Шестигранник Тетракис - Tetrakis hexahedron

Шестигранник Тетракис
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Каталонский твердый
Диаграмма Кокстера
Обозначение Конвея	kC
Тип лица	V4.6.6 равнобедренный треугольник
Лица	24
Края	36
Вершины	14
Вершины по типу	6 {4} +8 {6}
Группа симметрии	O _h , B ₃ , [4,3], (* 432)
Группа вращения	О, [4,3] ⁺ , (432)
Двугранный угол	143 ° 07′48 ″ arccos (- 4 / 5 )
Свойства	выпуклый, гранно-транзитивный
Усеченный октаэдр ( двойственный многогранник )	Сеть

Двойное соединение из усеченного октаэдра и тетракисгексаэдра. Ксилография слева - из Perspectiva Corporum Regularium (1568 г.) Венцеля Ямницера .

Die и кристаллическая модель

Чертеж и модель кристалла варианта с тетраэдрической симметрией, называемого тетраэдром гексакиса.

В геометрии , A тетракис шестигранники (также известный как tetrahexahedron , hextetrahedron , тетракис куб , и kiscube ) является Каталонским твердым веществом . Его двойник - усеченный октаэдр , архимедово твердое тело .

Это также можно назвать disdyakis шестигранник или гексакис тетраэдр как двойной из omnitruncated тетраэдра .

Декартовы координаты

Декартовы координаты 14 вершин тетракисного шестигранника с центром в начале координат - это точки (± 3/2, 0, 0), (0, ± 3/2, 0), (0, 0, ± 3/2) и (± 1, ± 1, ± 1).

Длина более коротких ребер этого тетракис-гексаэдра равна 3/2, а длина более длинных ребер равна 2. Грани представляют собой острые равнобедренные треугольники. У них больший угол и два меньших равны . ${\ Displaystyle \ arccos (1/9) \ приблизительно 83.620 \, 629 \, 791 \, 56 ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ arccos (2/3) \ приблизительно 48.189 \, 685 \, 104 \, 22 ^ {\ circ}}$

Ортогональные проекции

Тетракисгексаэдр , двойной из усеченного октаэдра имеет 3 позиции симметрии, две расположенные на вершинах и один в середине края.

Ортогональные проекции
Проективная симметрия	[2]	[4]	[6]
Шестигранник Тетракис
Усеченный октаэдр

Использует

Природные ( кристаллические ) образования тетрагексаэдров наблюдаются в системах меди и флюорита .

Полиэдральные кости в форме , как тетракисгексаэдр иногда используются игроками .

24-клетки рассматриваются под вершиной первой перспективной проекции имеют поверхностную топологию тетракисгексаэдра и геометрические пропорции ромбического додекаэдра , с ромбическими гранями , разделенных на два треугольник.

Тетракис-шестигранник является одним из простейших примеров в теории строительства . Рассмотрим риманово симметрическое пространство, ассоциированное с группой SL ₄ ( R ) . Его граница Титса имеет структуру сферического здания , квартиры которого представляют собой двумерные сферы. Разделение этой сферы на сферические симплексы (камеры) можно получить, взяв радиальную проекцию тетракис-гексаэдра.

Симметрия

При T _d , [3,3] (* 332) тетраэдрической симметрии треугольные грани представляют 24 фундаментальных домена тетраэдрической симметрии. Этот многогранник можно построить из 6 больших окружностей на сфере. Его также можно увидеть по кубу, квадратные грани которого триангулированы по вершинам и центрам граней, и по тетраэдру, грани которого разделены вершинами, средними ребрами и центральной точкой.


Усеченный tetratetrahedron	Disdyakis шестигранники	Дельтоидальный додекаэдр	Ромбический шестигранник	Тетраэдр

Сферический многогранник

(см. вращающуюся модель )	Ортографические проекции с 2-х, 3-х и 4-х кратных осей

Края сферического тетракисгексаэдр принадлежит шесть больших кругов, которые соответствуют зеркальным плоскостям в тетраэдрической симметрии . Их можно сгруппировать в три пары ортогональных окружностей (каждая из которых обычно пересекается по одной координатной оси). На изображениях ниже эти квадратные хозоэдры окрашены в красный, зеленый и синий цвета.

Стереографические проекции
	2-кратный	3-кратный	4-кратный

Габаритные размеры

Если обозначить длину ребра базового куба через a , высота каждой вершины пирамиды над кубом будет равна а / 4 . Наклон каждой треугольной грани пирамиды относительно грани куба является арктангенсом ( 1 / 2 ), примерно 26,565 ° (последовательность A073000 в OEIS ). Один край равнобедренных треугольников имеет длину a , два других - длину 3 а / 4 , что следует из применения теоремы Пифагора к высоте и длине основания. Это дает высоту √ 5 а / 4 в треугольнике ( OEIS : A204188 ). Его площадь составляет √ 5 а / 8 , а внутренние углы - arccos ( 2 / 3 ) (приблизительно 48,1897 °) и дополнительные 180 ° - 2 arccos ( 2 / 3 ) (примерно 83,6206 °).

Объем пирамиды составляет а ³ / 12 ; таким образом, общий объем шести пирамид и куба в шестиграннике равен 3 а ³ / 2 .

Kleetope

Его можно рассматривать как куб с квадратными пирамидами, покрывающими каждую квадратную грань; то есть это Kleetope куба.

Кубическая пирамида

Это очень похоже на трехмерную сеть для четырехмерной кубической пирамиды , поскольку сетка для квадрата представляет собой квадрат с треугольниками, прикрепленными к каждому краю, сеть для кубической пирамиды представляет собой куб с квадратными пирамидами, прикрепленными к каждой грани.

Связанные многогранники и мозаики

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 ⁺ , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 ^1,1 }	т {3,4} т {3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr {4,3} s ₂ {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч ₂ {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 ^1,1 }

		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно

Двойники к однородным многогранникам
V4 ³	V3.8 ²	В (3,4) ²	V4.6 ²	V3 ⁴	V3.4 ³	V4.6.8	V3 ⁴ .4	V3 ³	V3.6 ²	V3 ⁵

* n 32 мутация симметрии усеченных мозаик : n .6.6 v т е
Сим. * n 42 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактный		Parac.	Некомпактный гиперболический
Сим. * n 42 [n, 3]	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3] ...	* ∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Усеченные фигуры
Конфиг.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
н-кис цифры
Конфиг.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Это многогранники в последовательности, определяемой конфигурацией граней V4.6.2 n . Эта группа особенная тем, что у нее есть все четное количество ребер на вершину и образуют биссектрисы, проходящие через многогранники и бесконечные прямые на плоскости, и переходят в гиперболическую плоскость для любого n ≥ 7.

С четным числом граней в каждой вершине эти многогранники и мозаики можно показать, чередуя два цвета, чтобы все смежные грани имели разные цвета.

Каждая грань на этих областях также соответствует фундаментальной области группы симметрии с зеркалами порядка 2, 3, n в каждой вершине треугольной грани.

* n 32 мутаций симметрии полностью усеченных мозаик : 4.6.2n v т е
Сим. * n 32 [ n , 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гиперболия.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
Сим. * n 32 [ n , 3]	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3]	* ∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Цифры
Конфиг.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duals
Конфиг.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i