Обозначение многогранника Конвея - Conway polyhedron notation

Этот пример диаграммы показывает, как 11 новых форм могут быть получены из куба с помощью 3 операций. Новые многогранники показаны в виде карт на поверхности куба, поэтому топологические изменения более очевидны. Во всех формах вершины отмечены кружками.

В геометрии обозначение многогранника Конвея , изобретенное Джоном Хортоном Конвеем и продвинутое Джорджем У. Хартом , используется для описания многогранников на основе исходного многогранника, модифицированного различными префиксными операциями .

Конвей и Харт расширили идею использования операторов, таких как усечение, как определено Кеплером , для построения связанных многогранников с одинаковой симметрией. Например, tC представляет усеченный куб , а taC , проанализированный как , является ( топологически ) усеченным кубооктаэдром . Простейший оператор выполняет двойную замену местами вершин и граней; например, двойной куб октаэдр: дС = O . Примененные последовательно, эти операторы позволяют генерировать много многогранников более высокого порядка. Конвей определил операторы abdegjkmost , а Харт добавил r и p . В более поздних реализациях были названы дополнительные операторы, иногда называемые «расширенными» операторами. Базовых операций Конвея достаточно для создания архимедовых и каталонских тел из платоновых тел. Некоторые базовые операции могут быть совмещены с другими: например, двойное применение амвона - это операция расширения: aa = e , а усечение после амвона дает скос : ta = b . ${\ displaystyle t (aC)}$

Многогранники можно изучать топологически, с точки зрения того, как их вершины, ребра и грани соединяются вместе, или геометрически, с точки зрения размещения этих элементов в пространстве. Различные реализации этих операторов могут создавать геометрически разные, но топологически эквивалентные многогранники. Эти топологически эквивалентны многогранники можно рассматривать как один из многих вложений одного многогранного графа на сфере. Если не указано иное, в этой статье (и в литературе по операторам Конвея в целом) первоочередное внимание уделяется топологии. Многогранники с родом 0 (т. Е. Топологически эквивалентны сфере) часто принимают каноническую форму, чтобы избежать неоднозначности.

Операторы

В обозначениях Конвея операции с многогранниками применяются как функции, справа налево. Например, кубооктаэдр является амвон куб , то есть , и усеченный кубооктаэдр это . Повторное применение оператора можно обозначить показателем степени: j ² = o . В общем случае операторы Конвея не коммутативны . ${\ Displaystyle а (С) = аС}$ ${\ Displaystyle т (а (С)) = т (аС) = таС}$

Отдельные операторы могут быть визуализированы в терминах фундаментальных областей (или камер), как показано ниже. Каждый прямоугольный треугольник - это фундаментальная область . Каждая белая камера представляет собой повернутую версию других, как и каждая цветная камера. Для ахиральных операторов цветные камеры являются отражением белых камер, и все они транзитивны. С точки зрения групп, ахиральные операторы соответствуют группам диэдра $D n,$ где n - количество сторон грани, а киральные операторы соответствуют циклическим группам $C n,$ лишенным отражательной симметрии групп диэдра. Ахиральные и киральные операторы также называются локальными операциями, сохраняющими симметрию (LSP) и локальными операциями, сохраняющими симметрии, сохраняющими ориентацию (LOPSP), соответственно. LSP следует понимать как локальные операции, сохраняющие симметрию, а не как операции, сохраняющие локальную симметрию. Опять же, это симметрии в топологическом, а не геометрическом смысле: точные углы и длины ребер могут отличаться.

