Проективное разнообразие - Projective variety

В алгебраической геометрии , А проективное многообразие над алгебраически замкнутым полем к является подмножеством некоторого проективного п - пространства над к , что является нулевым локусом некоторого конечного семейства однородных многочленов от п + 1 переменных с коэффициентами в к , которые генерируют главный идеал , определяющий идеал всего разнообразия. Эквивалентно, алгебраическое многообразие проективно, если оно может быть вложено как замкнутое подмногообразие Зарисского в . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

Проективное многообразие называется проективной кривой, если его размерность равна единице; это проективная поверхность, если ее размерность равна двум; это проективная гиперповерхность, если ее размерность на единицу меньше размерности содержащего проективного пространства; в данном случае это набор нулей одного однородного многочлена .

Если X - проективное многообразие, определяемое однородным первичным идеалом I , то факторкольцо

${\ Displaystyle к [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] / I}$

называются однородное координатное кольцо из X . Основные инварианты X, такие как степень и размерность, можно прочитать из полинома Гильберта этого градуированного кольца .

Проективные многообразия возникают по-разному. Они полны , что грубо можно выразить, сказав, что нет «недостающих» точек. Обратное в общем случае неверно, но лемма Чоу описывает тесную связь этих двух понятий. Показано , что многообразие проективно осуществляется путем изучения пучков линий или делителей на X .

Отличительной чертой проективных многообразий являются ограничения конечности когомологий пучков. Для гладких проективных многообразий двойственность Серра можно рассматривать как аналог двойственности Пуанкаре . Это также приводит к теореме Римана-Роха для проективных кривых, т. Е. Проективных многообразий размерности 1. Теория проективных кривых особенно богата, включая классификацию по родам кривой. Программа классификации многомерных проективных многообразий естественным образом приводит к построению модулей проективных многообразий. Схемы Гильберта параметризуют замкнутые подсхемы с заданным многочленом Гильберта. Схемы Гильберта, грассманианы которых являются частными случаями, также являются проективными схемами сами по себе. Геометрическая теория инвариантов предлагает другой подход. К классическим подходам относятся пространство Тейхмюллера и разновидности Чжоу . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

Особенно богатая теория, восходящая к классике, доступна для сложных проективных многообразий, т. Е. Когда многочлены, определяющие X, имеют комплексные коэффициенты. В общем, принцип GAGA говорит, что геометрия проективных комплексных аналитических пространств (или многообразий) эквивалентна геометрии проективных комплексных многообразий. Например, теория голоморфных векторных расслоений (в более общем смысле когерентных аналитических пучков ) на X совпадает с теорией алгебраических векторных расслоений. Теорема Чоу гласит, что подмножество проективного пространства является множеством нулей семейства голоморфных функций тогда и только тогда, когда оно является множеством нулей однородных многочленов. Комбинация аналитических и алгебраических методов для сложных проективных многообразий приводит к таким областям, как теория Ходжа .

Разновидность и схемотехника

Структура сорта

Пусть k - алгебраически замкнутое поле. В основе определения проективных многообразий лежит проективное пространство , которое можно определять разными, но эквивалентными способами: ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

• как набор всех прямых, проходящих через начало координат в (т. е. все одномерные векторные подпространства )${\ Displaystyle к ^ {п + 1}}$${\ Displaystyle к ^ {п + 1}}$
• как набор кортежей , не все из которых равны нулю, по модулю отношения эквивалентности${\ displaystyle (x_ {0}, \ dots, x_ {n}) \ in k ^ {n + 1}}$${\ displaystyle x_ {0}, \ dots, x_ {n}}$
  $${\ displaystyle (x_ {0}, \ dots, x_ {n}) \ sim \ lambda (x_ {0}, \ dots, x_ {n})}$$

  
  для любого . Класс эквивалентности такого набора обозначается через${\ Displaystyle \ лямбда \ в к \ setminus \ {0 \}}$
  $${\ displaystyle [x_ {0}: \ dots: x_ {n}].}$$

  
  Этот класс эквивалентности является общей точкой проективного пространства. Числа называются однородными координатами точки.${\ displaystyle x_ {0}, \ dots, x_ {n}}$

Проективное многообразие , по определению, замкнутое подмногообразие , где замкнутый относится к топологии Зарисской . В общем, замкнутые подмножества топологии Зарисского определяются как общее множество нулей конечного набора однородных полиномиальных функций. Для полинома условие ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle f \ in k [x_ {0}, \ dots, x_ {n}]}$

${\ displaystyle f ([x_ {0}: \ dots: x_ {n}]) = 0}$

не имеет смысла для произвольных полиномов, но только тогда , когда е является однородным , т.е. степени всех одночленов (сумма которых равна е ) одинаковы. В этом случае исчезновение

${\ displaystyle f (\ lambda x_ {0}, \ dots, \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^ {\ deg f} f (x_ {0}, \ dots, x_ {n})}$

