Список моделей многогранников Веннингера - List of Wenninger polyhedron models

Это индексированный список однородных и звездчатых многогранников из книги Магнуса Веннингера « Модели многогранников » .

Книга была написана как руководство по построению многогранников как физических моделей. Он включает в себя шаблоны элементов лица для построения и полезные советы по построению, а также краткие описания теории, лежащей в основе этих форм. Он содержит 75 непризматических однородных многогранников , а также 44 звездчатых формы выпуклых правильных и квазирегулярных многогранников.

Перечисленные здесь модели могут называться «Номер модели Веннингера N » или W _N для краткости.

Многогранники сгруппированы в 5 таблиц: правильные (1–5), полурегулярные (6–18), правильные звездчатые многогранники (20–22,41), звездчатые и составные (19–66) и однородные звездчатые многогранники (67–119). ). Четыре правильных звездных многогранника перечислены дважды, поскольку они принадлежат как к однородным многогранникам, так и к звездчатым группам.

Платоновы тела (правильные выпуклые многогранники) от W1 до W5

Показатель	Имя	Рисунок	Двойное имя	Двойное изображение	Символ Wythoff	Вершинная фигура и символ Шлефли	Группа симметрии	U #	K #	V	E	F	Лица по типу
1	Тетраэдр		Тетраэдр		3 | 2 3	{3,3}	Т д	U01	K06	4	6	4	4 {3}
2	Октаэдр		Шестигранник		4 | 2 3	{3,4}	О ч	U05	K10	6	12	8	8 {3}
3	Шестигранник (Куб)		Октаэдр		3 | 2 4	{4,3}	О ч	U06	K11	8	12	6	6 {4}
4	Икосаэдр		Додекаэдр		5 | 2 3	{3,5}	Я ч	U22	K27	12	30	20	20 {3}
5	Додекаэдр		Икосаэдр		3 | 2 5	{5,3}	Я ч	U23	K28	20	30	12	12 {5}

Архимедовы тела (полурегулярные) от W6 до W18

Показатель	Имя	Рисунок	Двойное имя	Двойное изображение	Символ Wythoff	Фигура вершины	Группа симметрии	U #	K #	V	E	F	Лица по типу
6	Усеченный тетраэдр		триакис тетраэдр		2 3 | 3	3.6.6	Т д	U02	K07	12	18	8	4 {3} + 4 {6}
7	Усеченный октаэдр		тетракис шестигранник		2 4 | 3	4.6.6	О ч	U08	K13	24	36	24	6 {4} + 8 {6}
8	Усеченный шестигранник		триакис октаэдр		2 3 | 4	3.8.8	О ч	U09	K14	24	36	14	8 {3} + 6 {8}
9	Усеченный икосаэдр		пентакид додекаэдр		2 5 | 3	5.6.6	Я ч	U25	K30	60	90	32	12 {5} + 20 {6}
10	Усеченный додекаэдр		триакис икосаэдр		2 3 | 5	3.10.10	Я ч	U26	K31	60	90	32	20 {3} + 12 {10}
11	Кубооктаэдр		ромбический додекаэдр		2 | 3 4	3.4.3.4	О ч	U07	K12	12	24	14	8 {3} + 6 {4}
12	Икосододекаэдр		ромбический триаконтаэдр		2 | 3 5	3.5.3.5	Я ч	U24	K29	30	60	32	20 {3} + 12 {5}
13	Малый ромбокубооктаэдр		дельтовидный икоситетраэдр		3 4 | 2	3.4.4.4	О ч	U10	K15	24	48	26 год	8 {3} + (6 + 12) {4}
14	Малый ромбоикосододекаэдр		дельтовидный гексеконтаэдр		3 5 | 2	3.4.5.4	Я ч	U27	K32	60	120	62	20 {3} + 30 {4} + 12 {5}
15	Усеченный кубооктаэдр (Большой ромбокубооктаэдр )		disdyakis додекаэдр		2 3 4 |	4.6.8	О ч	U11	K16	48	72	26 год	12 {4} + 8 {6} + 6 {8}
16	Усеченный икосододекаэдр (Большой ромбоикосододекаэдр)		дисдякис триаконтаэдр		2 3 5 |	4.6.10	Я ч	U28	K33	120	180	62	30 {4} + 20 {6} + 12 {10}
17	Курносый куб		пятиугольный икоситетраэдр		| 2 3 4	3.3.3.3.4	О	U12	K17	24	60	38	(8 + 24) {3} + 6 {4}
18	Курносый додекаэдр		пятиугольный гексеконтаэдр		| 2 3 5	3.3.3.3.5	я	U29	K34	60	150	92	(20 + 60) {3} + 12 {5}

