Рациональный момент - Rational point

В теории чисел и алгебраической геометрии , A рациональная точка из алгебраического многообразия является точкой, координаты которых принадлежат к данной области . Если поле не упоминается, обычно понимается поле рациональных чисел . Если поле представляет собой поле действительных чисел , рациональную точку чаще называют реальной точкой .

Понимание рациональных точек - центральная цель теории чисел и диофантовой геометрии . Например, Ферма Последняя теорема может быть сформулирована следующим образом: для п > 2 , то кривая Ферма уравнения не имеет никакой другой рациональной точки , чем (1, 0) , (0, 1) , и, если п четно, (-1, 0) и (0, –1) . ${\ Displaystyle х ^ {п} + у ^ {п} = 1}$

Определение

Учитывая поле K , и алгебраически замкнутое расширение K из к , аффинное многообразие X над к есть множество общих нулей в коллекции многочленов с коэффициентами из к : ${\ displaystyle K ^ {n}}$

${\ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0, \ ldots, f_ {r} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = 0.}$

Эти общие нули называются точками из X .

К - рациональная точка (или к - точка ) из X является точкой X , который принадлежит к K ^п , то есть, последовательность ( ₁ , ..., _п ) из п элементов к такой , что ф _J ( a ₁ , ..., a _n ) = 0 для всех j . Множество k -рациональных точек X часто обозначают X ( k ).  

Иногда, когда поле к Подразумевается, или когда к является поле Q из рациональных чисел , один говорит : «рациональная точка» вместо « К -рациональной точке».

Например, рациональные точки единичной окружности уравнения

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

пары рациональных чисел

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {c}}, {\ frac {b} {c}} \ right),}$

где - тройка Пифагора . ${\ Displaystyle (а, б, в)}$

Эта концепция также имеет смысл в более общих условиях. Проективное многообразие X в проективном пространстве Р ^п над полем к может быть определена совокупность однородных полиномиальных уравнений в переменных х ₀ , ..., х _п . К точечное из Р ^п , написанной [ ₀ , ..., _п ], задается последовательностью п + 1 элементов к , не все равные нулю, с пониманием того, что все умножения на ₀ , .. . a _n одним и тем же ненулевым элементом k дает ту же точку в проективном пространстве. Тогда k -точка X означает k- точку P ^n, в которой данные многочлены обращаются в нуль.

В более общем смысле, пусть X - схема над полем k . Это означает, что задан морфизм схем f : X → Spec ( k ). Тогда k -точка X означает сечение этого морфизма, то есть морфизм a : Spec ( k ) → X такой, что композиция fa является тождественной на Spec ( k ). Это согласуется с предыдущими определениями, когда X - аффинное или проективное многообразие (рассматриваемое как схема над k ).

Когда X - многообразие над алгебраически замкнутым полем k , большая часть структуры X определяется его множеством X ( k ) k -рациональных точек. Для общего поля к , однако, Х ( к ) дает только частичную информацию о X . В частности, для многообразия X над полем к и любого расширения поля Е в к , Х также определяет множество X ( Е ) из Е - рациональных точек из X , то есть множество решений уравнений , определяющих X со значениями в Е .

Пример: Пусть Х являются коническим кривым х ² + у ² = -1 в аффинной плоскости А ² над действительными числами R . Тогда множество вещественных точек X ( R ) пусто, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен. С другой стороны, в терминологии алгебраической геометрии алгебраическое многообразие X над R не пусто, потому что множество комплексных точек X ( C ) не пусто.

В более общем плане , для схемы X над коммутативным кольцом R и любой коммутативной R - алгебры S , то множество Х ( S ) из S -точек Х означает множество морфизмов Spec ( S ) → X над Spec ( R ). Схема X определяется с точностью до изоморфизма функтором S ↦ X ( S ); это философия отождествления схемы с ее функтором точек . Другая формулировка является то , что схема Х над R определяет схему Х _S над S путем изменения базовой , и S -точек Х (над R ) могут быть идентифицированы с S -точках X _S (над S ).