не зависит от выбора . ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$

Следовательно, проективные многообразия возникают из однородных первичных идеалов I из , и полагая ${\ Displaystyle к [х_ {0}, \ точки, х_ {п}]}$

${\ displaystyle X = \ left \ {[x_ {0}: \ dots: x_ {n}] \ in \ mathbb {P} ^ {n}, f ([x_ {0}: \ dots: x_ {n} ]) = 0 {\ text {для всех}} f \ in I \ right \}.}$

Более того, проективное многообразие X является алгебраическим многообразием, что означает, что оно покрывается открытыми аффинными подмногообразиями и удовлетворяет аксиоме отделимости. Таким образом, локальное изучение X (например, особенности) сводится к изучению аффинного многообразия. Явная структура выглядит следующим образом. Проективное пространство покрывается стандартными открытыми аффинными картами ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle U_ {i} = \ {[x_ {0}: \ dots: x_ {n}], x_ {i} \ neq 0 \},}$

которые сами являются аффинными n -пространствами с координатным кольцом

${\ displaystyle k \ left [y_ {1} ^ {(i)}, \ dots, y_ {n} ^ {(i)} \ right], \ quad y_ {j} ^ {(i)} = x_ { j} / x_ {i}.}$

Скажем, i = 0 для простоты обозначений, и опустим верхний индекс (0). Тогда есть замкнутое подмногообразие в, определяемое идеалом в, порожденное ${\ displaystyle X \ cap U_ {0}}$${\ Displaystyle U_ {0} \ simeq \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ Displaystyle к [y_ {1}, \ dots, y_ {n}]}$

${\ displaystyle f (1, y_ {1}, \ dots, y_ {n})}$

для всех е в I . Таким образом, X - алгебраическое многообразие, покрываемое ( n +1) открытыми аффинными картами . ${\ displaystyle X \ cap U_ {i}}$

Обратите внимание, что X - это замыкание аффинного многообразия в . Наоборот, начиная с некоторого замкнутого (аффинного) многообразия , замыкание V in является проективным многообразием, называемым${\ displaystyle X \ cap U_ {0}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle V \ подмножество U_ {0} \ simeq \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ проективное пополнение изV. ЕслиопределяетV, то определяющий идеал этого замыкания является однородным идеалом,порожденным ${\ Displaystyle I \ подмножество к [y_ {1}, \ dots, y_ {n}]}$${\ Displaystyle к [х_ {0}, \ точки, х_ {п}]}$

${\ displaystyle x_ {0} ^ {\ deg (f)} f (x_ {1} / x_ {0}, \ dots, x_ {n} / x_ {0})}$

для всех е в I .

Например, если V - аффинная кривая, заданная, скажем, на аффинной плоскости, то ее проективное пополнение в проективной плоскости задается формулой${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}$${\ displaystyle y ^ {2} z = x ^ {3} + axz ^ {2} + bz ^ {3}.}$

Проективные схемы

Для различных приложений необходимо рассматривать более общие алгебро-геометрические объекты, чем проективные многообразия, а именно проективные схемы. Первым шагом к проективным схемам является наделение проективного пространства структурой схемы, в некотором смысле уточняющей приведенное выше описание проективного пространства как алгебраического многообразия, т. Е. Схема, которая представляет собой объединение ( n + 1) копий аффинное n -пространство k ⁿ . В более общем смысле, проективное пространство над кольцом A - это объединение аффинных схем ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (к)}$

${\ displaystyle U_ {i} = \ operatorname {Spec} A [x_ {1} / x_ {i}, \ dots, x_ {n} / x_ {i}], \ quad 0 \ leq i \ leq n,}$

Таким образом, переменные совпадают, как и ожидалось. Множество замкнутых точек зрения , для алгебраически замкнутых полей к , тогда проективного пространства в обычном смысле этого слова. ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (к)}$

Эквивалентная, но упрощенная конструкция дается конструкцией Proj , которая является аналогом спектра кольца , обозначаемого "Spec", который определяет аффинную схему . Например, если A - кольцо, то

${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {A} ^ {n} = \ operatorname {Proj} A [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}].}$

Если R представляет собой частное от однородной идеальной I , то каноническая сюръекция индуцирует замкнутое вложение${\ Displaystyle к [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$

${\ displaystyle \ operatorname {Proj} R \ hookrightarrow \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}.}$

По сравнению с проективными многообразиями условие, что идеал I является первичным идеалом, было снято. Это приводит к гораздо более гибкому представлению: с одной стороны, топологическое пространство может иметь несколько неприводимых компонентов . Более того, на X могут быть нильпотентные функции . ${\ displaystyle X = \ operatorname {Proj} R}$

Замкнутые подсхемы в биективно соответствуют однородным идеалам I из которых насыщены ; т.е. этот факт можно рассматривать как уточненную версию проективного Nullstellensatz . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle к [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle I: (x_ {0}, \ dots, x_ {n}) = I.}$