Многогранники Кеплера – Пуансо (правильные звездчатые многогранники ) W20, W21, W22 и W41

Показатель	Имя	Рисунок	Двойное имя	Двойное изображение	Символ Wythoff	Вершинная фигура и символ Шлефли	Группа симметрии	U #	K #	V	E	F	Лица по типу
20	Малый звездчатый додекаэдр		Большой додекаэдр		5 | 2 5 / 2	{ 5 / 2 , 5}	Я ч	U34	K39	12	30	12	12 { 5 / 2 }
21 год	Большой додекаэдр		Малый звездчатый додекаэдр		5 / 2 | 2 5	{5, 5 / 2 }	Я ч	U35	K40	12	30	12	12 {5}
22	Большой звездчатый додекаэдр		Большой икосаэдр		3 | 2 +5 / 2	{ 5 / 2 , 3}	Я ч	U52	K57	20	30	12	12 { 5 / 2 }
41 год	Большой икосаэдр (16-я звёздочка икосаэдра)		Большой звездчатый додекаэдр		+5 / 2 | 2 3	{3, 5 / 2 }	Я ч	U53	K58	12	30	20	20 {3}

Звездчатые: модели от W19 до W66

Звёздчатые формы октаэдра

Показатель	Имя	Группа симметрии	Рисунок	Грани
2	Октаэдр (обычный)	О ч
19	Звездчатый октаэдр (соединение двух тетраэдров)	О ч

Звёздчатые формы додекаэдра

Показатель	Имя	Группа симметрии	Рисунок	Грани
5	Додекаэдр (правильный)	Я ч
20	Малый звездчатый додекаэдр (правильный) (Первая звездчатая форма додекаэдра)	Я ч
21 год	Большой додекаэдр (правильный) (Вторая звездчатость додекаэдра)	Я ч
22	Большой звездчатый додекаэдр (правильный) (Третья звездчатость додекаэдра)	Я ч

Звёздчатые формы икосаэдра

Показатель	Имя	Группа симметрии	Рисунок	Грани
4	Икосаэдр (обычный)	Я ч
23	Соединение пяти октаэдров (Первая составная звёздчатая форма икосаэдра)	Я ч
24	Соединение пяти тетраэдров (Вторая составная звёздчатая форма икосаэдра)	я
25	Соединение десяти тетраэдров (Третья составная звёздчатая форма икосаэдра)	Я ч
26 год	Малый триамбический икосаэдр (Первая звездчатая форма икосаэдра ) ( Triakis icosahedron )	Я ч
27	Вторая звездчатая форма икосаэдра	Я ч
28 год	Выкопанный додекаэдр (Третья звездочка икосаэдра)	Я ч
29	Четвертая звездчатость икосаэдра	Я ч
30	Пятая звездочка икосаэдра	Я ч
31 год	Шестая звездочка икосаэдра	Я ч
32	Седьмая звездочка икосаэдра	Я ч
33	Восьмая звездочка икосаэдра	Я ч
34	Девятая звездчатость икосаэдра Большой триамбический икосаэдр	Я ч
35 год	Десятая звездочка икосаэдра	я
36	Одиннадцатая звездочка икосаэдра	я
37	Двенадцатая звездчатость икосаэдра	Я ч
38	Тринадцатая звездочка икосаэдра	я
39	Четырнадцатая звездчатость икосаэдра	я
40	Пятнадцатая звездчатость икосаэдра	я
41 год	Большой икосаэдр (правильный) (шестнадцатая звездчатость икосаэдра)	Я ч
42	Окончательная звездчатость икосаэдра	Я ч