Фундаментальные области граней со сторонами ${\ displaystyle n}$
3 (треугольник)	4 (квадрат)	5 (Пентагон)	6 (шестиугольник)

Фундаментальные области для групп полиэдров. Группы предназначены для ахиральных многогранников и для киральных многогранников. ${\ displaystyle D_ {3}, D_ {4}, D_ {5}, D_ {6}}$ ${\ displaystyle C_ {3}, C_ {4}, C_ {5}, C_ {6}}$

Харт ввел оператор отражения r , который дает зеркальное отображение многогранника. Строго говоря, это не LOPSP, поскольку он не сохраняет ориентацию: он меняет ее местами, меняя местами белые и красные камеры. r не влияет на ахиральные многогранники, кроме ориентации, а rr = S возвращает исходный многогранник. Верхнюю черту можно использовать для обозначения другой хиральной формы оператора: s = rsr .

Операция неприводима, если она не может быть выражена как композиция операторов, кроме d и r . Большинство исходных операторов Конвея неприводимы: за исключением e , b , o и m .

Матричное представление

Икс	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & 0 \\ a '& b' & c '\ end {bmatrix}} = \ mathbf {M} _ {x}}$
xd	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} c & b & a \\ 0 & d & 0 \\ c '& b' & a '\ end {bmatrix}} = \ mathbf {M} _ {x} \ mathbf {M} _ {d}}$
dx	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a '& b' & c '\\ 0 & d & 0 \\ a & b & c \ end {bmatrix}} = \ mathbf {M} _ {d} \ mathbf {M} _ {x}}$
dxd	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} c '& b' & a '\\ 0 & d & 0 \\ c & b & a \ end {bmatrix}} = \ mathbf {M} _ {d} \ mathbf {M} _ {x} \ mathbf {M } _ {d}}$

Связь между количеством вершин, ребер и граней семени и многогранника, созданного операциями, перечисленными в этой статье, может быть выражена в виде матрицы . Когда x - оператор, - это вершины, ребра и грани начального числа (соответственно), а также вершины, ребра и грани результата, тогда ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {x}}$ ${\ displaystyle v, e, f}$ ${\ displaystyle v ', e', f '}$

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {x} {\ begin {bmatrix} v \\ e \\ f \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} v '\\ e' \\ f '\ end {bmatrix}}}

.

Матрица для композиции двух операторов - это просто произведение матриц для двух операторов. Различные операторы могут иметь одинаковую матрицу, например p и l . Счетчик краев результата является целым числом, кратным числу начального числа d : это называется темпом инфляции или краевым фактором.

Простейшие операторы, тождественный оператор S и дуальный оператор d , имеют простую матричную форму:

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {S} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} = \ mathbf {I} _ {3}}

,

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {d} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}

Два двойных оператора сокращаются; dd = S , а квадрат - единичная матрица . Применительно к другим операторам дуальный оператор соответствует горизонтальному и вертикальному отражениям матрицы. Операторы могут быть сгруппированы в группы по четыре (или меньше, если некоторые формы совпадают) путем идентификации операторов x , xd (оператор двойственного), dx (двойственного оператора) и dxd (сопряженного оператора). В этой статье дана только матрица для x , так как остальные являются простыми отражениями. ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {d}}$

Количество операторов

Количество LSP для каждого уровня инфляции начинается с уровня инфляции 1. Однако не все LSP обязательно образуют многогранник, ребра и вершины которого образуют трехсвязный граф , и, как следствие теоремы Стейница, не обязательно образуют выпуклый многогранник из выпуклое семя. Количество 3-связанных LSP для каждого уровня инфляции составляет . ${\ displaystyle 2,2,4,6,6,20,28,58,82, \ cdots}$ ${\ displaystyle 2,2,4,6,4,20,20,54,64, \ cdots}$

Исходные операции

Строго говоря, seed ( S ), Need ( n ) и zip ( z ) не были включены Конвеем, но они связаны с исходными операциями Конвея по двойственности, поэтому включены здесь.

С этого момента операции визуализируются с семенами куба, нарисованными на поверхности этого куба. Синие грани пересекают края семени, а розовые грани лежат над вершинами семени. Существует некоторая гибкость в точном размещении вершин, особенно с киральными операторами.