Мы можем дать бескоординатный аналог вышеизложенного. А именно, для данного конечномерного векторного пространства V над k положим

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (V) = \ OperatorName {Proj} k [V]}$

где есть симметричная алгебра из . Это проективизация из V ; т.е. параметризует линии в V . Существует каноническая сюръективная карта , которая определяется с помощью диаграммы, описанной выше. Это одно из важных применений конструкции (см. § Двойственность и линейная система ). Делитель D на проективное многообразие X соответствует линейному расслоению L . Затем установите ${\ Displaystyle к [V] = \ OperatorName {Sym} (V ^ {*})}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle \ pi: V \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {P} (V)}$

${\ Displaystyle | D | = \ mathbb {P} (\ Gamma (X, L))}$;

это называется полная линейная система из D .

Проективное пространство над любой схемой S можно определить как послойное произведение схем

${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {S} ^ {n} = \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n} \ times _ {\ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}} S .}$

Если есть на скручивание пучка Серры на , мы сдаем обозначим откат от до ; то есть для канонического отображения${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}} ^ {п}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1) = г ^ {*} ({\ mathcal {O}} (1))}$${\ displaystyle g: \ mathbb {P} _ {S} ^ {n} \ to \ mathbb {P} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n}.}$

Схема X → S называется проективной над S, если она факторизуется как замкнутое погружение.

${\ displaystyle X \ to \ mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$

а затем проекции на S .

Линейное расслоение (или обратимый пучок) на схеме X над S называется очень обильным относительно S, если имеет место погружение (т. Е. Открытое погружение с последующим закрытым погружением). ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle i: X \ to \ mathbb {P} _ {S} ^ {n}}$

для некоторого п , так что откаты к . Тогда S -схема X проективен тогда и только тогда , когда она собственно и существует очень обильный пучок на X относительно S . В самом деле, если X собственно, то погружение, соответствующее очень обильному линейному расслоению, обязательно будет замкнутым. Наоборот, если X проективно, то обратный образ при замкнутом погружении X в проективное пространство очень обилен. То, что «проективный» подразумевает «собственное», глубже: основная теорема теории исключения . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (1)}$

Отношение к полным разновидностям

По определению многообразие является полным , если оно собственно над k . Критерий ценностен из собствена выражает интуицию , что в собственном многообразии, нет никаких точек «отсутствует».

Между полными и проективными многообразиями существует тесная связь: с одной стороны, проективное пространство и, следовательно, любое проективное многообразие полно. Обратное в общем случае неверно. Тем не мение:

• Гладкая кривая С проективна тогда и только тогда , когда она завершена . Это подтверждается путем идентификации C с множеством колец дискретного нормирования в функции поля к ( С ) по сравнению с K . Это множество имеет естественную топологию Зарисского, называемую пространством Зарисского – Римана .
• Лемма Ая утверждает , что для любого полного многообразия X , существует проективное многообразие Z и бирациональный морфизм Z → X . (Более того, с помощью нормализации можно считать это проективное многообразие нормальным.)

Некоторые свойства проективного многообразия следуют из полноты. Например,

${\ displaystyle \ Gamma (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = k}$

для любого проективного многообразия X над k . Этот факт является алгебраическим аналогом теоремы Лиувилля (любая голоморфная функция на связном компактном комплексном многообразии постоянна). Фактически, сходство между комплексной аналитической геометрией и алгебраической геометрией на комплексных проективных многообразиях идет намного дальше этого, как объясняется ниже.

Квазипроективные многообразия - это, по определению, открытые подмногообразия проективных многообразий. Этот класс разновидностей включает аффинные разновидности . Аффинные многообразия почти никогда не бывают полными (или проективными). Фактически, проективное подмногообразие аффинного многообразия должно иметь нулевую размерность. Это потому, что только константы являются глобально регулярными функциями на проективном многообразии.

Примеры и основные инварианты

По определению любой однородный идеал в кольце многочленов порождает проективную схему (требуется, чтобы он был простым идеалом, чтобы дать многообразие). В этом смысле примеров проективных многообразий предостаточно. В следующем списке упоминаются различные классы проективных многообразий, которые заслуживают внимания, поскольку они изучались особенно интенсивно. Важный класс комплексных проективных многообразий, т. Е. Случай , обсуждается ниже. ${\ Displaystyle к = \ mathbb {C}}$

Произведение двух проективных пространств проективно. Фактически, существует явное погружение (называемое встраиванием Сегре )

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {P} ^ {n} \ times \ mathbb {P} ^ {m} \ to \ mathbb {P} ^ {(n + 1) (m + 1) -1 } \\ (x_ {i}, y_ {j}) \ mapsto x_ {i} y_ {j} \ end {case}}}$