Звёздчатые формы кубооктаэдра

Показатель	Имя	Группа симметрии	Рисунок	Грани (октаэдрические плоскости)	Грани (плоскости куба)
11	Кубооктаэдр (правильный)	О ч
43 год	Соединение куба и октаэдра (первая звездчатая форма кубооктаэдра)	О ч
44 год	Вторая звездчатость кубооктаэдра	О ч
45	Третья звездчатость кубооктаэдра	О ч
46	Четвертая звездчатость кубооктаэдра	О ч

Звёздчатые формы икосододекаэдра

Показатель	Имя	Группа симметрии	Рисунок	Грани (плоскости икосаэдра)	Грани (додекаэдрические плоскости)
12	Икосидодекаэдр (правильный)	Я ч
47	(Первая звездчатая форма икосододекаэдра) Соединение додекаэдра и икосаэдра	Я ч
48	Вторая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
49	Третья звездчатость икосододекаэдра	Я ч
50	Четвертая звездчатость икосододекаэдра (соединение малого звездчатого додекаэдра и триакисикосаэдра)	Я ч
51	Пятая звездчатость икосододекаэдра (соединение малого звездчатого додекаэдра и пяти октаэдров)	Я ч
52	Шестая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
53	Седьмая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
54	Восьмая звездчатость икосододекаэдра (соединение пяти тетраэдров и большого додекаэдра)	я
55	Девятая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
56	Десятая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
57 год	Одиннадцатая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
58	Двенадцатая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
59	Тринадцатая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
60	Четырнадцатая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
61	Соединение большого звездчатого додекаэдра и большого икосаэдра	Я ч
62	Пятнадцатая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
63	Шестнадцатая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
64	Семнадцатая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
65	Восемнадцатая звездчатость икосододекаэдра	Я ч
66	Девятнадцатая звездчатость икосододекаэдра	Я ч

