Октаэдрическая симметрия - Octahedral symmetry

Группы точек в трех измерениях

Инволюционная симметрия C s , (*) [] =	Циклическая симметрия C nv , (* nn) [n] =	Диэдральная симметрия D nh , (* n22) [n, 2] =
Группа полиэдров , [n, 3], (* n32)
Тетраэдрическая симметрия T d , (* 332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия O h , (* 432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I h , (* 532) [5,3] =

График цикла
Четыре шестиугольных цикла имеют общую инверсию (черный узел наверху). Шестиугольники симметричны, поэтому, например, 3 и 4 находятся в одном цикле.

Правильный октаэдр имеет 24 симметрии вращения (или сохраняющие ориентацию) и всего 48 симметрий. К ним относятся преобразования, сочетающие отражение и вращение. Куб имеет тот же набор симметрий, так как многогранник , который является двойным к октаэдру.

Группа сохраняющих ориентацию симметрий - это S ₄ , симметрическая группа или группа перестановок четырех объектов, поскольку существует ровно одна такая симметрия для каждой перестановки четырех диагоналей куба.

Подробности

Киральная и полная (или ахиральная ) октаэдрическая симметрия - это дискретные точечные симметрии (или, что эквивалентно, симметрии на сфере ) с наибольшими группами симметрии, совместимыми с трансляционной симметрией . Они являются одними из кристаллографических точечных групп в кубической кристаллической системе .

Примеры
${\ displaystyle (0,0) = 0}$	${\ Displaystyle (3,0) = 7}$	${\ displaystyle (0,3) = 3}$	${\ Displaystyle (7,1) = 1 '}$	${\ displaystyle (4,5) = 9 '}$
${\ displaystyle (7,0) = 0 '}$	${\ displaystyle (4,0) = 7 '}$	${\ displaystyle (7,3) = 3 '}$	${\ Displaystyle (0,1) = 1}$	${\ Displaystyle (3,5) = 9}$
Полный список можно найти в статье Викиверситета .

Поскольку группа гипероктаэдра размерности 3, полная группа октаэдра является сплетением , и естественный способ идентифицировать ее элементы - это пары с и . Но поскольку это также прямое произведение , можно просто идентифицировать элементы тетраэдрической подгруппы T _d как и их инверсии как . ${\ Displaystyle S_ {2} \ wr S_ {3} \ simeq S_ {2} ^ {3} \ rtimes S_ {3}}$
${\ Displaystyle (м, п)}$${\ displaystyle m \ in [0,2 ^ {3})}$${\ Displaystyle п \ в [0,3!)}$
${\ displaystyle S_ {4} \ times S_ {2}}$${\ displaystyle a \ in [0,4!)}$${\ displaystyle a '}$

Так, например, идентичность представлена ​​как, а инверсия - как . представлен как и как . ${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (7,0)}$${\ displaystyle 0 '}$
${\ Displaystyle (3,1)}$${\ displaystyle 6}$${\ Displaystyle (4,1)}$${\ displaystyle 6 '}$

Rotoreflection представляет собой сочетание вращения и отражения.

Иллюстрация вращающихся отражений
Отражение ${\ displaystyle 7 '}$ применяется при повороте на 120 ° ${\ displaystyle 4}$ дает вращательное отражение 60 ° .${\ displaystyle 8 '}$ ${\ displaystyle 7 '\ circ 4 = 8'}$
Отражение ${\ displaystyle 7 '}$ применяется при повороте на 90 ° ${\ displaystyle 22 '}$ дает вращательное отражение 90 ° .${\ displaystyle 17}$ ${\ displaystyle 7 '\ circ 22' = 17}$

Хиральная октаэдрическая симметрия

Оси вращения
C 4	C 3	C 2
3	4	6

O , 432 или [4,3] ⁺ порядка 24, является хиральной октаэдрической симметрией или вращательной октаэдрической симметрией . Эта группа похожа на хиральную тетраэдрическую симметрию T , но оси C ₂ теперь являются осями C ₄ , и, кроме того, имеется 6 осей C ₂ , проходящих через средние точки ребер куба. T _d и O изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S ₄ , симметрической группе на 4 объектах. T _d - это объединение T и множества, полученного объединением каждого элемента O \ T с инверсией. O - группа вращения куба и правильного октаэдра .