Как следствие, произведение проективных многообразий над k снова проективно. Вложение Плюккерово обладает грассманианом как проективное многообразие. Многообразия флагов, такие как фактор общей линейной группы по подгруппе верхнетреугольных матриц , также являются проективными, что является важным фактом в теории алгебраических групп . ${\ Displaystyle \ mathrm {GL} _ {п} (к)}$

Однородное координатное кольцо и многочлен Гильберта

Поскольку первичный идеал P, определяющий проективное многообразие X , однороден, однородное координатное кольцо

${\ Displaystyle R = К [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] / P}$

представляет собой градуированное кольцо , т. е. может быть выражено как прямая сумма его градуированных компонентов:

${\ displaystyle R = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} R_ {n}.}$

Существует многочлен P такой, что для всех достаточно больших n ; это называется многочлен Гильберта от X . Это является числовым инвариантом , кодирующий некоторую внешнюю геометрию X . Степень Р является размерностью г из X и его ведущие раз коэффициента г! является степень многообразия X . Арифметический род из Х представляет собой (-1) ^г ( Р (0) - 1) , когда Х является гладким. ${\ Displaystyle \ тусклый R_ {п} = п (п)}$

Например, однородное координатное кольцо is и его многочлен Гильберта равен ; его арифметический род равен нулю. ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle к [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle Р (г) = {\ БИНОМ {г + п} {п}}}$

Если однородное координатное кольцо R является целозамкнутой областью , то проективное многообразие X называется проективно нормальным . Обратите внимание, в отличие от нормальности , проективная нормальность зависит от R , вложения X в проективное пространство. Нормализация проективного многообразия проективна; на самом деле, это Рго интегрального закрытия некоторого однородного координатного кольца из X .

Степень

Позвольте быть проективным многообразием. Есть по крайней мере два эквивалентных способа определить степень X относительно его вложения. Первый способ - определить его как мощность конечного множества ${\ Displaystyle X \ подмножество \ mathbb {P} ^ {N}}$

${\ displaystyle \ # (X \ cap H_ {1} \ cap \ cdots \ cap H_ {d})}$

где d - размерность X, а H _i - гиперплоскости в «общих положениях». Это определение соответствует интуитивному представлению о степени. Действительно, если X гиперповерхность, то степень X является степень однородного многочлена , определяющего X . «Общие положения» можно уточнить, например, с помощью теории пересечений ; требуется, чтобы пересечение было собственным и чтобы все кратности неприводимых компонент были равны единице.

Другое определение, упомянутое в предыдущем разделе, состоит в том, что степень X является старшим коэффициентом многочлена Гильберта от X раз (dim X ) !. Геометрический это определение означает , что степень X является кратностью вершины аффинного конус над X .

Пусть - замкнутые подсхемы чистых размерностей, которые правильно пересекаются (они находятся в общем положении). Если m _i обозначает кратность неприводимой компоненты Z _i в пересечении (т. Е. Кратность пересечения ), то обобщение теоремы Безу гласит: ${\ Displaystyle V_ {1}, \ точки, V_ {r} \ subset \ mathbb {P} ^ {N}}$

${\ displaystyle \ sum _ {1} ^ {s} m_ {i} \ deg Z_ {i} = \ prod _ {1} ^ {r} \ deg V_ {i}.}$

Кратность пересечения м _я могу быть определен как коэффициент Z _I в продукте пересечения в кольце Чжоу из . ${\ Displaystyle V_ {1} \ cdot \ cdots \ cdot V_ {r}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {N}}$

В частности, если - гиперповерхность, не содержащая X , то ${\ Displaystyle H \ подмножество \ mathbb {P} ^ {N}}$

${\ displaystyle \ sum _ {1} ^ {s} m_ {i} \ deg Z_ {i} = \ deg (X) \ deg (H)}$

где Z _я неприводимые компоненты теоретико-схемного пересечения с X и H с кратностью (длина локального кольца) т _I .

Комплексное проективное многообразие можно рассматривать как компактное комплексное многообразие ; степень многообразия (относительно вложения) тогда является объемом многообразия как многообразия относительно метрики, унаследованной от объемлющего комплексного проективного пространства . Сложное проективное многообразие можно охарактеризовать как минимизатор объема (в определенном смысле).

Кольцо секций

Пусть X - проективное многообразие, а L - линейное расслоение на нем. Тогда градуированное кольцо

${\ Displaystyle R (X, L) = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} H ^ {0} (X, L ^ {\ otimes n})}$

называется кольцо секций из L . Если L является достаточно , то Рго этого кольца Х . Более того, если X нормально, а L очень обильно, то является целым замыканием однородного координатного кольца X, определяемого L ; то есть, так что наложенная-спина к L . ${\ Displaystyle R (X, L)}$${\ Displaystyle X \ hookrightarrow \ mathbb {P} ^ {N}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {N}} (1)}$

Для приложений полезно разрешить делители (или -дивизоры), а не только линейные пучки; в предположении, что X нормально, полученное кольцо называется обобщенным кольцом секций. Если - канонический дивизор на X , то обобщенное кольцо сечений ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle K_ {X}}$

${\ Displaystyle R (X, K_ {X})}$

называется каноническим кольцо из X . Если каноническое кольцо конечно порождено, то Рго кольца называется каноническая модель из X . Каноническое кольцо или модель может быть использовано , чтобы определить размерность Кодаиров из X .