Оригинальные операторы Конвея
Краевой фактор	Матрица ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {x}}$	Икс	xd	dx	dxd	Заметки
1	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$	Семя : S	Двойной : d		Семя : dd = S	Dual заменяет каждую грань вершиной, а каждую вершину - гранью.
2	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$	Присоединиться : j		Амбо : а		Соединение создает четырехугольные грани. Амбо создает вершины четвертой степени, и в теории графов его еще называют ректификацией , или медиальным графом.
3	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \ end {bmatrix}}}$	Кис : к	Игла : n	Почтовый индекс : z	Усечь : t	Кис поднимает пирамиду на каждой грани, и ее также называют акисией, Kleetope , кумуляцией, наращиванием или увеличением пирамиды . Truncate обрезает многогранник по его вершинам, но оставляет часть исходных ребер. Zip также называется усечением битов .
4	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \ end {bmatrix}}}$	Орто : o = jj		Развернуть : e = aa
5	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \ end {bmatrix}}}$	Гироскоп : г	gd = rgr	sd = rsr	Курносый : s	Киральные операторы. См. Snub (геометрия) . В отличие от Харта, gd - это не то же самое, что g : это его киральная пара.
6	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \ end {bmatrix}}}$	Мета : m = kj		Фаска : b = ta

Семена

Любой многогранник может служить семенем, если над ним можно выполнять операции. Обычным семенам присвоена буква. В Платоновых тела представлены по первой букве их имени ( Т etrahedron , О ctahedron , С Ube , я cosahedron , D odecahedron ); в р risms ( Р _п ) для п -gonal форм; а нтипризмы ( А _н ); c u polae ( U _n ); anticupolae ( V _n ); и р у ramids ( У _п ). Любой J ohnson твердого вещества можно ссылаться как J _п , для п = 1..92.

Все пять правильных многогранников могут быть сгенерированы из призматических образующих от нуля до двух операторов:

Треугольная пирамида : Y ₃ (тетраэдр - особая пирамида)
- Т = Y ₃
- O = aT (амботетраэдр)
- C = jT (соединить тетраэдр)
- I = sT (курносый тетраэдр)
- D = gT ( гиротетраэдр )
Треугольная антипризма : A ₃ (октаэдр - особая антипризма)
- O = A ₃
- C = dA ₃
Квадратная призма : P ₄ (куб - это особая призма)
- C = P ₄
Пятиугольная антипризма : A ₅
- I = k ₅A ₅ (Специальная гиро-удлиненная дипирамида )
- D = t ₅dA ₅ (Особый усеченный трапецоэдр )

Обычные евклидовы мозаики также можно использовать в качестве семян:

Q = Кадриль = Квадратная плитка
H = Hextille = Шестиугольная мозаика = dΔ
Δ = Deltille = Треугольная мозаика = dH

Расширенные операции

Это операции, созданные по оригинальному набору Конвея. Обратите внимание, что существует гораздо больше операций, чем было названо; просто потому, что здесь нет операции, не означает, что она не существует (или не является LSP или LOPSP). Для упрощения в этот список включены только неприводимые операторы: другие могут быть созданы путем объединения операторов вместе.