Хиральная октаэдрическая симметрия

Ортогональная проекция	Стереографическая проекция
2-кратный	4-кратный	3-кратный	2-кратный

Полная октаэдрическая симметрия

O _h , * 432 , [4,3] или m3m порядка 48 - ахиральная октаэдрическая симметрия или полная октаэдрическая симметрия . Эта группа имеет те же оси вращения, что и O , но с зеркальными плоскостями, содержащими обе зеркальные плоскости T _d и T _h . Эта группа изоморфна S ₄ . C ₂ , и является полной группой симметрии куба и октаэдра . Это группа гипероктаэдра при n = 3. См. Также изометрии куба .

Соединение куба и октаэдра

Каждая грань додекаэдра дисьякиса представляет собой фундаментальную область.

Группа октаэдра O _h с фундаментальной областью

С осями 4-го порядка в качестве координатных осей фундаментальная область O _h задается как 0 ≤ x ≤ y ≤ z . Объект с этой симметрией характеризуется частью объекта в фундаментальной области, например, куб задается как z = 1, а октаэдр - как x + y + z = 1 (или соответствующие неравенства, чтобы получить твердое тело). вместо поверхности). ax + by + cz = 1 дает многогранник с 48 гранями, например додекаэдр дисьякиса.

Грани 8 на 8 объединяются в большие грани для a = b = 0 (куб) и 6 на 6 для a = b = c (октаэдр).

9 зеркальных линий полной октаэдрической симметрии можно разделить на две подгруппы 3 и 6 (нарисованные фиолетовым и красным), представляющие две ортогональные подсимметрии: D _2h и T _d . Симметрия D _2h может быть увеличена вдвое до D _4h путем восстановления двух зеркал из одной из трех ориентаций.

Октаэдрическая симметрия и отражающие подгруппы
Ортографическая проекция Стереографическая проекция 4-кратный 3-кратный 2-кратный О ч , [4,3],, полная октаэдрическая симметрия (3 + 6 зеркал) T d , [3,3] = [1 + , 4,3], знак равно , тетраэдрическая подгруппа (6 зеркал) C 3v , [3],, двугранная подгруппа (3 зеркала)	Ортографическая проекция Стереографическая проекция 4-кратный 3-кратный 2-кратный D 4h , [4,2], диэдральная подгруппа (1 + 2 + 2 зеркала) D 2h , [2,2] = [4,3 *], = диэдральная подгруппа (1 + 1 + 1 зеркала) C 4v , [4],, двугранная подгруппа (2 + 2 зеркала)

Матрицы вращения

Возьмите набор всех матриц перестановок 3x3 и присвойте знак + или знак - каждой из трех единиц. Всего имеется 6 перестановок x 8 комбинаций знаков = 48 матриц, дающих полную группу октаэдра. Имеется ровно 24 матрицы с определителем = +1, и это матрицы вращения киральной октаэдрической группы. Остальные 24 матрицы соответствуют отражению или инверсии.

Для октаэдрической симметрии необходимы три отражающих матрицы генератора, которые представляют три зеркала диаграммы Кокстера-Дынкина . Продукт отражений производят 3 генератора вращения.

[4,3],

	Размышления			Вращения			Rotoreflection
Генераторы	R 0	R 1	R 2	R 0 R 1	R 1 R 2	R 0 R 2	R 0 R 1 R 2
Группа
порядок	2	2	2	4	3	2	6
Матрица	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 0 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$

Подгруппы полной октаэдрической симметрии

О Т д Т ч Циклические графы подгрупп порядка 24

Подгруппы, упорядоченные на диаграмме Хассе

Вращательные подгруппы Светоотражающие подгруппы Подгруппы, содержащие инверсию

Schoe.	Coxeter		Сфера.	HM	Состав	Цикл.	порядок	Показатель
О ч	[4,3]		* 432	м 3 м	S 4 × S 2		48	1
Т д	[3,3]		* 332	4 3 мес.	S 4		24	2
Д 4ч	[2,4]		* 224	4 / ммм	Д 2 × Д 8		16	3
D 2ч	[2,2]		* 222	М-м-м	D 2 3 = D 2 × D 4		8	6
C 4v	[4]		* 44	4мм	D 8		8	6
C 3v	[3]		* 33	3м	D 6 = S 3		6	8
C 2v	[2]		* 22	мм2	D 2 2 = D 4		4	12
C s = C 1v	[]		*	2 или м	D 2		2	24
Т ч	[ 3+ , 4]		3 * 2	м 3	А 4 × S 2		24	2
C 4ч	[ 4+ , 2]		4 *	4 / м	Z 4 × D 2		8	6
D 3d	[ 2+ , 6]		2 * 3	3 мес.	D 12 = Z 2 × D 6		12	4
D 2d	[ 2+ , 4]		2 * 2	4 2 мес.	D 8		8	6
C 2h = D 1d	[ 2+ , 2]		2 *	2 / м	Z 2 × D 2		4	12
S 6	[2 + , 6 + ]		3 ×	3	Z 6 = Z 2 × Z 3		6	8
S 4	[ 2+ , 4+ ]		2 ×	4	Z 4		4	12
S 2	[2 + , 2 + ]		×	1	S 2		2	24
О	[4,3] +		432	432	S 4		24	2
Т	[3,3] +		332	23	А 4		12	4
D 4	[2,4] +		224	422	D 8		8	6
D 3	[2,3] +		223	322	D 6 = S 3		6	8
D 2	[2,2] +		222	222	D 4 = Z 2 2		4	12
C 4	[4] +		44	4	Z 4		4	12
C 3	[3] +		33	3	Z 3 = A 3		3	16
C 2	[2] +		22	2	Z 2		2	24
C 1	[] +		11	1	Z 1		1	48