Однородные невыпуклые твердые тела от W67 до W119

Показатель	Имя	Рисунок	Двойное имя	Двойное изображение	Символ Wythoff	Фигура вершины	Группа симметрии	U #	K #	V	E	F	Лица по типу
67	Тетрагемигексаэдр		Тетрагемигексакрон		3 / 2 3 | 2	4. 3 / 2 .4.3	Т д	U04	K09	6	12	7	4 {3} +3 {4}
68	Октагемиоктаэдр		Октагемиоктакрон		3 / +2 3 | 3	6. 3 / 2 .6.3	О ч	U03	K08	12	24	12	8 {3} +4 {6}
69	Малый кубокубооктаэдр		Малый гексакронический икоситетраэдр		+3 / +2 4 | 4	8. 3 / 2 .8.4	О ч	U13	K18	24	48	20	8 {3} +6 {4} +6 {8}
70	Малый дитригональный икосододекаэдр		Малый триамбический икосаэдр		3 | 5 / 2 3	( 5 / 2 .3) 3	Я ч	U30	K35	20	60	32	20 {3} {+12 5 / 2 }
71	Малый икосикосододекаэдр		Малый икосакронный гексеконтаэдр		+5 / 2 3 | 3	6. 5 / 2 .6.3	Я ч	U31	K36	60	120	52	20 {3} {+12 5 / 2 } + 20 {6}
72	Малый додецикосододекаэдр		Малый додекакронный гексеконтаэдр		+3 / 2 5 | 5	10. 3 / 2 .10.5	Я ч	U33	K38	60	120	44 год	20 {3} +12 {5} +12 {10}
73	Додекадодекаэдр		Средний ромбический триаконтаэдр		2 | 5 / 2 5	( 5 / 2 0,5) 2	Я ч	U36	K41	30	60	24	12 {5} {+12 5 / 2 }
74	Малый ромбидодекаэдр		Ромбидодекакрон малый		2 5 / 2 5 |	10.4. 10 / 9 . 4 / 3	Я ч	U39	K44	60	120	42	30 {4} +12 {10}
75	Усеченный большой додекаэдр		Малый стеллапентакис додекаэдр		2 5 / 2 | 5	10.10. 5 / 2	Я ч	U37	K42	60	90	24	12 { 5 / 2 } + 12 {10}
76	Ромбидодекадодекаэдр		Медиальный дельтовидный гексеконтаэдр		5 / 2 5 | 2	4. 5 / 2 .4.5	Я ч	U38	K43	60	120	54	30 {4} +12 {5} {+12 5 / 2 }
77	Большой кубокубооктаэдр		Большой гексакронический икоситетраэдр		3 4 | 4 / 3	8 / 3 .3. 8 / 3 .4	О ч	U14	K19	24	48	20	8 {3} +6 , {4} {+6 , 8 / 3 }
78	Кубогемиоктаэдр		Гексагемиоктакрон		4 / 3 4 | 3	6. 4 / 3 .6.4	О ч	U15	K20	12	24	10	6 {4} +4 {6}
79	Кубитусеченный кубооктаэдр (Cuboctatruncated cuboctahedron)		Шестигранник Тетрадякиса		4 / 3 3 4 |	8 / 3 .6.8	О ч	U16	K21	48	72	20	8 {6} +6 , {8} {+6 , 8 / 3 }
80	Дитригональный додекадодекаэдр		Медиальный триамбический икосаэдр		3 | 5 / 3 5	( 5 / 3 0,5) 3	Я ч	U41	K46	20	60	24	12 {5} {+12 5 / 2 }
81 год	Большой дитригональный додецикосододекаэдр		Большой дитригональный додекакронный гексеконтаэдр		3 5 | 5 / 3	10 / 3 .3. 10 / 3 .5	Я ч	U42	K47	60	120	44 год	20 {3} + 12 {5} {+12 10 / 3 }
82	Малый дитригональный додецикосододекаэдр		Малый дитригональный додекакронный гексеконтаэдр		5 / 3 3 | 5	10. 5 / 3 .10.3	Я ч	U43	K48	60	120	44 год	20 {3} {+12 5 / 2 } + 12 {10}
83	Икосододекадодекаэдр		Медиальный икосакронный гексеконтаэдр		5 / 3 5 | 3	6. 5 / 3 .6.5	Я ч	U44	K49	60	120	44 год	12 {5} {+12 5 / 2 } + 20 {6}
84	Икосидодекаэдр (икосидодекаэдр)		Икосаэдр Тридьякиса		5 / 3 3 5 |	10 / 3 .6.10	Я ч	U45	K50	120	180	44 год	20 {6} + 12 {10} {+12 10 / 3 }
85	Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр (Quasirhombicuboctahedron)		Большой дельтовидный икоситетраэдр		+3 / 2 4 | 2	4. 3 / 2 .4.4	О ч	U17	K22	24	48	26 год	8 {3} + (6 + 12) {4}
86	Малый ромбогексаэдр		Маленький ромбогексакрон		+3 / 2 2 4 |	4.8. 4 / 3 .8	О ч	U18	K23	24	48	18	12 {4} +6 {8}