Проективные кривые

Проективные схемы размерности один называются проективными кривыми . Большая часть теории проективных кривых посвящена гладким проективным кривым, поскольку особенности кривых могут быть разрешены с помощью нормализации , которая состоит в локальном взятии целого замыкания кольца регулярных функций. Гладкие проективные кривые изоморфны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны. Изучение конечных расширений

${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} (т),}$

или эквивалентно гладкие проективные кривые над - важная ветвь алгебраической теории чисел . ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$

Гладкая проективная кривая рода один называется эллиптической кривой . Как следствие теоремы Римана-Роха такая кривая вкладывается как замкнутое подмногообразие в . В общем, любая (гладкая) проективная кривая может быть вложена в (доказательство см. Многообразие секущих # Примеры ). Наоборот, любая гладкая замкнутая кривая в степени три имеет род один по формуле рода и, таким образом, является эллиптической кривой. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$

Гладкая полная кривая рода больше или равного двум называется гиперэллиптической кривой, если существует конечный морфизм степени два. ${\ displaystyle C \ to \ mathbb {P} ^ {1}}$

Проективные гиперповерхности

Каждое неприводимое замкнутое подмножество коразмерности один является гиперповерхностью ; т. е. нулевое множество некоторого однородного неприводимого многочлена. ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

Абелевы разновидности

Другой важный инвариантом проективного многообразия X является группой Пикара из X , множество классов изоморфизма линейных расслоений на X . Оно изоморфно и, следовательно, является внутренним понятием (не зависящим от вложения). Например, группа Пикара изоморфна через отображение степени. Ядро не только абстрактная абелева группа, но существует множество называется якобиевое многообразием из X , Jac ( X ), точки которого равна этой группа. Якобиан (гладкой) кривой играет важную роль при изучении кривой. Например, якобиан эллиптической кривой E - это сам E. Для кривой X рода g Jac ( X ) имеет размерность g . ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X)}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*})}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ deg: \ OperatorName {Pic} (X) \ to \ mathbb {Z}}$

Многообразия, такие как якобиево, которые являются полными и имеют групповую структуру, известны как абелевы многообразия в честь Нильса Абеля . В отличие от аффинных алгебраических групп, таких как , такие группы всегда коммутативны, отсюда и название. Более того, они допускают обильное линейное расслоение и, таким образом, являются проективными. С другой стороны, абелева схема не может быть проективной. Примерами абелевых многообразий являются эллиптические кривые, якобиевы многообразия и K3-поверхности . ${\ Displaystyle GL_ {п} (к)}$

Прогнозы

Позвольте быть линейным подпространством; т.е. для некоторых линейно независимых линейных функционалов s _i . Тогда проекция из E - это (корректно определенный) морфизм ${\ Displaystyle E \ подмножество \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle E = \ {s_ {0} = s_ {1} = \ cdots = s_ {r} = 0 \}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ phi: \ mathbb {P} ^ {n} -E \ to \ mathbb {P} ^ {r} \\ x \ mapsto [s_ {0} (x): \ cdots : s_ {r} (x)] \ end {case}}}$

Геометрическое описание этой карты следующее:

• Мы считаем так , что она не пересекается с Е . Тогда для любого ,${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {r} \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle х \ in \ mathbb {P} ^ {n} \ setminus E}$
  $${\ displaystyle \ phi (x) = W_ {x} \ cap \ mathbb {P} ^ {r},}$$

  
  где обозначает наименьшее линейное пространство , содержащее Е и х ( так называемый присоединиться из Е и х .)${\ displaystyle W_ {x}}$
• ${\ displaystyle \ phi ^ {- 1} (\ {y_ {i} \ neq 0 \}) = \ {s_ {i} \ neq 0 \},}$где - однородные координаты на${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {r}.}$
• Для любой замкнутой подсхемы, не пересекающейся с E , ограничение является конечным морфизмом .${\ Displaystyle Z \ подмножество \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle \ phi: Z \ to \ mathbb {P} ^ {r}}$

Проекции можно использовать, чтобы сократить размерность, в которую вложено проективное многообразие, с точностью до конечных морфизмов . Начнем с некоторого проективного многообразия. Если проекция из точки не на X дает Кроме того, это конечное отображение на его образ. Таким образом, повторяя процедуру, можно увидеть, что существует конечное отображение ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}.}$${\ displaystyle n> \ dim X,}$${\ displaystyle \ phi: X \ to \ mathbb {P} ^ {n-1}.}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle X \ to \ mathbb {P} ^ {d}, \ quad d = \ dim X.}$

Этот результат является проективным аналогом леммы Нётер о нормализации . (Фактически, это дает геометрическое доказательство леммы о нормализации.)

