Гипотеза Кеплера - Kepler conjecture

Гипотеза Кеплера , названная в честь математика и астронома 17-го века Иоганна Кеплера , представляет собой математическую теорему об упаковке сфер в трехмерном евклидовом пространстве . В нем говорится, что никакое устройство сфер одинакового размера, заполняющего пространство, не имеет большей средней плотности, чем у устройств плотной кубической упаковки ( гранецентрированный куб ) и гексагональной плотной упаковки . Плотность таких размещений составляет около 74,05%.

В 1998 году Томас Хейлз , следуя подходу, предложенному Фейесом Тотом (1953) , объявил, что у него есть доказательство гипотезы Кеплера. Доказательство Хейлза - это исчерпывающее доказательство, включающее проверку множества отдельных случаев с использованием сложных компьютерных вычислений. Рецензенты заявили, что они «на 99% уверены» в правильности доказательства Хейлза, и гипотеза Кеплера была принята как теорема . В 2014 году команда проекта Flyspeck во главе с Хейлсом объявила о завершении формального доказательства гипотезы Кеплера с использованием комбинации помощников Isabelle и HOL Light . В 2017 году формальное доказательство было принято журналом Forum of Mathematics, Pi .

Фон

Диаграммы плотной кубической упаковки (слева) и гексагональной плотной упаковки (справа).

Представьте, что вы заполняете большой контейнер маленькими сферами одинакового размера: скажем, кувшин на галлон из фарфора с одинаковыми шариками. «Плотность» композиции равна общему объему всех шариков, деленному на объем кувшина. Максимально увеличить количество шариков в кувшине означает создать расположение шариков, уложенных между сторонами и дном кувшина, которое имеет максимально возможную плотность, чтобы шарики были упакованы вместе как можно ближе.

Эксперимент показывает, что при случайном размещении шариков без усилий их плотно уложить можно достичь плотности около 65%. Однако более высокой плотности можно добиться, аккуратно расположив шарики следующим образом:

  1. Для первого слоя мрамора расположите их в виде шестиугольной решетки ( узор в виде сот ).
  2. Поместите следующий слой шариков в самые нижние промежутки, которые вы можете найти выше и между шариками первого слоя, независимо от рисунка.
  3. Продолжайте ту же процедуру заполнения самых нижних промежутков в предыдущем слое, для третьего и оставшихся слоев, пока шарики не достигнут верхнего края кувшина.

На каждом этапе есть по крайней мере два варианта размещения следующего слоя, поэтому этот незапланированный метод укладки сфер создает несчетное количество упаковок одинаковой плотности. Наиболее известные из них называются плотной кубической упаковкой и гексагональной плотной упаковкой . Каждая из этих схем имеет среднюю плотность

Гипотеза Кеплера гласит, что это лучшее, что можно сделать - никакое другое расположение шариков не имеет более высокой средней плотности: несмотря на то, что существует поразительно много различных возможных расположений, которые следуют той же процедуре, что и шаги 1–3, упаковки нет (согласно процедура или нет) может вместить больше шариков в тот же кувшин.

Происхождение

Одна из диаграмм из Strena Seu de Nive Sexangula , иллюстрирующая гипотезу Кеплера.

Гипотеза впервые была высказана Иоганном Кеплером  ( 1611 г. ) в его статье «О шестиугольной снежинке». Он начал изучать расположение сфер в результате своей переписки с английским математиком и астрономом Томасом Харриотом в 1606 году. Харриот был другом и помощником сэра Уолтера Рэли , который поставил Харриот задачу определить, как лучше всего складывать пушечные ядра на палубы его кораблей. Харриот опубликовал исследование различных схем укладки в 1591 году и продолжил разработку ранней версии атомной теории .

Девятнадцатый век

У Кеплера не было доказательства гипотезы, и следующий шаг был сделан Карлом Фридрихом Гауссом  ( 1831 г. ), который доказал, что гипотеза Кеплера верна, если сферы должны быть расположены в регулярной решетке .

Это означало, что любая упаковка, опровергающая гипотезу Кеплера, должна быть неправильной. Но исключить все возможные нерегулярные схемы очень сложно, и именно поэтому гипотеза Кеплера так трудно доказать. Фактически, существуют нерегулярные устройства, более плотные, чем кубические, плотно упакованные в достаточно небольшом объеме, но теперь известно, что любая попытка расширить эти устройства для заполнения большего объема всегда приводит к уменьшению их плотности.

После Гаусса в девятнадцатом веке не было достигнуто никакого дальнейшего прогресса в доказательстве гипотезы Кеплера. В 1900 году Дэвид Гильберт включил ее в свой список из двадцати трех нерешенных проблем математики - это часть восемнадцатой проблемы Гильберта .

Двадцатый век

Следующий шаг к решению был сделан Ласло Фейес Тот . Фейес Тот (1953) показал, что задача определения максимальной плотности всех расположений (регулярных и нерегулярных) может быть сведена к конечному (но очень большому) количеству вычислений. Это означало, что доказательство путем исчерпания в принципе возможно. Как понял Фейес Тот, достаточно быстрый компьютер может превратить этот теоретический результат в практический подход к проблеме.

Тем временем были предприняты попытки найти верхнюю границу максимальной плотности любого возможного расположения сфер. Английский математик Клод Амброуз Роджерс (см. Rogers (1958) ) установил верхнюю границу около 78%, и последующие усилия других математиков немного снизили это значение, но это все равно было намного больше, чем кубическая плотность плотной упаковки около 74%.

