Неассоциативная алгебра - Non-associative algebra

Не-ассоциативная алгебра (или дистрибутивно алгебра ) является алгебра над полем , где операция умножения двоичного не предполагается , чтобы быть ассоциативно . То есть, алгебраическая структура не является ассоциативная алгебра над полем K , если это векторное пространство над K и оснащен K - билинейной бинарной операцией умножения A × AA , который может или не может быть ассоциативно. Примеры включают алгебры Ли , йордановы алгебры , октонионы и трехмерное евклидово пространство, снабженное операцией кросс-произведения . Поскольку не предполагается, что умножение является ассоциативным, необходимо использовать круглые скобки для указания порядка умножения. Например, выражения ( ab ) ( cd ), ( a ( bc )) d и a ( b ( cd )) могут давать разные ответы.

Хотя такое использование неассоциативности означает, что ассоциативность не предполагается, это не означает, что ассоциативность запрещена. Другими словами, «неассоциативный» означает «не обязательно ассоциативный», так же как «некоммутативный» означает «не обязательно коммутативный» для некоммутативных колец .

Алгебра унитальная или унитарная , если он имеет единичный элемент е с экс = х = х для всех х в алгебре. Например, октонионы унитальны, а алгебры Ли - нет.

Неассоциативная алгебра структура А может быть изучена, связывая его с другими ассоциативными алгебрами, подалгебры полной алгебры K - эндоморфизмы из А как K -векторного пространства. Двумя таковыми являются алгебра вывода и (ассоциативная) обертывающая алгебра , причем последняя в некотором смысле является «наименьшей ассоциативной алгеброй, содержащей A ».

В более общем плане некоторые авторы рассматривают концепцию неассоциативной алгебры над коммутативным кольцом R : R -модуль, снабженный R -билинейной операцией бинарного умножения. Если структура подчиняется всем аксиомам колец, кроме ассоциативности (например, любая R -алгебра), то она естественно является -алгеброй, поэтому некоторые авторы называют неассоциативные -алгебры неассоциативными кольцами .

Алгебры, удовлетворяющие тождествам

Кольцевые структуры с двумя бинарными операциями и без других ограничений - это широкий класс, слишком общий для изучения. По этой причине наиболее известные виды неассоциативных алгебр удовлетворяют тождествам или свойствам, которые несколько упрощают умножение. К ним относятся следующие.

Обычные свойства

Пусть х , Y и Z обозначают произвольные элементы алгебры А над полем K . Пусть степени положительного (ненулевого) целого числа рекурсивно определяются как x 1x и либо x n +1x n x (правые степени), либо x n +1xx n (левые степени) в зависимости от авторов.

  • Unital : существует элемент e, такой что ex = x = xe ; в этом случае мы можем определить x 0e .
  • Ассоциативный : ( xy ) z = x ( yz ) .
  • Коммутативный : xy = yx .
  • Антикоммутативный : xy = - yx .
  • Тождество Якоби : ( xy ) z + ( yz ) x + ( zx ) y = 0 или x ( yz ) + y ( zx ) + z ( xy ) = 0 в зависимости от авторов.
  • Тождество Джордана : ( x 2 y ) x = x 2 ( yx ) или ( xy ) x 2 = x ( yx 2 ) в зависимости от авторов.
  • Альтернатива : ( xx ) y = x ( xy ) (левая альтернатива) и ( yx ) x = y ( xx ) (правая альтернатива).
  • Гибкий : ( xy ) x = x ( yx ) .
  • п й степени ассоциативно с п ≥ 2 : х п-к й к = х п для всех целых чисел K , так что 0 < к < п .
    • Ассоциативная третья степень: x 2 x = xx 2 .
    • Ассоциативная четвертая степень: x 3 x = x 2 x 2 = xx 3 (сравните с коммутативной четвертой степени ниже).
  • Мощность ассоциативно : подалгебра , порожденная любым элементом ассоциативно, то есть п й степени ассоциативно для всех п ≥ 2 .
  • п й степень коммутативный с п ≥ 2 : х п-к й к = х к й п-к для всех целых чисел K , так что 0 < к < п .
    • Коммутатив третьей степени: x 2 x = xx 2 .
    • Коммутатив четвертой степени: x 3 x = xx 3 (сравните с ассоциативом четвертой степени выше).
  • Мощность коммутативное: подалгебра , порожденная любым элементом коммутативности, т.е. п й степени коммутативное для всех п ^ 2 .
  • Нильпотент индекса n ≥ 2 : произведение любых n элементов в любой ассоциации обращается в нуль, но не для некоторых n −1 элементов: x 1 x 2x n = 0 и существует n −1 элементов, так что y 1 y 2y n −1 ≠ 0 для конкретной ассоциации.
  • Nil индекса n ≥ 2 : степень ассоциативности и x n = 0, и существует элемент y такой, что y n −1 ≠ 0 .

