Бесплатный модуль - Free module

В математике , А свободный модуль является модулем , который имеет основу - то есть, порождающее множество , состоящее из линейно независимых элементов. Каждое векторное пространство является свободным модулем, но если кольцо коэффициентов не является телом (не полем в коммутативном случае), то существуют несвободные модули.

Для любого множества $S$ и кольцо $R$ , есть свободный $R$ - модуль с базисом $S$ , который называется свободным модулем на $S$ или модуль формального $R$ - линейные комбинации элементов из $S$ .

Свободная абелева группа именно свободный модуль над кольцом $Z$ от целых чисел .

Определение

Для кольца и - модуля набор является основой, если: ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle E \ substeq M}$ ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle E}$ является порождающим множеством для ; иными словами, каждый элемент является конечной суммой элементов, умноженных на коэффициенты в ; и ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle R}$
${\ displaystyle E}$ является линейно независимым , то есть для каждого подмножества различных элементов из , следует, что (где - нулевой элемент и является нулевым элементом ). ${\ Displaystyle \ {е_ {1}, е_ {2}, \ ldots, е_ {п} \}}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle r_ {1} e_ {1} + r_ {2} e_ {2} + \ cdots + r_ {n} e_ {n} = 0_ {M}}$ ${\ Displaystyle r_ {1} = r_ {2} = \ cdots = r_ {n} = 0_ {R}}$ ${\ displaystyle 0_ {M}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle 0_ {R}}$ ${\ displaystyle R}$

Бесплатный модуль - это модуль с базой.

Непосредственно вытекает из второй половины определения является то , что коэффициенты в первой половине являются уникальными для каждого элемента М .

Если имеет инвариантный базисный номер , то по определению любые два базиса имеют одинаковую мощность. Например, ненулевые коммутативные кольца имеют инвариантный базисный номер. Мощность любого (а значит, и каждого) базиса называется рангом свободного модуля . Если эта мощность конечна, свободный модуль называется свободным от конечного ранга или свободным от ранга $n,$ если известно, что ранг равен $n$ . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$

Примеры

Пусть R - кольцо.

R - свободный модуль ранга один над собой (как левый, так и правый модуль); любой единичный элемент является основой.
В более общем смысле , если R коммутативен, ненулевой идеал я из R свободен тогда и только тогда , когда он является главным идеалом , порожденным nonzerodivisor с генератором быть основой.
Если R коммутативно, кольцо многочленов от неопределенного X является свободным модулем с возможным базисом 1, X , X ² , .... ${\ Displaystyle R [X]}$
Пусть будет кольцо многочленов над коммутативным кольцом A , F унитарный многочлен степени г там, и образ т в B . Тогда B содержит A как подкольцо и свободен как A -модуль с базисом . ${\ Displaystyle А [т]}$ ${\ Displaystyle В = А [т] / (е)}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ Displaystyle 1, \ xi, \ точки, \ xi ^ {d-1}}$
Для любого неотрицательного целого числа п , , то декартово произведение из п копии R как левый R - модуль, является свободным. Если R имеет инвариантный базисный номер , то его ранг равен n . ${\ Displaystyle R ^ {N} = R \ times \ cdots \ times R}$
Прямая сумма свободных модулей свободна, в то время как бесконечное декартово произведение свободных модулей , как правило , не свободно (сравните группы Бэра-Шпекер .)
Теорема Капланского утверждает, что проективный модуль над локальным кольцом свободен.

Формальные линейные комбинации

Для множества $E$ и кольца $R$ существует свободный $R$ -модуль, в основе которого лежит $E,$ а именно прямая сумма копий R, индексированных E

{\ Displaystyle R ^ {(E)} = \ bigoplus _ {е \ in E} R}

.

Явно, это подмодуль декартового произведения ( R рассматривается как, скажем, левый модуль), который состоит из элементов, которые имеют только конечное число ненулевых компонентов. Можно встроить E в $R$ $($ $E$ $)$ как подмножество, отождествив элемент e с элементом $R$ $($ $E$ $), у$ которого e-й компонент равен 1 (единица R ), а все остальные компоненты равны нулю. Тогда каждый элемент $R$ $($ $E$ $)$ однозначно записывается как ${\ textstyle \ prod _ {E} R}$

{\ displaystyle \ sum _ {е \ in E} c_ {e} e,}

где только конечное число ненулевых. Это называется формальной линейной комбинацией элементов $E$ . ${\ displaystyle c_ {e}}$

Аналогичное рассуждение показывает, что каждый свободный левый (соответственно правый) R -модуль изоморфен прямой сумме копий R как левого (соответственно правого) модуля.

Другая конструкция

Свободный модуль $R (E)$ также может быть построен следующим эквивалентным способом.