В 1990 году У-И Сян утверждал, что доказал гипотезу Кеплера. Доказательство было высоко оценено Британской энциклопедией и наукой, а Сян был также удостоен чести на совместных заседаниях AMS-MAA. Ву-И Сян ( 1993 , 2001 ) утверждал, что доказал гипотезу Кеплера с помощью геометрических методов. Однако Габор Фейес Тот (сын Ласло Фейеса Тота) заявил в своем обзоре статьи: «Что касается деталей, я считаю, что многие ключевые утверждения не имеют приемлемых доказательств». Хейлз (1994) дал подробную критику работы Сян, на что ответил Сян (1995) . Сегодняшний консенсус состоит в том, что доказательство Сяна является неполным.

Доказательство Хейлза

Следуя подходу, предложенному Фейесом Тотом (1953) , Томас Хейлз, работавший тогда в Мичиганском университете , определил, что максимальная плотность всех расположений может быть найдена путем минимизации функции со 150 переменными. В 1992 году при содействии своего аспиранта Сэмюэля Фергюсона он приступил к исследовательской программе по систематическому применению методов линейного программирования, чтобы найти нижнюю границу значения этой функции для каждой из более чем 5000 различных конфигураций сфер. Если бы нижняя граница (для значения функции) могла быть найдена для каждой из этих конфигураций, которая была бы больше, чем значение функции для кубической конструкции с плотной упаковкой, то гипотеза Кеплера была бы доказана. Для нахождения оценок снизу для всех случаев было решено около 100 000 задач линейного программирования.

Представляя прогресс своего проекта в 1996 году, Хейлз сказал, что конец близок, но для его завершения может потребоваться «год или два». В августе 1998 года Хейлз объявил, что доказательство завершено. На тот момент он состоял из 250 страниц заметок и 3 гигабайта компьютерных программ, данных и результатов.

Несмотря на необычный характер доказательства, редакторы Annals of Mathematics согласились опубликовать его при условии, что оно будет принято группой из двенадцати рецензентов. В 2003 году, после четырех лет работы, глава судейской коллегии Габор Фейес Тот сообщил, что комиссия «на 99% уверена» в правильности доказательства, но не может подтвердить правильность всех компьютерных расчетов. .

Хейлз (2005) опубликовал 100-страничную статью, в которой подробно описывалась некомпьютерная часть его доказательства. Хейлз и Фергюсон (2006) и несколько последующих статей описали вычислительные части. Хейлз и Фергюсон получили премию Фулкерсона за выдающиеся работы в области дискретной математики за 2009 год.

Формальное доказательство

В январе 2003 года Хейлз объявил о начале совместного проекта по созданию полного формального доказательства гипотезы Кеплера. Цель заключалась в том, чтобы устранить любую оставшуюся неуверенность в достоверности доказательства путем создания формального доказательства, которое можно проверить с помощью программного обеспечения для автоматической проверки доказательств, такого как HOL Light и Isabelle . Этот проект называется Flyspeck - буквы F, P и K означают формальное доказательство Кеплера . По оценке Хейлза, для получения полного формального доказательства потребуется около 20 лет работы. Хейлз впервые опубликовал «план» формального доказательства в 2012 году; О завершении проекта было объявлено 10 августа 2014 года. В январе 2015 года Хейлз и 21 сотрудник представили в arXiv документ под названием «Формальное доказательство гипотезы Кеплера» , утверждая, что гипотеза доказана. В 2017 году формальное доказательство было принято в журнал Forum of Mathematics .

Связанные проблемы

Теорема Туэ
Самая плотная упаковка кругов на плоскости - это правильная шестиугольная упаковка (1890 г.). Плотность π12 .
Двумерный аналог гипотезы Кеплера; доказательство элементарно. Хенк и Циглер приписывают этот результат Лагранжу 1773 г. (см. Ссылки, стр. 770).
Простое доказательство Чау и Чанга из 2010 года использует триангуляцию Делоне для набора точек, которые являются центрами окружностей в насыщенной упаковке кругов.
Гипотеза о шестиугольных сотах
Наиболее эффективное разбиение плоскости на равные площади - правильная шестиугольная мозаика.
Связано с теоремой Туэ.
Додекаэдрическая гипотеза
Объем многогранника Вороного сферы в упаковке равных сфер равен, по крайней мере, объему правильного додекаэдра с радиусом 1. Доказательство Маклафлина, за которое он получил Премию Моргана 1999 года .
Связанная проблема, в доказательстве которой используются методы, аналогичные доказательству Хейлза гипотезы Кеплера. Гипотеза Л. Фейеса Тота в 1950-е гг.
Проблема Кельвина
Какая пена самая эффективная в 3-х измерениях? Предполагалось , что эта проблема решена структурой Кельвина , и это было широко распространено в течение более 100 лет, пока не было опровергнуто в 1993 году открытием структуры Вира-Фелана . Удивительное открытие структуры Вира – Фелана и опровержение гипотезы Кельвина - одна из причин, по которым осторожно следует принимать доказательство Хейлза гипотезы Кеплера.
Упаковка сфер в более высоких измерениях
В 2016 году Марина Вязовская объявила о доказательствах оптимальной упаковки сфер в размерностях 8 и 24. Однако вопрос об оптимальной упаковке сфер в измерениях, отличных от 1, 2, 3, 8 и 24, все еще открыт.
Гипотеза Улама об упаковке
Неизвестно, существует ли выпуклое твердое тело, оптимальная плотность упаковки которого меньше плотности упаковки шара.

использованная литература

Публикации

внешние ссылки