Эту же процедуру можно использовать, чтобы показать следующий несколько более точный результат: для данного проективного многообразия X над совершенным полем существует конечный бирациональный морфизм из X в гиперповерхность H в В частности, если X нормально, то это нормализация H . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {d + 1}.}$

Двойственность и линейная система

В то время как проективное n -пространство параметризует прямые в аффинном n- пространстве, двойственное к нему параметризует гиперплоскости на проективном пространстве следующим образом. Зафиксируем поле k . Под мы понимаем проективное n -пространство ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n} = \ operatorname {Proj} (k [u_ {0}, \ dots, u_ {n}])}$

оборудован конструкцией:

${\ displaystyle f \ mapsto H_ {f} = \ {\ alpha _ {0} x_ {0} + \ cdots + \ alpha _ {n} x_ {n} = 0 \}}$, гиперплоскость на ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {L} ^ {n}}$

где представляет собой L - точечное из для расширения поля L от к и${\ displaystyle f: \ operatorname {Spec} L \ to {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i} = f ^ {*} (u_ {i}) \ in L.}$

Для каждого L конструкция представляет собой биекцию между множеством L- точек и множеством гиперплоскостей на . По этой причине двойственное проективное пространство называется пространством модулей гиперплоскостей на . ${\ Displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {L} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$

Линия в называется карандашом : это семейство гиперплоскостей, параметризованных с помощью . ${\ Displaystyle {\ breve {\ mathbb {P}}} _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {1}}$

Если V - конечномерное векторное пространство над k , то по той же причине, что и выше, является пространством гиперплоскостей на . Важный случай - это когда V состоит из участков линейного пучка. А именно, пусть X - алгебраическое многообразие, L - линейное расслоение на X и векторное подпространство конечной положительной размерности. Тогда есть карта: ${\ displaystyle \ mathbb {P} (V ^ {*}) = \ operatorname {Proj} (\ operatorname {Sym} (V))}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (V)}$${\ Displaystyle V \ подмножество \ Gamma (X, L)}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ varphi _ {V}: X \ setminus B \ to \ mathbb {P} (V ^ {*}) \\ x \ mapsto H_ {x} = \ {s \ in V | s (x) = 0 \} \ end {case}}}$

определяется линейной системой V , где B , называемое базовым множеством , является пересечением делителей нуля ненулевых сечений в V (см. Линейная система делителей # Отображение, определяемое линейной системой для построения карты).

Когомологии когерентных пучков

Пусть X - проективная схема над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом A ). Когомологии когерентных пучков на X удовлетворяют следующим важным теоремам Серра: ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

1. ${\ displaystyle H ^ {p} (X, {\ mathcal {F}})}$является конечномерным k- векторным пространством для любого p .
2. Существует целое число (в зависимости от ; см. Также регулярность Кастельнуово – Мамфорда ) такое, что${\ displaystyle n_ {0}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$
   $${\ displaystyle H ^ {p} (X, {\ mathcal {F}} (n)) = 0}$$

   
   для всех и p > 0, где - скрутка мощностью очень обильного линейного пучка${\ displaystyle n \ geq n_ {0}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (п) = {\ mathcal {F}} \ otimes {\ mathcal {O}} (п)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (1).}$

Эти результаты доказываются сведением к случаю с помощью изоморфизма ${\ Displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle H ^ {p} (X, {\ mathcal {F}}) = H ^ {p} (\ mathbb {P} ^ {r}, {\ mathcal {F}}), p \ geq 0}$

где в правой части рассматривается как пучок на проективном пространстве путем расширения нулем. Результат затем следует прямым вычислением для любого целого числа n , и для произвольного без особого труда сводится к этому случаю. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {r}} (п),}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Как следствие пункта 1. выше, если f - проективный морфизм нётеровой схемы в нётерово кольцо, то более высокий прямой образ является когерентным. Тот же результат верен для собственных морфизмов f , что можно показать с помощью леммы Чоу . ${\ Displaystyle R ^ {p} е _ {*} {\ mathcal {F}}}$

Группы когомологий пучков H ⁱ на нётеровом топологическом пространстве обращаются в нуль при i, строго превышающем размерность пространства. Таким образом, величина, называемая эйлерова характеристика из , ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ chi ({\ mathcal {F}}) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {i} \ dim H ^ {i} (X, {\ mathcal { F}})}$

является вполне определенным целым числом (для проективного X ). Затем можно показать для некоторого полинома P над рациональными числами. Применяя эту процедуру для структурного пучка , один восстанавливается многочлен Гильберта X . В частности, если X неприводимо и имеет размерность r , арифметический род X задается формулой ${\ Displaystyle \ чи ({\ mathcal {F}} (п)) = п (п)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ Displaystyle (-1) ^ {г} (\ чи ({\ mathcal {O}} _ {X}) - 1),}$

который явно присущ; т.е. не зависит от вложения.