Для кольца R и множества E сначала в качестве набора положим

{\ displaystyle R ^ {(E)} = \ {f: E \ to R \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех, кроме конечного числа}} x \ in E \}.}

Мы снабдим его структурой левого модуля, так что сложение определяется следующим образом: для x в E ,

{\ Displaystyle (е + г) (х) = е (х) + г (х)}

и скалярное умножение на: для r в R и x в E ,

{\ Displaystyle (рф) (х) = г (е (х))}

Теперь, будучи R -значной функцией на E , каждая функция f in может быть однозначно записана как ${\ Displaystyle R ^ {(E)}}$

{\ displaystyle f = \ sum _ {e \ in E} c_ {e} \ delta _ {e}}

где находятся в R и только конечное их число ненулевых и задается как ${\ displaystyle c_ {e}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {e}}$

{\ displaystyle \ delta _ {e} (x) = {\ begin {cases} 1_ {R} \ quad {\ mbox {if}} x = e \\ 0_ {R} \ quad {\ mbox {if}} x \ neq e \ end {case}}}

(это вариант Кронекера .) Сказанное означает , что подмножество из является основой . Отображение - это биекция между $E$ и этим базисом. Благодаря этому биекция, является свободным модулем с базисом Е . ${\ displaystyle \ {\ delta _ {e} \ mid e \ in E \}}$ ${\ Displaystyle R ^ {(E)}}$ ${\ Displaystyle R ^ {(E)}}$ ${\ displaystyle e \ mapsto \ delta _ {e}}$ ${\ Displaystyle R ^ {(E)}}$

Универсальная собственность

Определенное выше отображение включения универсально в следующем смысле. Для произвольной функции из множества $E$ в левый $R$ -модуль $N$ существует единственный гомоморфизм модулей такой, что ; а именно, определяется формулой: ${\ displaystyle \ iota: E \ to R ^ {(E)}}$ ${\ displaystyle f: E \ to N}$ ${\ displaystyle {\ overline {f}}: R ^ {(E)} \ to N}$ ${\ displaystyle f = {\ overline {f}} \ circ \ iota}$ ${\ displaystyle {\ overline {f}}}$

{\ displaystyle {\ overline {f}} \ left (\ sum _ {e \ in E} r_ {e} e \ right) = \ sum _ {e \ in E} r_ {e} f (e)}

и говорят, что он получается продолжением по линейности. Уникальность означает , что каждый R -линейной карта однозначно определяется его ограничение на Е . ${\ displaystyle {\ overline {f}}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle R ^ {(E)} \ к N}$

Как обычно для универсальных свойств, это определяет $R (E)$ до канонический изоморфизм . Также формирование для каждого множества E определяет функтор ${\ displaystyle \ iota: E \ to R ^ {(E)}}$

{\ Displaystyle R ^ {(-)}: {\ textbf {Set}} \ к R - {\ mathsf {Mod}}, \, E \ mapsto R ^ {(E)}}

,

из категории множеств в категорию левых $R$ -модулей. Это называется свободным функтором и удовлетворяет естественное соотношение: для каждого набора E и левого модуля N ,

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ textbf {Set}} (E, U (N)) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (R ^ {(E)}, N), \, f \ mapsto {\ overline {f}}}

где - функтор забывания , то есть левый сопряженный функтора забывания. ${\ displaystyle U: R - {\ mathsf {Mod}} \ to {\ textbf {Set}}}$ ${\ Displaystyle R ^ {(-)}}$

Обобщения

Многие утверждения о свободных модулях, которые неверны для общих модулей над кольцами, остаются верными для некоторых обобщений свободных модулей. Проективные модули - это прямые слагаемые свободных модулей, поэтому можно выбрать инъекцию в свободный модуль и использовать его базис, чтобы что-то доказать для проективного модуля. Даже более слабые обобщения - это плоские модули , которые все же обладают тем свойством, что тензорное сечение с ними сохраняет точные последовательности, и модули без кручения . Если кольцо обладает особыми свойствами, эта иерархия может разрушиться, например, для любого совершенного локального дедекиндова кольца каждый модуль без кручения также является плоским, проективным и свободным. Конечно порожденный модуль коммутативного ПИД без кручения свободен. Конечно порожденный Z -модуль свободен тогда и только тогда, когда он плоский.

Посмотрите местное кольцо , идеальное кольцо и кольцо Дедекинда .

Смотрите также

Примечания

^ Keown (1975). Введение в теорию представления групп . п. 24.
^ Хазевинкель (1989). Энциклопедия математики, Том 4 . п. 110.
^ Доказательство: предположим, чтоэто бесплатно с базой. Ибо,должно иметь уникальную линейную комбинацию в терминахи, что неверно. Таким образом, посколькусуществует только один базисный элемент, который должен быть ненулевым делителем. Обратное очевидно. ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ {x_ {j} | j \}}$ ${\ displaystyle j \ neq k}$ ${\ displaystyle x_ {j} x_ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {j}}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ ${\ displaystyle I \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$

использованная литература

Эта статья включает материалы из бесплатного векторного пространства поверх набора на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. С. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. Руководство по ремонту 0345993 .
Кеун, Р. (1975). Введение в теорию представления групп . Математика в науке и технике. 116 . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-404250-6. Руководство по ремонту 0387387 .
Говоров, В.Е. (2001) [1994], "Свободный модуль" , Энциклопедия математики , EMS Press.

[1] Keown (1975). Введение в теорию представления групп . п. 24.

[2] Хазевинкель (1989). Энциклопедия математики, Том 4 . п. 110.

[3] Доказательство: предположим, чтоэто бесплатно с базой. Ибо,должно иметь уникальную линейную комбинацию в терминахи, что неверно. Таким образом, посколькусуществует только один базисный элемент, который должен быть ненулевым делителем. Обратное очевидно. ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ {x_ {j} | j \}}$ ${\ displaystyle j \ neq k}$ ${\ displaystyle x_ {j} x_ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {j}}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ ${\ displaystyle I \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$

Languages

In other projects