Список плоских групп симметрии - List of planar symmetry groups

В данной статье приведены классы дискретных групп симметрии в евклидовой плоскости . Группы симметрий названы здесь схемы три именования: Международные нотации , орбифолдная нотация и Кокстер нотация . Есть три вида групп симметрии плоскости:

• 2 семейства розеточных групп - 2D точечные группы
• 7 групп фризов - группы линий 2D
• 17 групп обоев - 2D пространственные группы .

Розетки группы

Есть два семейства дискретных двумерных точечных групп, и они задаются параметром n , который является порядком группы поворотов в группе.

Семья	Intl ( орбифолд )	Schön.	Гео Коксетер	порядок	Примеры
Циклическая симметрия	п (п •)	C n	п [п] +	п	С 1 , [] + (•)	С 2 , [2] + (2 •)	С 3 , [3] + (3 •)	С 4 , [4] + (4 •)	С 5 , [5] + (5 •)	С 6 , [6] + (6 •)
Двугранная симметрия	п м (* п •)	D n	п [п]	2 п	D 1 , [] (* •)	D 2 , [2] (* 2 •)	D 3 , [3] (* 3 •)	D 4 , [4] (* 4 •)	D 5 , [5] (* 5 •)	D 6 , [6] (* 6 •)

Фриз-группы

7 групп фризов , двумерные группы линий с направлением периодичности, даны с пятью обозначениями. Обозначения Шенфлиса даются в виде бесконечных пределов 7 двугранных групп. Желтые области представляют собой бесконечную фундаментальную область в каждой.

[1, ∞], IUC ( орбифолд ) Гео Schönflies Coxeter Фундаментальный домен Пример p1m1 (* ∞ •) p1 C ∞v [1, ∞] бочок p1 (∞ •) п 1 C ∞ [1, ∞] + прыгать [2, ∞ + ], IUC (орбифолд) Гео Schönflies Coxeter Фундаментальный домен Пример p11m (∞ *) п. 1 C ∞h [2, ∞ + ] Прыжок p11g (∞ ×) п. г 1 S 2∞ [2 + , ∞ + ] шаг

[2, ∞], IUC (орбифолд) Гео Schönflies Coxeter Фундаментальный домен Пример p2мм (* 22∞) p2 D ∞h [2, ∞] вращающийся прыжок p2mg (2 * ∞) p2 г D ∞d [2 + , ∞] вращающийся бочонок p2 (22∞) п 2 D ∞ [2, ∞] + прядильный хмель

Группы обоев

17 обоев группы , с конечными фундаментальными областями, даются Международным нотацией , орбиобразие обозначений и Кокстер обозначений , классифицируются по 5 решеткам Бравы в плоскости: квадрат , косой (параллелограмм), гексагональный (равносторонний треугольник), прямоугольным ( с центром ромбического ) и ромбической (центрированный прямоугольник).

В p1 и p2 группы, без reflectional симметрии, повторяются во всех классах. Связанная чисто отражательная группа Кокстера дана со всеми классами, кроме косого.

Квадрат [4,4], IUC ( Орб. ) Гео Coxeter Доменное имя Конвей p1 (°) p 1 Монотропный p2 (2222) p 2 [4,1 + , 4] + [1 + , 4,4,1 + ] + Дитропный пгг (22 ×) п г 2 г [ 4+ , 4+ ] Diglide pmm (* 2222) p2 [4,1 + , 4] [1 + , 4,4,1 + ] Discopic см (2 * 22) c2 [(4,4,2 + )] Диромбический п4 (442) стр 4 [4,4] + Тетратропный p4g (4 * 2) p g 4 [ 4+ , 4] Тетрагиро p4m (* 442) p4 [4,4] Тетраскопический