Арифметический род гиперповерхности степени d находится в . В частности, гладкая кривая степени d in имеет арифметический род . Это формула рода . ${\ displaystyle {\ binom {d-1} {n}}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$${\ Displaystyle (d-1) (d-2) / 2}$

Гладкие проективные многообразия

Пусть X - гладкое проективное многообразие, все неприводимые компоненты которого имеют размерность n . В этой ситуации канонический пучок ω _X , определенный как пучок кэлеровых дифференциалов высшей степени (т. Е. Алгебраических n -форм), является линейным расслоением.

Двойственность Серра

Серра утверждает , что для любого локально свободного пучка на X , ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) \ simeq H ^ {ni} (X, {\ mathcal {F}} ^ {\ vee} \ otimes \ omega _ {X}) '}$

где верхний индекс штрих относится к двойственному пространству и является двойственным пучком к . Обобщение на проективные, но не обязательно гладкие схемы известно как двойственность Вердье . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {\ vee}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Теорема Римана-Роха

Для (гладкой проективной) кривой X , H ² и выше обращаются в нуль по причине размерности, и пространство глобальных сечений структурного пучка одномерно. Таким образом, арифметический род X - это размерность . По определению, геометрический род из X есть размерность H ⁰ ( X , ω _X ). Таким образом, двойственность Серра означает, что арифметический род и геометрический род совпадают. Они будут называть просто род X . ${\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

Двойственность Серра также является ключевым элементом доказательства теоремы Римана – Роха . Поскольку X гладко, существует изоморфизм групп

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ operatorname {Cl} (X) \ to \ operatorname {Pic} (X) \\ D \ mapsto {\ mathcal {O}} (D) \ end {cases}}}$

из группы дивизоров (Вейля) по модулю главных дивизоров в группу классов изоморфизма линейных расслоений. Делитель , соответствующий & omega _X называется каноническим делителем и обозначается K . Пусть l ( D ) - размерность . Тогда теорема Римана – Роха утверждает: если g - род X , ${\ displaystyle H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} (D))}$

${\ Displaystyle l (D) -l (KD) = \ deg D + 1-g,}$

для любого делителя D на X . По двойственности Серра это то же самое, что:

${\ Displaystyle \ чи ({\ mathcal {O}} (D)) = \ deg D + 1-g,}$

что легко доказать. Обобщением теоремы Римана-Роха на более высокие измерения является теорема Хирцебруха-Римана-Роха , а также далеко идущая теорема Гротендика-Римана-Роха .

Схемы Гильберта

Схемы Гильберта параметризовать весь замкнутый подмногообразия проективной схемы X в том смыслечто точки (в функторном смысле) Н соответствует замкнутым подсхемам X . Таким образом, схема Гильберта является примером пространства модулей , т. Е. Геометрического объекта, точки которого параметризуют другие геометрические объекты. Точнее, схема Гильберта параметризует замкнутую подмногообразию которых многочлен Гильберта равен предписанный многочлен P . Это глубокая теорема Гротендика, что существует такая схеманад k , что для любой k -схемы T существует биекция ${\ displaystyle H_ {X} ^ {P}}$

${\ displaystyle \ {{\ text {морфизмы}} T \ to H_ {X} ^ {P} \} \ \ \ longleftrightarrow \ \ \ {{\ text {закрытые подсхемы}} X \ times _ {k} T {\ text {flat over}} T, {\ text {с многочленом Гильберта}} P. \}}$

Замкнутая подсхема , соответствующая тождественному отображению , называется универсальным семейством . ${\ Displaystyle X \ раз H_ {X} ^ {P}}$${\ displaystyle H_ {X} ^ {P} \ to H_ {X} ^ {P}}$

Для получения , схема Гильберта называется грассманиан из г -плоскостей в и, если Х представляет собой проективная схема, называется схемой Фано из г -плоскостей на X . ${\ Displaystyle P (z) = {\ binom {z + r} {r}}}$${\ Displaystyle H _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ^ {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle H_ {X} ^ {P}}$

Комплексные проективные многообразия

В этом разделе все алгебраические многообразия являются комплексными алгебраическими многообразиями. Ключевой особенностью теории комплексных проективных многообразий является сочетание алгебраических и аналитических методов. Переход между этими теориями обеспечивается следующей связью: поскольку любой комплексный многочлен также является голоморфной функцией, любое комплексное многообразие X порождает комплексное аналитическое пространство , обозначенное . Более того, геометрические свойства X отражаются свойствами . Например, последнее является комплексным многообразием тогда и только тогда, когда X гладко; он компактен тогда и только тогда, когда X собственно над . ${\ Displaystyle Х (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle Х (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Связь с комплексными кэлеровыми многообразиями