87	Большой дитригональный икосододекаэдр		Большой триамбический икосаэдр		3 / 2 | 3 5	(5.3.5.3.5.3) / 2	Я ч	U47	K52	20	60	32	20 {3} +12 {5}
88	Большой икосикосододекаэдр		Большой икосакронный гексеконтаэдр		3 / 2 5 | 3	6. 3 / 2 .6.5	Я ч	U48	K53	60	120	52	20 {3} +12 {5} +20 {6}
89	Малый икосигемидодекаэдр		Икосихемидодекакрон малый		3 / 2 3 | 5	10. 3 / 2 .10.3	Я ч	U49	K54	30	60	26 год	20 {3} +6 {10}
90	Малый додецикосаэдр		Малый додецикосакрон		3 / 2 3 5 |	10.6. 10 / 9 . 6 / 5	Я ч	U50	K55	60	120	32	20 {6} +12 {10}
91	Малый додекагемидодекаэдр		Малый додекагемидодекакрон		5 / 4 5 | 5	10. 5 / 4 .10.5	Я ч	U51	K56	30	60	18	12 {5} +6 {10}
92	Звездчатый усеченный шестигранник (Квазиусеченный шестигранник)		Большой триакис октаэдр		2 3 | 4 / 3	8 / 3 . 8 / 3 .3	О ч	U19	K24	24	36	14	8 {3} {+6 , 8 / 3 }
93	Большой усеченный кубооктаэдр (Квазиусеченный кубооктаэдр)		Большой додекаэдр дисьякиса		+4 / 3 2 3 |	8 / 3 .4.6	О ч	U20	K25	48	72	26 год	12 {4} +8 {6} {+6 , 8 / 3 }
94	Большой икосододекаэдр		Большой ромбический триаконтаэдр		2 | 5 / 2 3	( 5 / 2 .3) 2	Я ч	U54	K59	30	60	32	20 {3} {+12 5 / 2 }
95	Усеченный большой икосаэдр		Большой додекаэдр stellapentakis		2 5 / 2 | 3	6.6. 5 / 2	Я ч	U55	K60	60	90	32	12 { 5 / 2 } + 20 {6}
96	Ромбикосаэдр		Ромбикосакрон		2 +5 / 2 3 |	6.4. 6 / 5 . 4 / 3	Я ч	U56	K61	60	120	50	30 {4} +20 {6}
97	Малый звездчатый усеченный додекаэдр (Квазиусеченный малый звездчатый додекаэдр)		Большой додекаэдр пентаки		2 5 | 5 / 3	10 / 3 . 10 / 3 .5	Я ч	U58	K63	60	90	24	12 {5} {+12 10 / 3 }
98	Усеченный dodecadodecahedron (Quasitruncated додекаэдр)		Медиальный триаконтаэдр дисдякиса		5 / 3 2 5 |	10 / 3 .4.10	Я ч	U59	K64	120	180	54	30 {4} + 12 {10} {+12 10 / 3 }
99	Большой додецикосододекаэдр		Большой додекакронный гексеконтаэдр		+5 / +2 3 | 5 / 3	10 / 3 . 5 / 2 . 10 / 3 .3	Я ч	U61	K66	60	120	44 год	20 {3} {+12 5 / 2 } {+12 10 / 3 }
100	Малый додекагемикосаэдр		Малый додекагемикосакрон		5 / 3 5 / 2 | 3	6. 5 / 3 .6. 5 / 2	Я ч	U62	K67	30	60	22	12 { 5 / 2 } + 10 {6}
101	Большой додецикосаэдр		Додецикосакрон большой		5 / 3 5 / 2 3 |	6. 10 / 3 . 6 / 5 . 10 / 7	Я ч	U63	K68	60	120	32	20 {6} {+12 10 / 3 }
102	Большой додекагемикосаэдр		Великий додекагемикосакрон		5 / 4 5 | 3	6. 5 / 4 .6.5	Я ч	U65	K70	30	60	22	12 {5} +10 {6}
103	Большой ромбогексаэдр		Большой ромбогексакрон		4 / 3 3 / 2 2 |	4. 8 / 3 . 4 / 3 . 8 / 5	О ч	U21	K26	24	48	18	12 {4} {+6 , 8 / 3 }
104	Большой звездчатый усеченный додекаэдр (Квазиусеченный большой звездчатый додекаэдр)		Большой триакис икосаэдр		2 3 | 5 / 3	10 / 3 . 10 / 3 .3	Я ч	U66	K71	60	90	32	20 {3} {+12 10 / 3 }
105	Невыпуклый большой ромбоикосододекаэдр (Quasirhombicosidodecahedron)		Большой дельтовидный гексеконтаэдр		+5 / 3 3 | 2	4. 5 / 3 .4.3	Я ч	U67	K72	60	120	62	20 {3} : +30 {4} {+12 5 / 2 }
106	Большой икосигемидодекаэдр		Большой икосихемидодекакрон		3 3 | 5 / 3	10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3 .3	Я ч	U71	K76	30	60	26 год	20 {3} {+6 , 10 / 3 }