Прямоугольный [∞ h , 2, ∞ v ], IUC (Орб.) Гео Coxeter Доменное имя Конвей p1 (°) p 1 [∞ + , 2, ∞ + ] Монотропный p2 (2222) p 2 [∞, 2, ∞] + Дитропный pg (h) (× ··· ×) p g 1 h: [∞ + , (2, ∞) + ] Моноглайд pg (v) (× ··· ×) p g 1 v: [(∞, 2) + , ∞ + ] Моноглайд pgm (22 *) p g 2 h: [(∞, 2) + , ∞] Digyro pmg (22 *) п г 2 v: [∞, (2, ∞) + ] Digyro pm (ч) (**) p1 h: [∞ + , 2, ∞] Моноскопический pm (v) (**) p1 v: [∞, 2, ∞ + ] Моноскопический pmm (* 2222) p2 [∞, 2, ∞] Discopic

Ромбический [∞ h , 2 + , ∞ v ], IUC (Орб.) Гео Coxeter Доменное имя Конвей p1 (°) p 1 [∞ + , 2 + , ∞ + ] Монотропный p2 (2222) p 2 [∞, 2 + , ∞] + Дитропный см (в) (* ×) c1 h: [∞ + , 2 + , ∞] Моноромбический см (v) (* ×) c1 v: [∞, 2 + , ∞ + ] Моноромбический пгг (22 ×) п г 2 г [((∞, 2) + ) [2] ] Diglide см (2 * 22) c2 [∞, 2 + , ∞] Диромбический Параллелограмматический ( наклонный ) p1 (°) p 1 Монотропный p2 (2222) p 2 Дитропный

Шестиугольный / Треугольный [6,3],/ [3 [3] ], IUC (Орб.) Гео Coxeter Доменное имя Конвей p1 (°) p 1 Монотропный p2 (2222) p 2 [6,3] Δ Дитропный см (2 * 22) c2 [6,3] ⅄ Диромбический п3 (333) п 3 [1 + , 6,3 + ] [3 [3] ] + Тритропный p3m1 (* 333) p3 [1 + , 6,3] [3 [3] ] Трископический п31м (3 * 3) х3 [6,3 + ] Тригиро P6 (632) р 6 [6,3] + Гексатропный p6m (* 632) p6 [6,3] Гексаскопический

Обои отношения подгруппы

Отношения между подгруппами в группе из 17 обоев

		о	2222	××	**	* ×	22 ×	22 *	* 2222	2 * 22	442	4 * 2	* 442	333	* 333	3 * 3	632	* 632
		p1	p2	pg	вечера	см	pgg	pmg	пмм	см	p4	p4g	p4m	p3	p3m1	p31m	p6	p6m
о	p1	2
2222	p2	2	2	2
××	pg	2		2
**	вечера	2		2	2	2
* ×	см	2		2	2	3
22 ×	pgg	4	2	2			3
22 *	pmg	4	2	2	2	4	2	3
* 2222	пмм	4	2	4	2	4	4	2	2	2
2 * 22	см	4	2	4	4	2	2	2	2	4
442	p4	4	2								2
4 * 2	p4g	8	4	4	8	4	2	4	4	2	2	9
* 442	p4m	8	4	8	4	4	4	4	2	2	2	2	2
333	p3	3												3
* 333	p3m1	6		6	6	3								2	4	3
3 * 3	p31m	6		6	6	3								2	3	4
632	p6	6	3											2			4
* 632	p6m	12	6	12	12	6	6	6	6	3				4	2	2	2	3

Смотрите также

• Список групп сферической симметрии
• Обозначение орбифолда # Гиперболическая плоскость - гиперболические группы симметрии

Примечания

использованная литература

• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN  978-1-56881-220-5 (Орбифолдная нотация для многогранников, евклидовых и гиперболических мозаик)
• На Quaternions и Octonions , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN  978-1-56881-134-5
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [2]
  • (Документ 22) HSM Кокстер, Регулярные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Кокстер, HSM и Мозер, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Н. В. Джонсон : геометрии и преобразования , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 12: Евклидовы группы симметрии

внешние ссылки

• «Рукопись Конвея» в нотации Орбифолда (Нотация изменена с этого оригинала, x теперь используется вместо открытой точки, а o используется вместо закрытой точки)
• 17 групп обоев