Двойственность Пуанкаре - Poincaré duality

В математике , то двойственность Пуанкаре теорема, названная в честь Анри Пуанкаре , является основным результатом по структуре гомологии и когомологий групп из многообразия . Он утверждает , что если М является п -мерного ориентированным на замкнутое многообразие ( компактное и без краев), то к - й группа когомологий М является изоморфно к ( ) й группе гомологии М , для всех целых к${\ displaystyle nk}$

${\ Displaystyle H ^ {k} (M) \ cong H_ {nk} (M).}$

Двойственность Пуанкаре верна для любого кольца коэффициентов , пока мы ориентируемся относительно этого кольца коэффициентов; в частности, поскольку каждое многообразие имеет единственную ориентацию по модулю 2, двойственность Пуанкаре выполняется по модулю 2 без каких-либо предположений об ориентации.

История

Форма двойственности Пуанкаре была впервые сформулирована без доказательства Анри Пуанкаре в 1893 году. Она была сформулирована в терминах чисел Бетти : k- е и ( ) -е числа Бетти замкнутого (т. Е. Компактного и безграничного) ориентируемого n - многообразие равны. В то время концепция когомологии была прояснена примерно через 40 лет. В своей статье 1895 года « Analysis Situs» Пуанкаре попытался доказать теорему, используя изобретенную им топологическую теорию пересечений . Критика его работы со стороны Пола Хегора заставила его понять, что его доказательство было серьезно ошибочным. В первых двух дополнениях к Analysis Situs Пуанкаре дал новое доказательство в терминах двойственных триангуляций. ${\ displaystyle nk}$

Двойственность Пуанкаре не приобрела свою современную форму до появления когомологий в 1930-х годах, когда Эдуард Чех и Хасслер Уитни изобрели изделия из чашки и крышки и сформулировали двойственность Пуанкаре в этих новых терминах.

Современная формулировка

Современная формулировка теоремы двойственности Пуанкаре выражается в терминах гомологий и когомологий: если является замкнутым ориентированным n -многообразием и является натуральным числом меньше чем , то существует канонически определенный изоморфизм . Для того, чтобы определить такой изоморфизм, Выбирается фиксированный фундаментальный класс из , который будет существовать , если ориентирована. Тогда изоморфизм определяется отображением элемента в его конечное произведение . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle H ^ {k} (M, \ mathbb {Z}) \ to H_ {nk} (M, \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle [M]}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle \ альфа \ в Н ^ {к} (М)}$${\ displaystyle [M] \ frown \ alpha}$

Группы гомологий и когомологий определяются как нулевые для отрицательных степеней, поэтому двойственность Пуанкаре, в частности, означает, что группы гомологий и когомологий ориентируемых замкнутых n -многообразий равны нулю для степеней больше n .

Здесь гомологии и когомологии целочисленны, но изоморфизм остается верным над любым кольцом коэффициентов. В случае, когда ориентированное многообразие не компактно, необходимо заменить гомологии на гомологии Бореля – Мура

${\ Displaystyle H ^ {I} (X) {\ stackrel {\ cong} {\ to}} H_ {ni} ^ {BM} (X),}$

или заменить когомологии на когомологии с компактным носителем

${\ displaystyle H_ {c} ^ {i} (X) {\ stackrel {\ cong} {\ to}} H_ {ni} (X).}$

Двойные клеточные структуры

Для триангулированного многообразия существует соответствующее двойственное полиэдральное разложение. Двойственное полиэдральное разложение - это клеточное разложение многообразия, такое что k -элементы двойственного полиэдрального разложения находятся в биективном соответствии с ( ) -клетками триангуляции, обобщая понятие двойственных полиэдров . ${\ displaystyle nk}$