Теория диофантовых уравнений традиционно означало изучение целых точек , то есть решения полиномиальных уравнений в целых числах Z , а не Rationals Q . Для однородных полиномиальных уравнений, таких как x ³ + y ³ = z ³ , две проблемы по существу эквивалентны, поскольку каждая рациональная точка может быть масштабирована, чтобы стать целой точкой.

Рациональные точки на кривых

Многое в теории чисел можно рассматривать как изучение рациональных точек алгебраических многообразий, удобное место для которых - гладкие проективные многообразия. Для гладких проективных кривых поведение рациональных точек сильно зависит от рода кривой.

Род 0

Каждая гладкая проективная кривая X рода нуль над полем к изоморфна коническим (степень 2) кривой в Р ² . Если X имеет k -рациональную точку, то она изоморфна P ¹ над k , и поэтому ее k -рациональные точки полностью понятны. Если k - поле Q рациональных чисел (или, в более общем смысле, числовое поле ), существует алгоритм определения, имеет ли данная коника рациональная точка, на основе принципа Хассе : коника над Q имеет рациональную точку тогда и только тогда, когда если он имеет точку над всеми пополнениями Q , то есть над R и всеми p -адическими полями Q _p .

Род 1

Труднее определить, имеет ли кривая рода 1 рациональную точку. В этом случае принцип Хассе не работает: например, по Эрнсту Сельмеру , кубическая кривая 3 x ³ + 4 y ³ + 5 z ³ = 0 в P ² имеет точку над всеми пополнениями Q , но не имеет рациональной точки. Несостоятельность принципа Хассе для кривых рода 1 измеряется группой Тейта – Шафаревича .

Если X - кривая рода 1 с k -рациональной точкой p ₀ , то X называется эллиптической кривой над k . В этом случае X имеет структуру коммутативной алгебраической группы (с p ₀ в качестве нулевого элемента), и поэтому множество X ( k ) k -рациональных точек является абелевой группой . Теорема Морделла – Вейля утверждает, что для эллиптической кривой (или, в более общем смысле, абелевого многообразия ) X над числовым полем k абелева группа X ( k ) конечно порождена . Программы компьютерной алгебры могут определять группу Морделла – Вейля X ( k ) во многих примерах, но неизвестно, существует ли алгоритм, который всегда успешно вычисляет эту группу. Это следовало бы из гипотезы о конечности группы Тейта – Шафаревича или из родственной гипотезы Берча – Суиннертона-Дайера .

Род минимум 2

Теорема Фальтингса (бывшая гипотеза Морделла) утверждает, что для любой кривой X рода не меньше 2 над числовым полем k множество X ( k ) конечно.

Некоторые из великих достижений теории чисел сводятся к определению рациональных точек на конкретных кривых. Например, Последняя теорема Ферма (доказанная Ричардом Тейлором и Эндрю Уайлсом ) эквивалентна утверждению, что для целого числа n не менее 3 единственными рациональными точками кривой x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ в P ² над Q являются очевидные: [0,1,1] и [1,0,1]; [0,1, −1] и [1,0, −1] для четных n ; и [1, −1,0] для нечетного n . Кривая X (как и любая гладкая кривая степени n в P ² ) имеет род ( n - 1) ( n - 2) / 2.

Неизвестно, существует ли алгоритм для поиска всех рациональных точек на произвольной кривой рода не менее 2 над числовым полем. В некоторых случаях работает алгоритм. Его прекращение в общем случае следует из гипотез о том, что группа Тейта – Шафаревича абелевого многообразия над числовым полем конечна и что препятствие Брауэра – Манина является единственным препятствием для принципа Хассе в случае кривых.

Высшие измерения

Разновидности с несколькими рациональными точками

В более высоких измерениях, одна объединяющая целью является Бомбьери - Ланг гипотеза , что для любого многообразия X от общего типа над числовым полем к , то множество K - рациональных точки X не Зариская плотно в X . (То есть k -рациональные точки содержатся в конечном объединении низкоразмерных подмногообразий X. ) В размерности 1 это в точности теорема Фальтингса, поскольку кривая имеет общий тип тогда и только тогда, когда она имеет род не менее 2. Лэнг также высказал более тонкие гипотезы, связывающие конечность рациональных точек с гиперболичностью Кобаяши .