Неприводимые расширенные операторы
Краевой фактор	Матрица ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {x}}$	Икс	xd	dx	dxd	Заметки
4	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \ end {bmatrix}}}$	Фаска : c	cd = du	dc = ud	Подразделить : u	Фаска - это форма соединения l . См. Раздел Фаска (геометрия) .
5	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}$	Пропеллер : p	dp = pd		dpd = p	Киральные операторы. Оператор пропеллера был разработан Джорджем Хартом.
5	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}$	Лофт : l	ld	дл	dld
6	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}$	Quinto : q	qd	dq	dqd
6	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \ end {bmatrix}}}$	Соединить кружево : L ₀	L ₀d	дл ₀	дл ₀д	См. Ниже объяснение нотации соединения.
7	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \ end {bmatrix}}}$	Кружево : L	Ld	дл	dLd
7	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \ end {bmatrix}}}$	Ставка : K	Kd	dK	dKd
7	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}$	Вихрь : w	wd = dv	vd = dw	Улитка : v	Киральные операторы.
8	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \ end {bmatrix}}}$	Присоединяйтесь-кис-кис : ${\ displaystyle (kk) _ {0}}$	${\ displaystyle (kk) _ {0} d}$	${\ displaystyle d (kk) _ {0}}$	${\ displaystyle d (kk) _ {0} d}$	Иногда по имени Дж . См. Ниже объяснение нотации соединения. Несоединенная форма kk не является неприводимой.
10	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \ end {bmatrix}}}$	Крест : X	Xd	dX	dXd

Индексированные расширенные операции

Ряд операторов можно сгруппировать по некоторым критериям или изменить их поведение с помощью индекса. Они записываются как оператор с индексом: x _n .

Увеличение

Операции по увеличению сохраняют исходные края. Они могут применяться к любому независимому подмножеству граней или могут быть преобразованы в форму соединения путем удаления исходных ребер. Обозначение Конвея поддерживает необязательный индекс для этих операторов: 0 для формы соединения или 3 или выше для количества сторон затронутых граней. Например, k ₄Y ₄ = O: если взять квадратную пирамиду и приклеить другую пирамиду к квадратному основанию, получится октаэдр.

Оператор	k	л	L	K	(кк)
Икс
х ₀	к ₀ = j	l ₀ = c	L ₀	K ₀ = jk	${\ displaystyle (kk) _ {0}}$
Увеличение	Пирамида	Призма	Антипризма

Оператор усечения t также имеет индексную форму t _n , указывающую, что усекаются только вершины определенной степени. Это эквивалентно dk _n d .

Некоторые из расширенных операторов могут быть созданы в особых случаях с помощью операторов k _n и t _n . Например, куб с фаской , cC , может быть построен как t ₄daC , как ромбический додекаэдр , daC или jC , с усеченными вершинами степени 4. Поднятый куб, lC совпадает с t ₄kC . Квинто-додекаэдр, QD может быть выполнен в виде т ₅DAAD или т ₅DED или т ₅О.Д. , в дельтоидальном гексеконтаэдр , DED или О.Д. , с его градусоднями 5 вершин усеченных.

Мета / скос

Meta добавляет вершины в центре и по краям, а Bevel добавляет грани в центре, исходные вершины и по краям. Индекс показывает, сколько вершин или граней добавлено по краям. Мета (в его Неиндексированной форме) также называют cantitruncation или omnitruncation . Обратите внимание, что 0 здесь не означает то же самое, что и для операций увеличения: это означает, что по ребрам добавляются нулевые вершины (или грани).

Операторы Meta / Bevel
п	Краевой фактор	Матрица ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {x}}$	Икс	xd	dx	dxd
0	3	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \ end {bmatrix}}}$	к = м ₀	п	г = б ₀	т
1	6	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \ end {bmatrix}}}$	m = m ₁ = kj		б = б ₁ = та
2	9	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \ end {bmatrix}}}$	м ₂	м ₂д	б ₂	б ₂г
3	12	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \ end {bmatrix}}}$	м ₃	м ₃д	б ₃	б ₃г
п	3 п +3	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & n & 1 \\ 0 & 3n + 3 & 0 \\ 0 & 2n + 2 & 0 \ end {bmatrix}}}$	m _n	м _н д	б _н	б _н д

Медиальный

Медиал похож на мета, за исключением того, что он не добавляет ребер от центра к каждой исходной вершине. Форма индекса 1 идентична операторам орто и раскрытия Конвея: расширение также называется раскосом и расширением . Обратите внимание, что o и e имеют свои собственные индексированные формы, описанные ниже. Также обратите внимание, что некоторые реализации начинают индексирование с 0 вместо 1.