Отношения между свойствами

Для K любой характеристики :

  • Ассоциативность подразумевает альтернативу .
  • Любые два из трех свойств левая альтернатива , правая альтернатива и гибкость подразумевают третье.
    • Таким образом, альтернатива подразумевает гибкость .
  • Альтернатива предполагает идентичность Джордана .
  • Коммутативный подразумевает гибкость .
  • Антикоммутативность подразумевает гибкость .
  • Альтернатива подразумевает ассоциативность власти .
  • Гибкость подразумевает ассоциативность третьей степени .
  • Во- вторых ассоциативная сила и вторая сила коммутативной всегда верны.
  • В- третьих ассоциативная сила и третьей коммутативной мощности эквивалентны.
  • Ассоциативность n- й степени подразумевает коммутативную n- ю степень .
  • Nil индекса 2 означает антикоммутативность .
  • Nil индекса 2 влечет тождество Жордана .
  • Из нильпотентности индекса 3 следует тождество Якоби .
  • Нильпотент индекса n влечет nil индекса N с 2 ≤ Nn .
  • Unital и nil индекса n несовместимы.

Если KGF (2) или dim ( A ) ≤ 3 :

  • Тождество Иордана и коммутативность вместе подразумевают ассоциативность по степени .

Если char ( K ) ≠ 2 :

  • Правая альтернатива подразумевает ассоциативность власти .
    • Точно так же левая альтернатива подразумевает ассоциативность власти .
  • Идентичность Unital и Jordan вместе подразумевает гибкость .
  • Иорданская идентичность и гибкость вместе подразумевают ассоциативность власти .
  • Коммутативность и антикоммутативность вместе означают нильпотентность индекса 2 .
  • Антикоммутативность подразумевает ноль индекса 2 .
  • Унитал и антикоммутатив несовместимы.

Если char ( K ) ≠ 3 :

  • Унитал и тождество Якоби несовместимы.

Если char ( K ) ∉ {2,3,5 }:

  • Коммутативный и x 4 = x 2 x 2 (одно из двух тождеств, определяющих ассоциативность четвертой степени ) вместе подразумевают ассоциативность степени .

Если char ( K ) = 0 :

  • Ассоциативность третьей степени и x 4 = x 2 x 2 (одно из двух тождеств, определяющих ассоциативность четвертой степени ) вместе подразумевают ассоциативность степени .

Если char ( K ) = 2 :

  • Коммутативный и антикоммутативный эквивалентны.

Ассоциатор

Ассоциатор на A является K - полилинейная карта дается

[ x , y , z ] = ( xy ) z - x ( yz ) .

Он измеряет степень неассоциативности из , и может быть использован , чтобы удобно выразить некоторые возможные тождества удовлетворяют А .

Пусть x , y и z обозначают произвольные элементы алгебры.

  • Ассоциативный: [ x , y , z ] = 0 .
  • Альтернатива: [ x , x , y ] = 0 (левая альтернатива) и [ y , x , x ] = 0 (правая альтернатива).
    • Это означает, что перестановка любых двух членов меняет знак: [ x , y , z ] = - [ x , z , y ] = - [ z , y , x ] = - [ y , x , z ] ; Обратное верно, только если char ( K ) ≠ 2 .
  • Гибкость: [ x , y , x ] = 0 .
    • Это означает, что перестановка экстремальных членов меняет знак: [ x , y , z ] = - [ z , y , x ] ; Обратное верно, только если char ( K ) ≠ 2 .
  • Тождество Джордана: [ x 2 , y , x ] = 0 или [ x , y , x 2 ] = 0 в зависимости от авторов.
  • Ассоциативность третьей степени: [ x , x , x ] = 0 .

Ядро представляет собой совокупность элементов , которые ассоциируются с всеми остальными: то есть, п в таким образом, что

[ n , A , A ] = [ A , n , A ] = [ A , A , n ] = {0} .

Ядро представляет собой ассоциативное подкольцо А .

Центр

Центр из A есть множество элементов , которые коммутируют и общаться со всем в А , то есть пересечение

с ядром. Оказывается, для элементов C (A) достаточно двух наборов , чтобы третий также был нулевым набором.