Комплексное проективное пространство - это кэлерово многообразие . Это означает , что для любого проективного алгебраического многообразия X , представляет собой компактное кэлерово многообразие. Обратное в общем случае неверно, но теорема вложения Кодаиры дает критерий проективности кэлерова многообразия. ${\ Displaystyle Х (\ mathbb {C})}$

В малых размерах есть следующие результаты:

• (Риман) Компактная риманова поверхность (т. Е. Компактное комплексное многообразие размерности один) является проективным многообразием. По теореме Торелли он однозначно определяется своим якобианом.
• (Чоу-Кодаира) Компактное комплексное многообразие размерности два с двумя алгебраически независимыми мероморфными функциями является проективным многообразием.

ГАГА и теорема Чоу

Теорема Чоу предлагает поразительный способ пойти другим путем - от аналитической геометрии к алгебраической. Он утверждает, что каждое аналитическое подмногообразие комплексного проективного пространства является алгебраическим. Теорема может быть интерпретирована как утверждение, что голоморфная функция, удовлетворяющая определенному условию роста, обязательно является алгебраической: «проективная» обеспечивает это условие роста. Из теоремы можно вывести следующее:

• Мероморфные функции на комплексном проективном пространстве рациональны.
• Если алгебраическое отображение между алгебраическими многообразиями является аналитическим изоморфизмом , то это (алгебраический) изоморфизм. (Эта часть является основным фактом в комплексном анализе.) В частности, из теоремы Чоу следует, что голоморфное отображение между проективными многообразиями является алгебраическим. (рассмотрим график такой карты.)
• Каждое голоморфное векторное расслоение на проективном многообразии индуцировано единственным алгебраическим векторным расслоением.
• Каждое голоморфное линейное расслоение на проективном многообразии является линейным расслоением дивизора.

Теорема Чоу может быть показана с помощью принципа GAGA Серра . Его основная теорема гласит:

Пусть X - проективная схема над . Тогда функтор, связывающий когерентные пучки на X с когерентными пучками на соответствующем комплексном аналитическом пространстве X ^an, является эквивалентностью категорий. Кроме того, естественные карты ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) \ to H ^ {i} (X ^ {\ text {an}}, {\ mathcal {F}})}$

-изоморфизмы для всех I и все когерентные пучки на X .${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Комплексные торы против сложных абелевых многообразий

Комплексное многообразие, ассоциированное с абелевым многообразием A над, является компактной комплексной группой Ли . Можно показать, что они имеют вид ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} / L}$

и называются также комплексными торами . Здесь g - размерность тора, а L - решетка (также называемая решеткой периодов ).

Согласно уже упомянутой выше теореме униформизации , любой тор размерности 1 возникает из абелевого многообразия размерности 1, т. Е. Из эллиптической кривой . Фактически, эллиптическая функция Вейерштрасса, присоединенная к L, удовлетворяет определенному дифференциальному уравнению и, как следствие, определяет замкнутое погружение: ${\ displaystyle \ wp}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbb {C} / L \ to \ mathbb {P} ^ {2} \\ L \ mapsto (0: 0: 1) \\ z \ mapsto (1: \ wp ( z): \ wp '(z)) \ end {case}}}$

Существует p- адический аналог - теорема p-адической униформизации .

Для более высоких размерностей понятия сложных абелевых многообразий и комплексных торов различаются: только поляризованные комплексные торы происходят от абелевых многообразий.

Кодаира исчезает

Фундаментальная теорема Кодаиры об исчезновении утверждает, что для обильного линейного расслоения на гладком проективном многообразии X над полем нулевой характеристики ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {L}} \ otimes \ omega _ {X}) = 0}$

для i > 0, или, что то же самое, по двойственности Серра для i < n . Первое доказательство этой теоремы использовало аналитические методы кэлеровой геометрии, но чисто алгебраическое доказательство было найдено позже. Исчезновение Кодаира в нуль, вообще говоря, не выполняется для гладкого проективного многообразия с положительной характеристикой. Теорема Кодаиры - одна из различных теорем об исчезновении, которые дают критерии исчезновения когомологий высших пучков. Поскольку эйлерова характеристика пучка (см. Выше) часто более управляема, чем отдельные группы когомологий, это часто имеет важные последствия для геометрии проективных многообразий. ${\ Displaystyle Н ^ {я} (Х, {\ mathcal {L}} ^ {- 1}) = 0}$

Связанные понятия

• Мультипроективное разнообразие
• Весовое проективное многообразие , замкнутое подмногообразие весового проективного пространства

Смотрите также

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Схема гильберта
• Теорема Лефшеца о гиперплоскости
• Программа минимальной модели

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Схема Гильберта Чарльза Сигеля - сообщение в блоге
• Проективные многообразия гл. 1