Октаэдрические подгруппы в обозначениях Кокстера

Изометрии куба

48 элементов симметрии куба

Куб имеет 48 изометрий (элементов симметрии), образующих группу симметрии O _h , изоморфную S ₄  × Z ₂ . Их можно разделить на следующие категории:

• O (тождество и 23 собственных поворота) со следующими классами сопряженности (в скобках указаны перестановки диагоналей тела и представление единичного кватерниона ):
  • личность (личность; 1)
  • вращение вокруг оси от центра грани к центру противоположной грани на угол 90 °: 3 оси, по 2 на каждую ось, вместе 6 ((1 2 3 4) и т.д .; ((1 ±  i  ) / √ 2 и т. Д.)
  • то же самое на угол 180 °: 3 оси, по 1 на ось, вместе 3 ((1 2) (3 4) и т.д .; i , j , k )
  • вращение вокруг оси от центра кромки к центру противоположной кромки на угол 180 °: 6 осей, по 1 на каждую ось, вместе 6 ((1 2) и т.д .; (( i  ±  j  ) / √ 2 и т. Д.)
  • вращение вокруг диагонали тела на угол 120 °: 4 оси, по 2 на каждую ось, вместе 8 ((1 2 3) и т.д .; (1 ±  i  ±  j  ±  k ) / 2)
• То же самое с инверсией ( x отображается в - x ) (также 24 изометрии). Обратите внимание, что поворот на угол 180 ° вокруг оси в сочетании с инверсией - это просто отражение в перпендикулярной плоскости. Комбинация инверсии и вращения вокруг диагонали тела на угол 120 ° представляет собой вращение вокруг диагонали тела на угол 60 ° в сочетании с отражением в перпендикулярной плоскости (само вращение не отображает куб сам на себя; пересечение плоскости отражения с кубом представляет собой правильный шестиугольник ).

Изометрию куба можно определить по-разному:

• гранями три заданные смежные грани (скажем, 1, 2 и 3 на кубике) отображаются в
• по изображению куба с несимметричной маркировкой на одной грани: грань с маркировкой, нормальная или зеркальная, и ориентация
• путем перестановки четырех диагоналей тела (возможна каждая из 24 перестановок), в сочетании с переключателем для инверсии куба, или нет

Для кубиков с цветом или маркировкой (например, у кубиков ) группа симметрии является подгруппой O _h .

Примеры:

• C _{4 v} , [4], (* 422): если одна грань имеет другой цвет (или две противоположные грани имеют цвета, отличные друг от друга и от других четырех), куб имеет 8 изометрий, как квадрат в 2D. .
• D _{2 h} , [2,2], (* 222): если противоположные грани имеют одинаковые цвета, разные для каждого набора из двух, куб имеет 8 изометрий, как кубоид .
• D _{4 h} , [4,2], (* 422): если две противоположные грани одного цвета, а все остальные грани одного другого цвета, куб имеет 16 изометрий, как квадратная призма (квадратная коробка).
• C _{2 v} , [2], (* 22):
  • если две смежные грани одного цвета, а все остальные грани одного другого цвета, куб имеет 4 изометрии.
  • если три грани, две из которых противоположны друг другу, имеют один цвет, а три других - другого цвета, куб имеет 4 изометрии.
  • если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а две другие противоположные грани тоже, а последние две имеют разные цвета, куб имеет 4 изометрии, как лист чистой бумаги с формой с зеркальной симметрией.
• C _s , [], (*):
  • если две соседние грани имеют цвета, отличные друг от друга, а четыре других имеют третий цвет, куб имеет 2 изометрии.
  • если две противоположные грани имеют один и тот же цвет, а все остальные грани имеют разные цвета, куб имеет 2 изометрии, как асимметричный лист чистой бумаги.
• C _{3 v} , [3], (* 33): если три грани, ни одна из которых не противоположна друг другу, имеют один цвет, а три другие - другого цвета, куб имеет 6 изометрий.

