Неснижаемый компонент - Irreducible component

В алгебраической геометрии , неприводимое алгебраическое множество или неприводимое многообразие является алгебраическим множеством , которое не может быть записано в виде объединения двух собственных алгебраических подмножеств. Неприводимая компонента является алгебраическим подмножеством, неприводимо и максимальный (для множества включения ) для этого свойства. Например, множество решений уравнения xy = 0 не является неприводимым, а его неприводимые компоненты представляют собой две строки уравнений x = 0 и y = 0 .

Это фундаментальная теорема классической алгебраической геометрии, что каждое алгебраическое множество может быть записано уникальным способом как конечное объединение неприводимых компонентов.

Эти понятия можно переформулировать в чисто топологических терминах, используя топологию Зарисской , для которых замкнутых множества являются алгебраическими подмножествами: A топологического пространства является неприводимым , если оно не является объединение двух собственных замкнутых подмножеств, и неприводимые компонентами являются максимальным подпространством (обязательно замкнутый), неприводимый для индуцированной топологии . Хотя эти концепции могут рассматриваться для любого топологического пространства, это редко делается вне алгебраической геометрии, поскольку наиболее распространенные топологические пространства - это хаусдорфовы пространства , а в хаусдорфовом пространстве неприводимые компоненты - это синглтоны .

В топологии

Топологическое пространство X является приводимым , если она может быть записана в виде объединения двух замкнутых собственных подмножеств , из топологического пространства неприводимое (или hyperconnected ) , если оно не сводится. Эквивалентное X является неприводимым , если все не пустые открытые подмножества X являются плотными или , если любые два непустых открытых множества имеют непустое пересечение . ${\ Displaystyle X = X_ {1} \ чашка X_ {2}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle X.}$

Подмножество F топологического пространства X называется неприводимым или приводимым, если F, рассматриваемое как топологическое пространство через топологию подпространства, обладает соответствующим свойством в указанном выше смысле. То есть сводимо, если его можно записать как объединение, где - замкнутые подмножества , ни одно из которых не содержит${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F = (G_ {1} \ cap F) \ cup (G_ {2} \ cap F),}$${\ displaystyle G_ {1}, G_ {2}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F.}$

Неприводимая компонента топологического пространства является максимальным неприводимым подмножеством. Если подмножество неприводимо, его замыкание также неприводимо, поэтому неприводимые компоненты замкнуты.

Каждое неприводимое подмножество пространства X содержится в (не обязательно уникальным) неприводимой компоненты X . Каждая точка содержится в некоторой неприводимой компоненте X . ${\ displaystyle x \ in X}$

В алгебраической геометрии

Каждое аффинное или проективное алгебраическое множество определяется как множество нулей идеала в кольце многочленов . В этом случае неприводимые компоненты - это многообразия, ассоциированные с минимальными простыми числами над идеалом. Это отождествление, позволяющее доказать единственность и конечность разложения. Это разложение сильно связано с первичным разложением идеала.

В общей теории схем каждая схема представляет собой объединение своих неприводимых компонентов, но число компонентов не обязательно конечно. Однако в большинстве случаев, встречающихся на «практике», а именно для всех нётеровых схем , существует конечное число неприводимых компонентов.

Примеры

В хаусдорфовом пространстве неприводимые подмножества и неприводимые компоненты являются синглетонами . В частности, это относится к действительным числам . Фактически, если X - это набор действительных чисел, который не является одноэлементным, существуют три действительных числа, такие что x ∈ X , y ∈ X и x < a < y . Множество X не может быть неприводимым, так как${\ displaystyle X = (X \ cap \,] {- \ infty}, a]) \ cup (X \ cap [a, \ infty [).}$

Понятие неприводимой компоненты является фундаментальным в алгебраической геометрии и редко рассматривается за пределами этой области математики: рассмотрите алгебраическое подмножество плоскости

X = {( x , y ) | xy = 0} .

Для топологии Зарисского ее замкнутые подмножества - это сама себя, пустое множество, одиночные элементы и две прямые, определенные как x = 0 и y = 0 . Таким образом, множество X сводится к этим двум прямым как неприводимым компонентам.

Спектр из коммутативного кольца является совокупностью простых идеалов кольца, наделенных топологией Зарисской , для которых множество простых идеалов замкнуто тогда и только тогда , когда это множество всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал . В этом случае неприводимое подмножество - это множество всех простых идеалов, содержащих фиксированный простой идеал.

Примечания

Эта статья включает в себя материал из архива PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License . Эта статья включает материал из компонента Irreducible на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .