Додекаэдр Дисдякиса - Disdyakis dodecahedron
Додекаэдр Дисдякиса | |
---|---|
( вращающаяся и 3D модель) |
|
Тип | Каталонский твердый |
Обозначение Конвея | mC |
Диаграмма Кокстера | |
Многоугольник лица |
неравносторонний треугольник |
Лица | 48 |
Края | 72 |
Вершины | 26 = 6 + 8 + 12 |
Конфигурация лица | V4.6.8 |
Группа симметрии | O h , B 3 , [4,3], * 432 |
Двугранный угол | 155 ° 4 '56 " |
Двойной многогранник |
усеченный кубооктаэдр |
Свойства | выпуклый, гранно-транзитивный |
сеть |
В геометрии , A disdyakis Додекаэдр , (также hexoctahedron , гексакис октаэдр , octakis куб , octakis шестигранника , kisrhombic додекаэдра ), является Каталонским твердым веществом с 48 гранями и двойственной к архимедовому усеченному кубооктаэдру . Таким образом, он является транзитивным по граням, но с неправильными полигонами граней. Он напоминает увеличенный ромбический додекаэдр . Замена каждой грани ромбического додекаэдра плоской пирамидой создает многогранник, который выглядит почти как додекаэдр дисдиакиса и топологически эквивалентен ему. Более формально додекаэдр дисдиакиса - это кромка ромбического додекаэдра. Сеть ромбической додекаэдрической пирамиды также имеет ту же топологию.
Симметрия
Он имеет октаэдрическую симметрию O h . Его общие края представляют собой отражающие плоскости симметрии. Это также можно увидеть в угловой и срединной триангуляции правильного куба и октаэдра и ромбического додекаэдра.
Додекаэдр Дисдякиса |
Дельтоидальный икоситетраэдр |
Ромбический додекаэдр |
Шестигранник |
Октаэдр |
Сферический многогранник | |||
---|---|---|---|
(см. вращающуюся модель ) | Ортографические проекции с 2-х, 3-х и 4-х кратных осей |
Ребра сферического додекаэдра дисьякиса принадлежат 9 большим окружностям . Три из них образуют сферический октаэдр (серый на изображениях ниже). Остальные шесть образуют три квадратных хосоэдра (красный, зеленый и синий на изображениях ниже). Все они соответствуют зеркальным плоскостям - первая имеет двугранную [2,2], а вторая тетраэдрическую [3,3] симметрию.
Стереографические проекции | |||
---|---|---|---|
2-кратный | 3-кратный | 4-кратный | |
Габаритные размеры
Если его наименьшие края имеют длину a , его площадь поверхности и объем равны
Грани представляют собой разносторонние треугольники. Их углы равны , и .
Ортогональные проекции
Усеченный кубооктаэдр и двойственный ему додекаэдр дисьякиса можно нарисовать в нескольких симметричных ортогональных проективных ориентациях. Между многогранником и двойственным ему вершины и грани меняются местами, а ребра перпендикулярны.
Проективная симметрия |
[4] | [3] | [2] | [2] | [2] | [2] | [2] + |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Образ | |||||||
Двойное изображение |
Связанные многогранники и мозаики
Многогранники, подобные додекаэдру дисьякиса, двойственны октаэдру Боути и кубу , содержащему дополнительные пары треугольных граней. |
Додекаэдр disdyakis является одним из семейства двойственных однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.
Однородные октаэдрические многогранники | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) |
[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) |
[3 + , 4] (3 * 2) |
|||||||
{4,3} | т {4,3} |
г {4,3} г {3 1,1 } |
т {3,4} т {3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr {4,3} s 2 {3,4} |
tr {4,3} | sr {4,3} |
ч {4,3} {3,3} |
ч 2 {4,3} т {3,3} |
с {3,4} с {3 1,1 } |
знак равно |
знак равно |
знак равно |
знак равно или |
знак равно или |
знак равно |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Двойники к однородным многогранникам | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | В (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Это многогранники в последовательности, определяемой конфигурацией граней V4.6.2 n . Эта группа особенная тем, что у нее есть все четное количество ребер на вершину и образуют биссектрисы, проходящие через многогранники и бесконечные прямые на плоскости, и переходят в гиперболическую плоскость для любого n ≥ 7.
С четным числом граней в каждой вершине эти многогранники и мозаики можно показать, чередуя два цвета, чтобы все смежные грани имели разные цвета.
Каждая грань на этих областях также соответствует фундаментальной области группы симметрии с зеркалами порядка 2, 3, n в каждой вершине треугольной грани.
* n 32 мутаций симметрии полностью усеченных мозаик : 4.6.2n | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сим. * n 32 [ n , 3] |
Сферический | Евклид. | Компактная гиперб. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
* 232 [2,3] |
* 332 [3,3] |
* 432 [4,3] |
* 532 [5,3] |
* 632 [6,3] |
* 732 [7,3] |
* 832 [8,3] |
* ∞32 [∞, 3] |
[12i, 3] |
[9i, 3] |
[6i, 3] |
[3i, 3] |
|
Цифры | ||||||||||||
Конфиг. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Duals | ||||||||||||
Конфиг. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
* n 42 мутация симметрии полностью усеченных плиток : 4.8.2n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 42 [n, 4] |
Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | ||||
* 242 [2,4] |
* 342 [3,4] |
* 442 [4,4] |
* 542 [5,4] |
* 642 [6,4] |
* 742 [7,4] |
* 842 [8,4] ... |
* ∞42 [∞, 4] |
|
Омниусеченная фигура |
4.8.4 |
4.8.6 |
4.8.8 |
4.8.10 |
4.8.12 |
4.8.14 |
4.8.16 |
4.8.∞ |
Усеченные двойники |
V4.8.4 |
V4.8.6 |
V4.8.8 |
V4.8.10 |
V4.8.12 |
V4.8.14 |
V4.8.16 |
V4.8.∞ |
Смотрите также
- Первая звездчатая форма ромбического додекаэдра
- Триаконтаэдр Дисдякиса
- Kisrhombille плитка
- Большой ромбигексакрон - однородный двойственный многогранник с одинаковой топологией поверхности.
Ссылки
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
- Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, кисРомбический додекаэдр )
внешние ссылки
- Eric W. Weisstein , Disdyakis додекаэдр ( Каталонский твердое ) в MathWorld .
- Интерактивная модель многогранника Додекаэдра (октаэдра Hexakis)