Для некоторых больших подгрупп куб с этой группой в качестве группы симметрии невозможно, просто раскрасьте целые грани. На лицах нужно нарисовать какой-то узор.

Примеры:

• D _{2 d} , [2 ⁺ , 4], (2 * 2): если на одной грани есть отрезок прямой, разделяющий грань на два равных прямоугольника, а на противоположной - такой же в перпендикулярном направлении, куб имеет 8 изометрий; существует плоскость симметрии и 2-кратная ось симметрии вращения с осью под углом 45 ° к этой плоскости, и, как следствие, есть еще одна плоскость симметрии, перпендикулярная первой, и еще одна ось 2-кратной вращательной симметрии перпендикулярно первому.
• T _h , [3 ⁺ , 4], (3 * 2): если каждая грань имеет линейный сегмент, разделяющий грань на два равных прямоугольника, так что отрезки смежных граней не пересекаются на краю, куб имеет 24 изометрии: четные перестановки диагоналей тела и то же самое в сочетании с инверсией ( x отображается в - x ).
• T _d , [3,3], (* 332): если куб состоит из восьми меньших кубов, четырех белых и четырех черных, соединенных поочередно во всех трех стандартных направлениях, куб снова имеет 24 изометрии: на этот раз четные перестановки диагоналей тела и инверсии других собственных вращений.
• T , [3,3] ⁺ , (332): если каждая грань имеет одинаковый узор с 2-кратной симметрией вращения, скажем, буквой S, так что на всех краях вершина одной S пересекает сторону другой S, куб имеет 12 изометрий: четные перестановки диагоналей тела.

Полная симметрия куба, O _h , [4,3], (* 432), сохраняется тогда и только тогда, когда все грани имеют одинаковый узор, так что сохраняется полная симметрия квадрата , а для квадрата симметрия группа, Dih ₄ , [4], порядка 8.

Полная симметрия куба относительно собственных вращений, O , [4,3] ⁺ , (432), сохраняется тогда и только тогда, когда все грани имеют одинаковый образец с 4-кратной симметрией вращения , Z ₄ , [4] ⁺ .

Октаэдрическая симметрия поверхности Больца

В теории римановой поверхности поверхность Больца , иногда называемая кривой Больца, получается как разветвленное двойное покрытие сферы Римана с геометрическим местом ветвления в множестве вершин правильного вписанного октаэдра. Его группа автоморфизмов включает гиперэллиптическую инволюцию, переворачивающую два листа покрытия. Фактор по подгруппе порядка 2, порожденной гиперэллиптической инволюцией, дает в точности группу симметрий октаэдра. Среди многих замечательных свойств поверхности Больца - тот факт, что она максимизирует систолу среди всех гиперболических поверхностей рода 2.

Твердые тела с октаэдрической киральной симметрией

Класс	Имя	Рисунок	Лица	Края	Вершины	Двойное имя	Рисунок
Архимедово твердое тело ( каталонское твердое тело )	курносый куб		38	60	24	пятиугольный икоситетраэдр

Твердые тела с полной октаэдрической симметрией

Класс	Имя	Рисунок	Лица	Края	Вершины	Двойное имя	Рисунок
Платоново твердое тело	Куб		6	12	8	Октаэдр
Архимедово твердое тело (двойное каталонское твердое тело )	Кубооктаэдр		14	24	12	Ромбический додекаэдр
	Усеченный куб		14	36	24	Октаэдр Триаки
	Усеченный октаэдр		14	36	24	Шестигранник Тетракис
	Ромбокубооктаэдр		26 год	48	24	Дельтоидальный икоситетраэдр
	Усеченный кубооктаэдр		26 год	72	48	Додекаэдр Дисдякиса
Правильный составной многогранник	Стелла октангула		8	12	8	Самодвойственный
	Куб и октаэдр		14	24	14	Самодвойственный

Смотрите также

• Тетраэдрическая симметрия
• Икосаэдрическая симметрия
• Бинарная октаэдрическая группа
• Гипероктаэдрическая группа
• Учебные материалы, относящиеся к группе полного октаэдра в Викиверситете

использованная литература

• Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), стр. 295
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN  978-1-56881-220-5
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
• Н. В. Джонсон : геометрии и преобразования , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Октаэдрическая группа» . MathWorld .
• Groupprops: прямое произведение S4 и Z2