Медиальные операторы
п	Краевой фактор	Матрица ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {x}}$	Икс	xd	dx	dxd
1	4	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \ end {bmatrix}}}$	M ₁ = o = jj		е = аа
2	7	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \ end {bmatrix}}}$	Средний : M = M ₂	Мкр	дМ	dMd
п	3 п +1	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & n & 1 \\ 0 & 3n + 1 & 0 \\ 0 & 2n & 0 \ end {bmatrix}}}$	M _n	М _н д	dM _n	dM _n d

Гольдберг-Кокстер

Операторы Гольдберга-Кокстера (ГК) Конвея - это два бесконечных семейства операторов, которые являются расширением конструкции Голдберга-Кокстера . Конструкцию GC можно представить как взятие треугольного сечения треугольной решетки или квадратного сечения квадратной решетки и наложение его на каждую грань многогранника. Эту конструкцию можно распространить на любую грань, указав камеры треугольника или квадрата («главный многоугольник»). Операторы в треугольном семействе могут использоваться для создания многогранников Гольдберга и геодезических многогранников : см. Список геодезических многогранников и многогранники Гольдберга для получения формул.

Эти два семейства - это треугольное семейство GC, c _{a, b} и u _{a, b} , и семейство четырехугольника GC, e _{a, b} и o _{a, b} . Оба семейства GC индексируются двумя целыми числами и . Они обладают множеством приятных качеств: ${\ displaystyle a \ geq 1}$ ${\ displaystyle b \ geq 0}$

Индексы семейств связаны с определенными евклидовыми областями над комплексными числами: целыми числами Эйзенштейна для треугольного семейства GC и гауссовыми целыми числами для четырехугольного семейства GC.
Операторы в столбцах x и dxd в одном семействе коммутируют друг с другом.

Операторы делятся на три класса (примеры написаны в терминах c, но применяются ко всем 4 операторам):

Класс I: . Ахиральный, сохраняет оригинальные края. Может быть записано с подавленным нулевым индексом, например c _a_{, 0} = c _a . ${\ displaystyle b = 0}$
Класс II: . Тоже ахирал. Можно разложить как c _{a, a} = c _a c _1,1 ${\ displaystyle a = b}$
Класс III: все остальные операторы. Они хиральные, а c _{a, b} и c _{b, a} - хиральные пары друг друга.

Из оригинальных операций Конвея единственные, которые не попадают в семейство GC, - это g и s (gyro и snub). Meta и bevel ( m и b ) могут быть выражены одним оператором из семейства треугольников и одним оператором из семейства четырехугольников.

Треугольный

Треугольные операторы Гольдберга-Кокстера.
а	б	Класс	Краевой фактор T = a ² + ab + b ²	Матрица ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {x}}$	Главный треугольник	Икс	xd	dx	dxd
1	0	я	1	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$		и ₁ = S	d		c ₁ = S
2	0	я	4	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u ₂ = u	Округ Колумбия	ду	с ₂ = с
3	0	я	9	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \ end {bmatrix}}}$		u ₃ = nn	нк	zt	c ₃ = zz
4	0	я	16	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 10 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u ₄ = uu	uud = dcc	duu = ccd	c ₄ = cc
5	0	я	25	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 8 & 0 \\ 0 & 25 & 0 \\ 0 & 16 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u ₅	u ₅d = dc ₅	ду ₅ = с ₅д	в ₅
6	0	я	36	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 11 & 1 \\ 0 & 36 & 0 \\ 0 & 24 & 0 \ end {bmatrix}}}$		u ₆ = unn	unk	czt	u ₆ = czz
7	0	я	49	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 16 & 0 \\ 0 & 49 & 0 \\ 0 & 32 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u ₇ = u _2,1u _1,2 = vrv	vrvd = dwrw	dvrv = wrwd	c ₇ = c _2,1c _1,2 = wrw
8	0	я	64	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 21 & 0 \\ 0 & 64 & 0 \\ 0 & 42 & 1 \ end {bmatrix}}}$		и ₈ = и ³	u ³d = dc ³	ду ³ = с ³д	с ₈ = с ³
9	0	я	81 год	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 26 & 1 \\ 0 & 81 & 0 \\ 0 & 54 & 0 \ end {bmatrix}}}$		и ₉ = п ⁴	n ³k = kz ³	tn ³ = z ³t	с ₉ = г ⁴
1	1	II	3	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \ end {bmatrix}}}$		и _1,1 = п	k	т	с _1,1 = z
2	1	III	7	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \ end {bmatrix}}}$		v = u _2,1	vd = dw	dv = wd	ш = с _2,1
3	1	III	13	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 13 & 0 \\ 0 & 8 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u _3,1	u _3,1d = dc _3,1	ду _3,1 = c _3,1d	в _3,1
3	2	III	19	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 6 & 0 \\ 0 & 19 & 0 \\ 0 & 12 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u _3,2	u _3,2d = dc _3,2	ду _3,2 = с _3,2д	в _3,2
4	3	III	37	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 12 & 0 \\ 0 & 37 & 0 \\ 0 & 24 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u _4,3	u _4,3d = dc _4,3	ду _4,3 = с _4,3д	в _4,3
5	4	III	61	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 20 & 0 \\ 0 & 61 & 0 \\ 0 & 40 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u _5,4	u _5,4d = dc _5,4	ду _5,4 = с _5,4д	в _5,4
6	5	III	91	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 30 & 0 \\ 0 & 91 & 0 \\ 0 & 60 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u _6,5 = u _1,2u _1,3	u _6,5d = dc _6,5	ду _6,5 = с _6,5д	с _6,5 = с _1,2с _1,3
7	6	III	127	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 42 & 0 \\ 0 & 127 & 0 \\ 0 & 84 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u _7,6	u _7,6d = dc _7,6	ду _7,6 = с _7,6д	в _7,6
8	7	III	169	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 56 & 0 \\ 0 & 169 & 0 \\ 0 & 112 & 1 \ end {bmatrix}}}$		и _8,7 = и _3,1²	u _8,7d = dc _8,7	ду _8,7 = с _8,7д	с _8,7 = с _3,1²
9	8	III	217	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 72 & 0 \\ 0 & 217 & 0 \\ 0 & 144 & 1 \ end {bmatrix}}}$		u _9,8 = u _2,1u _5,1	u _9,8d = dc _9,8	ду _9,8 = с _9,8д	с _9,8 = с _2,1с _5,1
${\ Displaystyle а \ эквив б}$ ${\ Displaystyle \ (\ mathrm {mod} \ 3)}$		I, II или III	${\ Displaystyle Т \ экв 0 \}$ ${\ Displaystyle (\ mathrm {mod} \ 3)}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & {\ frac {T} {3}} - 1 & 1 \\ 0 & T & 0 \\ 0 & {\ frac {2} {3}} T & 0 \ end {bmatrix}}}$	...	ты _{а, б}	u _{a, b} d = dc _{a, b}	du _{a, b} = c _{a, b} d	в _{а, б}
${\ Displaystyle а \ не \ эквив б}$ ${\ Displaystyle \ (\ mathrm {mod} \ 3)}$		I или III	${\ Displaystyle Т \ эквив 1}$ ${\ Displaystyle \ (\ mathrm {mod} \ 3)}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & {\ frac {T-1} {3}} & 0 \\ 0 & T & 0 \\ 0 & 2 {\ frac {T-1} {3}} & 1 \ end {bmatrix}}}$	...	ты _{а, б}	u _{a, b} d = dc _{a, b}	du _{a, b} = c _{a, b} d	в _{а, б}