107	Большой додекагемидодекаэдр		Большой додекагемидодекакрон		5 / 3 5 / +2 | 5 / 3	10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3 . 5 / 2	Я ч	U70	K75	30	60	18	12 { 5 / 2 } {+6 , 10 / 3 }
108	Большой усеченный икосододекаэдр (Большой квазиусеченный икосододекаэдр)		Большой триаконтаэдр дисдякиса		5 / 3 2 3 |	10 / 3 .4.6	Я ч	U68	K73	120	180	62	30 {4} {6 + 20 + 12} { 10 / 3 }
109	Большой ромбидодекаэдр		Большой ромбидодекакрон		+3 / 2 +5 / +3 2 |	4. 10 / 3 . 4 / 3 . 10 / 7	Я ч	U73	K78	60	120	42	30 {4} {+12 10 / 3 }
110	Малый курносый икосикосододекаэдр		Малый гексагональный гексеконтаэдр		| 5 / 2 3 3	3.3.3.3.3. 5 / 2	Я ч	U32	K37	60	180	112	(40 + 60) {3} {+12 5 / 2 }
111	Курносый додекадодекаэдр		Средний пятиугольный гексеконтаэдр		| 2 5 / 2 5	3.3. 5 / 2 .3.5	я	U40	K45	60	150	84	60 {3} + 12 {5} {+12 5 / 2 }
112	Курносый икосододекадодекаэдр		Средний гексагональный гексеконтаэдр		| 5 / 3 3 5	3.3.3.3.5. 5 / 3	я	U46	K51	60	180	104	(20 + 6) {3} + 12 {5} {+12 5 / 2 }
113	Большой перевернутый курносый икосододекаэдр		Большой перевернутый пятиугольный гексеконтаэдр		| 5 / 3 2 3	3.3.3.3. 5 / 3	я	U69	K74	60	150	92	(20 + 60) {3} {+12 5 / 2 }
114	Перевернутый курносый додекадодекаэдр		Медиальный перевернутый пятиугольный гексеконтаэдр		| 5 / 3 2 5	3. 5 / 3 .3.3.5	я	U60	K65	60	150	84	60 {3} + 12 {5} {+12 5 / 2 }
115	Большой курносый додецикосододекаэдр		Большой гексагональный гексеконтаэдр		| 5 / 3 5 / 2 3	3. 5 / 3 .3. 5 / 2 .3.3	я	U64	K69	60	180	104	(20 + 60) {3} + (12 + 12) { 5 / 2 }
116	Большой курносый икосододекаэдр		Большой пятиугольный гексеконтаэдр		| 2 5 / 2 5 / 2	3.3.3.3. 5 / 2	я	U57	K62	60	150	92	(20 + 60) {3} {+12 5 / 2 }
117	Большой ретроснуб икосододекаэдр		Большой пентаграмматический гексеконтаэдр		| 3 / 2 5 / 3 2	(3.3.3.3. 5 / 2 ) / 2	я	U74	K79	60	150	92	(20 + 60) {3} {+12 5 / 2 }
118	Малый ретроснуб икосикосододекаэдр		Малый гексаграммный гексеконтаэдр		| 3 / 2 3 / 2 5 / 2	(3.3.3.3.3. 5 / 2 ) / 2	Я ч	U72	K77	180	60	112	(40 + 60) {3} {+12 5 / 2 }
119	Большой диромбикосододекаэдр		Большой дирхомбикосидодекакрон		| 3 / 2 5 / 3 3 5 / 2	(4. 5 / 3 .4.3.4. 5 / 2 .4. 3 / 2 ) / 2	Я ч	U75	K80	60	240	124	40 {3} + 60 {4} {+24 5 / 2 }

Смотрите также

• Список равномерных многогранников
• Пятьдесят девять икосаэдров
• Список многогранных звездчатых

использованная литература

• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09859-9.
  • Опечатки
    • В Веннингере фигура вершины для W90 неправильно отображается как имеющая параллельные ребра.
• Веннингер, Магнус (1979). Сферические модели . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29432-0.

внешние ссылки

• Магнус Дж. Веннингер
• Программное обеспечение, используемое для создания изображений в этой статье:
  • Stella: Polyhedron Navigator Stella (программное обеспечение) - Может создавать и печатать сети для всех моделей многогранников Веннингера.
  • Апплет Владимира Булатова "Многогранники-звездочки"
  • Апплет Владимира Булатова Polyhedra Stellations в виде приложения для OS X
• М. Веннингер, Модели многогранников , Исправления : известные ошибки в различных изданиях.