Именно, пусть Т быть триангуляция п -многообразии М . Пусть S симплекс Т . Позвольте быть многомерным симплексом T, содержащим S , поэтому мы можем думать о S как о подмножестве вершин . Определим двойственную ячейку DS, соответствующую S, так, чтобы она была выпуклой оболочкой барицентров всех подмножеств вершин, которые содержат . Можно проверить , что если S есть я - мерный, то DS является ( ) -мерной клеткой. Более того, двойственные клетки к T образуют CW-разложение M , и единственная ( ) -мерная двойственная клетка, которая пересекает i -ячейку S, - это DS . Таким образом, спаривание, заданное взятием пересечений, индуцирует изоморфизм , где - клеточные гомологии триангуляции T , и - клеточные гомологии и когомологии двойственного полиэдра / CW-разложения многообразия соответственно. Тот факт, что это изоморфизм цепных комплексов, является доказательством двойственности Пуанкаре. Грубо говоря, это сводится к тому, что граничное отношение для триангуляции T является отношением инцидентности для двойственного полиэдрального разложения по соответствию . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta \ cap DS}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle ni}$${\ displaystyle ni}$${\ Displaystyle C_ {i} M \ иногда C_ {ni} M \ to \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle C_ {i} M \ to C ^ {ni} M}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle C_ {ni} M}$${\ displaystyle C ^ {ni} M}$${\ Displaystyle S \ longmapsto DS}$

Натуральность

Обратите внимание , что это контравариантный функтор в то время как это ковариантны . Семейство изоморфизмов ${\ displaystyle H ^ {k}}$${\ displaystyle H_ {nk}}$

${\ Displaystyle D_ {M} \ двоеточие H ^ {k} (M) \ to H_ {nk} (M)}$

это естественно в следующем смысле: если

${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до N}$

является непрерывным отображением между двумя ориентированными n -многообразиями, которое согласовано с ориентацией, т.е. которое отображает фундаментальный класс M в фундаментальный класс N , то

${\ displaystyle D_ {N} = f _ {*} \ circ D_ {M} \ circ f ^ {*},}$

где и - отображения, индуцированные f в гомологиях и когомологиях соответственно. ${\ displaystyle f _ {*}}$${\ displaystyle f ^ {*}}$

Обратите внимание на очень сильную и важную гипотезу , что е отображает фундаментальный класс М к основному классу N . Естественность не имеет места для произвольного непрерывного отображения f , поскольку, вообще говоря , не является инъекцией на когомологиях. Например, если е является накрытием , то он отображает фундаментальный класс М кратному фундаментального класса N . Это кратное является степенью отображения f . ${\ displaystyle f ^ {*}}$

Формулировка билинейных пар

Считая многообразие M компактным, безграничным и ориентируемым , пусть

${\ displaystyle \ tau H_ {i} M}$

обозначим подгруппу кручения группы, и пусть ${\ displaystyle H_ {i} M}$

${\ displaystyle fH_ {i} M = H_ {i} M / \ tau H_ {i} M}$

- свободная часть - все группы гомологий, взятые с целыми коэффициентами в этом разделе. Тогда есть билинейные отображения, которые являются парами двойственности (объяснено ниже).

${\ displaystyle fH_ {i} M \ otimes fH_ {ni} M \ to \ mathbb {Z}}$

и

${\ displaystyle \ tau H_ {i} M \ otimes \ tau H_ {ni-1} M \ to \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$.

Вот частное от рациональных чисел по целым числам, взятым как аддитивная группа. Обратите внимание на то, что в форме торсионного связывания есть в измерении, поэтому парные измерения складываются скорее в, чем в . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle n-1,}$${\ displaystyle n}$

Первую форму обычно называют произведением пересечения, а вторую - формой торсионной связи . Предполагая, что многообразие M является гладким, произведение пересечений вычисляется путем возмущения классов гомологий, чтобы они были трансверсальными, и вычисления их ориентированного числа пересечений. Для торсионной формы связывания вычисляется пара x и y , реализуя nx как границу некоторого класса z . Затем форма принимает значение, равное дроби, числитель которой является числом поперечного пересечения z с y , а знаменатель - n .