По основной теории чисел, при любых значениях и Ь , . ${\ Displaystyle Т \ не \ эквив 2 \ (\ mathrm {mod} \ 3)}$

Четырехугольник

Четырехугольные операторы Гольдберга-Кокстера
а	б	Класс	Краевой фактор T = a ² + b ²	Матрица ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {x}}$	Мастер-сквер	Икс	xd	dx	dxd
1	0	я	1	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$		o ₁ = S	е ₁ = d		о ₁ = dd = S
2	0	я	4	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \ end {bmatrix}}}$		о ₂ = о = j ²		е ₂ = е = а ²
3	0	я	9	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \ end {bmatrix}}}$		o ₃	e ₃		o ₃
4	0	я	16	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 7 & 1 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \ end {bmatrix}}}$		о ₄ = оо = j ⁴		e ₄ = ee = a ⁴
5	0	я	25	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 12 & 0 \\ 0 & 25 & 0 \\ 0 & 12 & 1 \ end {bmatrix}}}$		o ₅ = o _2,1o _1,2 = прп	е ₅ = е _2,1е _1,2		o ₅ = dprpd
6	0	я	36	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 17 & 1 \\ 0 & 36 & 0 \\ 0 & 18 & 0 \ end {bmatrix}}}$		о ₆ = о ₂о ₃		е ₆ = е ₂е ₃
7	0	я	49	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 24 & 0 \\ 0 & 49 & 0 \\ 0 & 24 & 1 \ end {bmatrix}}}$		o ₇	e ₇		o ₇
8	0	я	64	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 31 & 1 \\ 0 & 64 & 0 \\ 0 & 32 & 0 \ end {bmatrix}}}$		о ₈ = о ³ = j ⁶		е ₈ = е ³ = а ⁶
9	0	я	81 год	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 40 & 0 \\ 0 & 81 & 0 \\ 0 & 40 & 1 \ end {bmatrix}}}$		о ₉ = о ₃²	е ₉ = е ₃²		o ₉
10	0	я	100	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 49 & 1 \\ 0 & 100 & 0 \\ 0 & 50 & 0 \ end {bmatrix}}}$		о ₁₀ = оо _2,1о _1,2		e ₁₀ = ee _2,1 e _1,2
1	1	II	2	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$		о _1,1 = j		е _1,1 = а
2	2	II	8	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \ end {bmatrix}}}$		о _2,2 = j ³		е _2,2 = а ³
1	2	III	5	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \ end {bmatrix}}}$		o _1,2 = p	е _1,2 = dp = pd		п
${\ Displaystyle а \ эквив б}$ ${\ Displaystyle \ (\ mathrm {mod} \ 2)}$		I, II или III	Т даже	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & {\ frac {T} {2}} - 1 & 1 \\ 0 & T & 0 \\ 0 & {\ frac {T} {2}} & 0 \ end {bmatrix}}}$	...	о _{а, б}		д _{а, б}
${\ Displaystyle а \ не \ эквив б}$ ${\ Displaystyle \ (\ mathrm {mod} \ 2)}$		I или III	Т нечетный	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & {\ frac {T-1} {2}} & 0 \\ 0 & T & 0 \\ 0 & {\ frac {T-1} {2}} & 1 \ end {bmatrix}}}$	...	о _{а, б}	д _{а, б}		о _{а, б}

Примеры

См. Также Список геодезических многогранников и многогранников Гольдберга .

Архимедовы и каталонские твердые тела

Исходный набор операторов Конвея может создавать все твердые тела Архимеда и каталонские твердые тела , используя Платоновы твердые тела в качестве затравки. (Обратите внимание, что оператор r не нужен для создания обеих хиральных форм.)

Составные операторы

Усеченный икосаэдр , Т.И. = Zd , может быть использован в качестве затравки , чтобы создать какие - то более визуально приятные многогранники, хотя они не являются ни вершинами , ни лицом транзитивно .