Например, гипотеза Бомбьери – Ланга предсказывает, что гладкая гиперповерхность степени d в проективном пространстве P ⁿ над числовым полем не имеет плотных по Зарисскому рациональных точек, если d ≥ n + 2. Об этом случае известно немного. Самый сильный известный результат о гипотезе Бомбьери – Ланга - это теорема Фальтингса о подмногообразиях абелевых многообразий (обобщающая случай кривых). А именно, если Х представляет собой подмногообразие абелева многообразия А над числовым полем к , то все K -рациональных точки X содержатся в конечном объединении сдвигов абелевых подмногообразий , содержащихся в X . (Итак, если X не содержит транслированных абелевых подмногообразий положительной размерности, то X ( k ) конечно.)

Разновидности с множеством рациональных точек

В противоположном направлении, множество Х над числовым полем к , как говорят, потенциально плотна рациональные точки , если существует конечное расширение поля Е на К , таких , что E -рациональных точка X Зариские плотно в X . Фредерик Кампана предположил, что многообразие потенциально плотно тогда и только тогда, когда оно не имеет рационального расслоения над положительно-мерным орбифолдом общего типа. Известен случай, когда каждая кубическая поверхность в P ³ над числовым полем k имеет потенциально плотные рациональные точки, потому что (более строго) она становится рациональной в некотором конечном расширении k (если это не конус над плоской кубической кривой). Гипотеза Кампаны также означала бы, что поверхность X класса K3 (например, гладкая поверхность четвертой степени в P ³ ) над числовым полем имеет потенциально плотные рациональные точки. Это известно только в особых случаях, например, если X имеет эллиптическое расслоение .

Кто-то может спросить, когда у разновидности есть рациональная точка без расширения базового поля. В случае гиперповерхности X степени d в P ⁿ над числовым полем есть хорошие результаты, когда d намного меньше n , часто на основе кругового метода Харди – Литтлвуда . Например, теорема Хассе – Минковского утверждает, что принцип Хассе выполняется для квадратичных гиперповерхностей над числовым полем (случай d = 2). Кристофер Хули доказал принцип Хассе для гладких кубических гиперповерхностей в P ⁿ над Q при n ≥ 8. В более высоких измерениях верно даже больше: каждая гладкая кубика в P ⁿ над Q имеет рациональную точку при n ≥ 9, Роджер Хит. Браун . В более общем смысле теорема Берча гласит, что для любого нечетного положительного целого числа d существует такое целое число N , что для всех n ≥ N каждая гиперповерхность степени d в P ⁿ над Q имеет рациональную точку.

Для гиперповерхностей меньшей размерности (с точки зрения их степени) все может быть сложнее. Например, принцип Хассе не работает для гладкой кубической поверхности 5 x ³ + 9 y ³ + 10 z ³ + 12 w ³ = 0 в P ³ над Q по Иэну Касселсу и Ричарду Гаю. Жан-Луи Коллио-Телен предположил, что препятствие Брауэра – Манина является единственным препятствием к принципу Хассе для кубических поверхностей. В более общем смысле, это должно выполняться для любого рационально связанного многообразия над числовым полем.

В некоторых случаях известно, что X имеет «много» рациональных точек, когда она есть. Например, расширение работы Беньямина Сегря и Юрий Манин , Джанос Коллар показал: для кубической гиперповерхности X размерности по крайней мере , 2 над совершенным полем к с X не является конусом, Х является унирационально над к , если оно имеет K -рациональную точку . (В частности, для бесконечного k унирациональность означает, что множество k -рациональных точек плотно по Зарисскому в X. ) Гипотеза Манина является более точным утверждением, которое описывает асимптотику числа рациональных точек ограниченной высоты на плоскости Фано. разнообразие .