Утверждение, что спаривания являются парами двойственности, означает, что сопряженные отображения

${\ displaystyle fH_ {i} M \ to \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (fH_ {ni} M, \ mathbb {Z})}$

и

${\ displaystyle \ tau H_ {i} M \ to \ mathrm {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (\ tau H_ {ni-1} M, \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z})}$

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является приложением двойственности Пуанкаре.

${\ displaystyle H_ {i} M \ simeq H ^ {ni} M}$,

вместе с теоремой об универсальных коэффициентах , которая дает идентификацию

${\ Displaystyle fH ^ {ni} M \ Equiv \ mathrm {Hom} (H_ {ni} M; \ mathbb {Z})}$

и

${\ Displaystyle \ тау H ^ {ni} M \ эквив \ mathrm {Ext} (H_ {ni-1} M; \ mathbb {Z}) \ эквив \ mathrm {Hom} (\ tau H_ {ni-1} M ; \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z})}$.

Таким образом, двойственность Пуанкаре говорит, что и изоморфны, хотя не существует естественного отображения, дающего изоморфизм, и аналогично и также изоморфны, хотя и не естественно. ${\ displaystyle fH_ {i} M}$${\ displaystyle fH_ {ni} M}$${\ displaystyle \ tau H_ {i} M}$${\ displaystyle \ tau H_ {ni-1} M}$

Среднее измерение

В то время как для большинства измерений двойственность Пуанкаре индуцирует билинейное спаривание между различными группами гомологий, в среднем измерении она индуцирует билинейную форму на одной группе гомологий. Полученная форма пересечения является очень важным топологическим инвариантом.

Что подразумевается под «средним измерением», зависит от паритета. Для четного измерения, которое является более распространенным, это буквально среднее измерение k, и на свободной части средней гомологии есть форма: ${\ displaystyle n = 2k,}$

${\ displaystyle fH_ {k} M \ otimes fH_ {k} M \ to \ mathbb {Z}}$

Напротив, для нечетной размерности, которая обсуждается реже, это наиболее просто нижняя средняя размерность k, и есть форма на торсионной части гомологии в этом измерении: ${\ Displaystyle п = 2k + 1,}$

${\ displaystyle \ tau H_ {k} M \ otimes \ tau H_ {k} M \ to \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}.}$

Однако существует также соединение между свободной частью гомологии в нижнем среднем измерении k и в верхнем среднем измерении : ${\ displaystyle k + 1}$

${\ displaystyle fH_ {k} M \ otimes fH_ {k + 1} M \ to \ mathbb {Z}.}$

Полученные группы, хотя и не являются отдельной группой с билинейной формой, представляют собой простой цепной комплекс и изучаются в алгебраической L-теории .

Приложения

Этот подход к двойственности Пуанкаре был использован Юзефом Пржитицким и Акирой Ясухарой, чтобы дать элементарную гомотопию и классификацию диффеоморфизмов трехмерных линзовых пространств .

Формулировка изоморфизма Тома

Двойственность Пуанкаре тесно связана с теоремой об изоморфизме Тома , как мы объясним здесь. Пусть для этого изложения - компактное ориентированное n -многообразие без границ . Позвольте быть произведением с самим собой, позвольте быть открытой трубчатой ​​окрестностью диагонали в . Рассмотрим карты: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ times M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M \ times M}$

• ${\ displaystyle H _ {*} M \ otimes H _ {*} M \ to H _ {*} (M \ times M)}$Гомология Крест продукт

• ${\ displaystyle H _ {*} (M \ times M) \ to H _ {*} \ left (M \ times M, (M \ times M) \ setminus V \ right)}$ включение.

• ${\ Displaystyle H _ {*} \ влево (M \ times M, (M \ times M) \ setminus V \ right) \ к H _ {*} (\ nu M, \ partial \ nu M)}$ карта вырезания где - нормальное расслоение дисков диагонали в .${\ displaystyle \ nu M}$${\ displaystyle M \ times M}$

• ${\ Displaystyle H _ {*} (\ nu M, \ partial \ nu M) \ к H _ {* - n} M}$Thom Изоморфизм . Это отображение хорошо определено, поскольку существует стандартная идентификация, которая представляет собой ориентированное расслоение, поэтому применяется изоморфизм Тома.${\ Displaystyle \ ню М \ экв ТМ}$

В совокупности это дает карту , которая является произведением пересечений - строго говоря, это обобщение упомянутого выше произведения пересечений, но его также называют произведением пересечений. Аналогичное рассуждение с теоремой Кюннета дает форму торсионного зацепления . ${\ displaystyle H_ {i} M \ otimes H_ {j} M \ to H_ {i + jn} M}$

Эта формулировка двойственности Пуанкаре стала довольно популярной, поскольку она предоставляет средства для определения двойственности Пуанкаре для любой обобщенной теории гомологий при условии, что для этой теории гомологий имеется изоморфизм Тома. Теорема Тома об изоморфизме для теории гомологий теперь принята как обобщенное понятие ориентируемости для теории гомологий. Например, a -структура на многообразии оказывается именно тем, что необходимо для ориентации в смысле комплексной топологической k-теории . ${\ displaystyle spin ^ {c}}$

Обобщения и связанные результаты

Теорема Пуанкаре-Лефшеца двойственность является обобщением для многообразий с краем. В неориентируемом случае, учитывая пучок локальных ориентаций, можно дать утверждение, не зависящее от ориентируемости: см. Скрученную двойственность Пуанкаре .

Двойственность Бланчфилда - это версия двойственности Пуанкаре, которая обеспечивает изоморфизм между гомологиями абелевого накрывающего пространства многообразия и соответствующими когомологиями с компактными носителями. Он используется для получения основных структурных результатов о модуле Александра и может использоваться для определения сигнатур узла .

С развитием теории гомологий, которая включила K-теорию и другие необычные теории примерно с 1955 года, стало понятно, что гомологии могут быть заменены другими теориями, как только будут построены произведения на многообразиях; и теперь есть учебники лечения в целом. Более конкретно, существует общая теорема двойственности Пуанкаре для обобщенной теории гомологий, которая требует понятия ориентации относительно теории гомологий и сформулирована в терминах обобщенной теоремы об изоморфизме Тома . Теорема Тома об изоморфизме в этом отношении может рассматриваться как основная идея двойственности Пуанкаре для обобщенных теорий гомологии. ${\ displaystyle H '_ {*}}$

Двойственность Вердье является подходящим обобщением для (возможно, сингулярных ) геометрических объектов, таких как аналитические пространства или схемы , в то время как гомология пересечений была разработана Робертом Макферсоном и Марком Горески для стратифицированных пространств , таких как вещественные или комплексные алгебраические многообразия, именно так, чтобы обобщить двойственность Пуанкаре. в такие стратифицированные пространства.

Есть много других форм геометрической двойственности в алгебраической топологии , в том числе двойственности Лефшеца , двойственности Александера , Ходжа двойственности , и S-двойственности .

Более алгебраически, можно абстрагироваться от понятия комплекса Пуанкаре , который представляет собой алгебраический объект, который ведет себя как сингулярный цепной комплекс многообразия, в частности, удовлетворяющий двойственности Пуанкаре на его группах гомологий по отношению к выделенному элементу (соответствующему фундаментальному классу ). Они используются в теории хирургии для алгебраизации вопросов о многообразиях. Пуанкаре пространство является одним которого сингулярный цепной комплекс представляет собой комплекс Пуанкаре. Это не все многообразия, но их несостоятельность может быть измерена с помощью теории препятствий .

Смотрите также

• Разложение Брюа
• Фундаментальный класс
• Группа Вейля

использованная литература

дальнейшее чтение

• Блэнчфилда, Ричард К. (1957), "Теория пересечений многообразий с операторами с приложениями к теории узлов", Анналы математики , 65 (2): 340-356, DOI : 10,2307 / 1969966 , JSTOR  1969966 , MR  0085512
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523

внешние ссылки

• Форма пересечения в Атласе многообразия
• Связывающая форма в Manifold Atlas