Примеры

  • Евклидово пространство R 3 с умножением, заданным векторным перекрестным произведением, является примером алгебры, которая является антикоммутативной, а не ассоциативной. Перекрестное произведение также удовлетворяет тождеству Якоби.
  • Алгебры Ли - это алгебры, удовлетворяющие антикоммутативности и тождеству Якоби.
  • Алгебры векторных полей на дифференцируемом многообразии (если K есть R или комплексные числа C ) или алгебраическом многообразии (для общего K );
  • Йордановы алгебры - это алгебры, удовлетворяющие коммутативному закону и тождеству Йордана.
  • Каждая ассоциативная алгебра порождает алгебру Ли, используя коммутатор как скобку Ли. Фактически любая алгебра Ли может быть построена таким образом или является подалгеброй алгебры Ли, построенной таким образом.
  • Каждая ассоциативная алгебра над полем характеристики, отличной от 2, порождает йорданову алгебру путем определения нового умножения x * y = ( xy + yx ) / 2. В отличие от случая алгебры Ли, не всякая йорданова алгебра может быть построена таким образом. Те, что могут, называются специальными .
  • Альтернативные алгебры - это алгебры, удовлетворяющие альтернативному свойству. Наиболее важными примерами альтернативных алгебр являются октонионы (алгебра над вещественными числами) и обобщения октонионов над другими полями. Все ассоциативные алгебры альтернативны. Вплоть до изоморфизма единственной конечномерной реальной альтернативой алгебр с делением (см. Ниже) являются действительные числа, комплексы, кватернионы и октонионы.
  • Силовые ассоциативные алгебры - это те алгебры, которые удовлетворяют степенно-ассоциативному тождеству. Примеры включают все ассоциативные алгебры, все альтернативные алгебры, йордановы алгебры над полем, отличным от GF (2) (см. Предыдущий раздел), и sedenions .
  • Гиперболические кватернионы алгебра над R , которая была экспериментальная алгеброй до принятия пространства Минковского для специальной теории относительности .

Еще классы алгебр:

Характеристики

Есть несколько свойств, которые могут быть известны из теории колец или из ассоциативных алгебр, которые не всегда верны для неассоциативных алгебр. В отличие от ассоциативного случая, элементы с (двусторонним) мультипликативным обратным аргументом также могут быть делителем нуля . Например, все ненулевые элементы sedenions имеют двусторонний обратный, но некоторые из них также являются делителями нуля.

Свободная неассоциативная алгебра

Бесплатно неассоциативная алгебра на множество X над полем K определяются как алгебра с базисом , состоящим из всех неассоциативных одночленов, конечные формальные произведения элементов из X подпорных скобок. Произведение одночленов u , v равно ( u ) ( v ). Алгебра унитальна, если в качестве монома взять пустое произведение.

Курош доказал, что каждая подалгебра свободной неассоциативной алгебры свободна.

Ассоциированные алгебры

Алгебра над полем K в частности K -векторных пространства и поэтому можно рассматривать ассоциативную алгебру End K ( ) из K -линейного векторного пространства эндоморфизма А . Мы можем связать со структурой алгебры на A две подалгебры End K ( A ), алгебру вывода и (ассоциативную) обертывающую алгебру .

Алгебра вывода

Вывод на А есть отображение D со свойством

Дифференцирования на A образуют подпространство Der K ( A ) в End K ( A ). Коммутатор двух отведений снова является дифференцирование, так что скобка Ли дает Der K ( A ) структуру алгебры Ли .

Обертывающая алгебра

К каждому элементу a алгебры A прикреплены линейные карты L и R :

Ассоциативная обертывающие или алгебра умножений в А есть ассоциативная алгебра , порожденная левый и правые линейные карт. Медиан из А является центратором объемлющих алгебр в эндоморфизму алгебры End K ( A ). Алгебра является центральной, если ее центроид состоит из K -скалярных кратных единицы.

Некоторые из возможных тождеств, которым удовлетворяют неассоциативные алгебры, могут быть удобно выражены в терминах линейных отображений:

  • Коммутативный: каждый L ( a ) равен соответствующему R ( a );
  • Ассоциативный: любой L коммутирует с любым R ;
  • Гибкий: каждый L ( a ) коммутирует с соответствующим R ( a );
  • Иордания: каждый L ( a ) коммутирует с R ( a 2 );
  • Альтернатива: каждое L ( a ) 2 = L ( a 2 ) и аналогично для правой.

Квадратичная представление Q определяется по формуле:

или эквивалентно

В статье об универсальных обертывающих алгебрах описывается каноническая конструкция обертывающих алгебр, а также теоремы типа PBW для них. Для алгебр Ли такие обертывающие алгебры обладают универсальным свойством, которое, вообще говоря, не выполняется для неассоциативных алгебр. Самым известным примером, возможно, является алгебра Альберта , исключительная йорданова алгебра , не охватываемая канонической конструкцией обертывающей алгебры для йордановых алгебр.

Смотрите также

Цитаты

Заметки

Рекомендации