , y в N , но необязательно, чтобы x ⋅ (- y ) = - ( xy ). Почти кольцо является кольцом (не обязательно с единицей) тогда и только тогда, когда сложение коммутативно, а умножение также дистрибутивно над сложением слева . Если почти-кольцо имеет мультипликативную единицу, то дистрибутивности с обеих сторон достаточно, и коммутативность сложения следует автоматически.

Отображения группы на себя

Пусть G - группа, записанная аддитивно, но не обязательно абелева , и пусть M ( G ) - множество { f | е  : GG } всех функций из G в G . Операция сложения может быть определена на M ( G ): для заданных f , g в M ( G ) отображение f + g из G в G задается формулой ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( х ) для всех х в G . Тогда ( M ( G ), +) также является группой, которая абелева тогда и только тогда, когда G абелева. Принимая композицию отображений как произведение, M ( G ) становится почти кольцом.

0 элемента ближнего кольца М ( G ) является нулевым отображением , т.е. отображение , которое принимает каждый элемент G к единице G . Противоположное число - F из F в M ( G ) совпадает с естественным поточечным определением, то есть, (- ф ) ( х ) = - ( е ( х )) для всех х в G .

Если G имеет не менее 2 элементов, M ( G ) не является кольцом, даже если G абелева. (Рассмотрим постоянное отображение g из G в фиксированный элемент g ≠ 0 группы G ; тогда g ⋅0 = g ≠ 0.) Однако существует подмножество E ( G ) в M ( G ), состоящее из всех групповых эндоморфизмов группы G , то есть, все отображения F  : GG такая , что F ( х + у ) = е ( х ) + е ( у ) для всех х , у в G . Если ( G , +) абелева, обе почти-кольцевые операции на M ( G ) замкнуты на E ( G ), а ( E ( G ), +, ⋅) - кольцо. Если ( G , +) неабелева, E ( G ), вообще говоря, не замкнута относительно почти кольцевых операций; но замыкание E ( G ) под действием почти-кольцевых операций является почти-кольцевым.

Многие подмножества M ( G ) образуют интересные и полезные почти-кольца. Например:

  • Отображения, для которых f (0) = 0.
  • Постоянные отображения, т. Е. Те, которые отображают каждый элемент группы в один фиксированный элемент.
  • Множество отображений, порожденное сложением и отрицанием эндоморфизмов группы («аддитивное замыкание» множества эндоморфизмов). Если G абелева, то множество эндоморфизмов уже аддитивно замкнуто, так что аддитивное замыкание - это просто множество эндоморфизмов G, и оно образует не только почти-кольцо, но и кольцо.

Дальнейшие примеры возникают, если группа имеет дополнительную структуру, например:

Каждое почтикольцо является изоморфным к subnear кольцу М ( G ) для некоторого G .

Приложения

Многие приложения включают подкласс близких колец, известных как ближние поля ; об этом см. статью о ближних полях.

Существуют различные применения собственных почти-колец, т. Е. Тех, которые не являются ни кольцами, ни почти-полями.

Самым известным из них является уравновешивание неполных блочных конструкций с использованием плоских близких колец. Это способ получения разностных семейств с использованием орбит группы автоморфизмов без неподвижных точек группы. Клей и другие распространили эти идеи на более общие геометрические конструкции.

Смотрите также

использованная литература

  • Селестина Котти Ферреро; Джованни Ферреро (2002). Неаррингс: некоторые разработки, связанные с полугруппами и группами . Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4613-0267-4.

внешние ссылки