Подсчет точек над конечными полями

Многообразие X над конечным полем k имеет только конечное число k -рациональных точек. В догадках Weil , доказанные Вейль в размерности 1 и Пьер Делинем в любом измерении, дают сильные оценки для числа K -точек в терминах чисел Бетти в X . Например, если X - гладкая проективная кривая рода g над полем k порядка q (степень простого числа), то

${\ displaystyle {\ big |} | X (k) | - (q + 1) {\ big |} \ leq 2g {\ sqrt {q}}.}$

Для гладкой гиперповерхности X степени d в P ⁿ над полем k порядка q теорема Делиня дает оценку:

${\ Displaystyle {\ big |} | Икс (к) | - (q ^ {n-1} + \ cdots + q + 1) {\ big |} \ leq {\ bigg (} {\ frac {(d- 1) ^ {n + 1} + (- 1) ^ {n + 1} (d-1)} {d}} {\ bigg)} q ^ {(n-1) / 2}.}$

Есть также важные результаты о том, когда проективное многообразие над конечным полем k имеет хотя бы одну k -рациональную точку. Например, из теоремы Шевалле – Уорнера следует, что любая гиперповерхность X степени d в P ⁿ над конечным полем k имеет k -рациональную точку, если d ≤ n . Для гладкого X это также следует из теоремы Элен Эно о том, что каждое гладкое проективное рационально цепно связное многообразие, например любое многообразие Фано, над конечным полем k имеет k -рациональную точку.

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Бирациональная геометрия
• Функтор представлен схемой

Примечания

использованная литература

• Кампана, Фредерик (2004), "орбифолды, специальные сорта и классификации теории" (PDF) , Annales де l'Institut Фурье , 54 (3): 499-630, DOI : 10,5802 / aif.2027 , MR  2097416
• Коллио-Телен, Жан-Луи ; Каневский, Дмитрий; Сансюк, Жан-Жак (1987), "Arithmétique дез поверхности cubiques diagonales", диофанты Аппроксимация и теория Трансценденции , Lecture Notes в математике, 1290 , Springer природе , С. 1-108,. DOI : 10.1007 / BFb0078705 , ISBN 978-3-540-18597-0, Руководство по ремонту  0927558
• Эно, Элен (2003), «Многообразия над конечным полем с тривиальной группой Чжоу 0-циклов имеют рациональную точку», Inventiones Mathematicae , 151 (1): 187–191, arXiv : math / 0207022 , Bibcode : 2003InMat.151 ..187E , DOI : 10.1007 / s00222-002-0261-8 , МР  1943746
• Hassett, Brendan (2003), "Потенциал плотность рациональных точек на алгебраических многообразиях", Higher Dimensional Разновидности и рациональные точки (Будапешт, 2001) , Боляйте Общество математических исследований, 12 , Springer Природа , С. 223-282,. Дои : 10.1007 / 978-3-662-05123-8_8 , ISBN 978-3-642-05644-4, MR  2011748
• Хит-коричневый, DR (1983), "Кубические формы в десяти переменных", Труды Лондонского математического общества , 47 (2): 225-257, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-47.2.225 , MR  0703978
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000), Диофантова геометрия: введение , Springer Nature , ISBN 978-0-387-98981-5, Руководство по ремонту  1745599
• Хули, Кристофер (1988), «О неарных кубических формах», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1988 (386): 32–98, doi : 10.1515 / crll.1988.386.32 , MR  0936992
• Кац, Н.М. (1980), «Работа Пьера Делиня» (PDF) , Труды Международного конгресса математиков (Хельсинки, 1978) , Хельсинки: Academia Scientiarum Fennica , стр. 47–52, MR  0562594
• Коллар, Янош (2002), «Унирациональность кубических гиперповерхностей», Журнал математического института Жассиу , 1 (3): 467–476, arXiv : math / 0005146 , doi : 10.1017 / S1474748002000117 , MR  1956057
• Пунен, Бьорн (2017), Рациональные аспекты многообразий , Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-3773-2, Руководство по ремонту  3729254
• Сильверман, Джозеф Х. (2009) [1986], Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.), Springer Nature , ISBN 978-0-387-96203-0, Руководство по ремонту  2514094
• Скоробогатов, Алексей (2001), Торсоры и рациональные точки , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80237-6, Руководство по ремонту  1845760

внешние ссылки

• Коллио-Телен, Жан-Луи (2015), Локально-глобальные принципы для рациональных точек и нулевых циклов (PDF)