Составной элемент - Integral element

В коммутативной алгебре , элемент Ь из коммутативного кольца B называется интеграл по А , в подкольцу из B , если существуют п ≥ 1 и _J в таким образом, что

${\ displaystyle b ^ {n} + a_ {n-1} b ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} b + a_ {0} = 0.}$

То есть, б является корнем унитарного многочлена над A . Множество элементов B , которые являются неотъемлемой частью над А называется целое замыкание из A в B . Это подкольцо B , содержащего A . Если каждый элемент B является целым над А , то мы говорим , что B является интеграл по А , или , что эквивалентно B является целым расширением от А .

Если A , B - поля, то понятия «интеграла по» и «целочисленного расширения» являются в точности «алгебраическими над» и « алгебраическими расширениями » в теории поля (поскольку корень любого многочлена является корнем монического многочлена ).

Наибольший интерес в теории чисел представляет случай комплексных чисел, целых над Z (например, или ); в этом контексте целые элементы обычно называют целыми алгебраическими числами . Алгебраические целые числа в конечном поле расширения к из рациональных чисел Q образуют подкольцо к , называемому кольцом целых чисел от к , центральный объект исследования в алгебраической теории чисел . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle 1 + i}$

В этой статье под термином « кольцо» понимается коммутативное кольцо с мультипликативной единицей.

Примеры

Интегральное замыкание в алгебраической теории чисел

Есть много примеров целочисленного замыкания, которое можно найти в теории алгебраических чисел, поскольку оно является фундаментальным для определения кольца целых чисел для расширения алгебраического поля (или ). ${\ Displaystyle К / \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle L / \ mathbb {Q} _ {p}}$

Целочисленное замыкание целых чисел в рациональных числах

Целые являются единственными элементами Q , которые являются неотъемлемой частью над Z . Другими словами, Z представляет собой целое замыкание Z в Q .

Квадратичные расширения

В гауссовых целых числах , являются комплексными числами вида , и являются неотъемлемой частью над Z . тогда является целым замыканием Z в . Обычно это кольцо обозначается . ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}, a, b \ in \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} [{\ sqrt {-1}}]}$${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {-1}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} [я]}}$

Интегральное замыкание Z в - это кольцо${\ displaystyle \ mathbf {Q} ({\ sqrt {5}})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} [{\ sqrt {5}}]} = \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ right]}$

этот и предыдущий примеры являются примерами квадратичных целых чисел . Целочисленное замыкание квадратичного расширения можно найти, построив минимальный многочлен произвольного элемента и найдя теоретико-числовой критерий того, что многочлен имеет целые коэффициенты. Этот анализ можно найти в статье о квадратичных расширениях . ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$${\ displaystyle a + b {\ sqrt {d}}}$

Корни единства

Пусть ζ - корень из единицы . Тогда интегральное замыкание Z в круговом поле Q (ζ) есть Z [ζ]. Это можно найти, используя минимальный многочлен и критерий Эйзенштейна .

Кольцо целых алгебраических чисел

Целочисленное замыкание Z в поле комплексных чисел C или алгебраическое замыкание называется кольцом целых алгебраических чисел . ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$

Другой

В корнях из единицы , нильпотентные элементы и идемпотентные элементы в любом кольце являются неотъемлемой частью над Z .

Интегральное замыкание в геометрии

В геометрии интегральное замыкание тесно связано с нормализацией и нормальными схемами . Это первый шаг в разрешении особенностей, поскольку он дает процесс разрешения особенностей коразмерности 1.

• Например, интегральное замыкание - это кольцо, поскольку геометрически первое кольцо соответствует -плоскости, соединенной с -плоскостью. У них есть особенность коразмерности 1 вдоль оси -оси, где они пересекаются.${\ Displaystyle \ mathbb {C} [х, y, z] / (ху)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, z] \ times \ mathbb {C} [y, z]}$${\ displaystyle xz}$${\ displaystyle yz}$${\ displaystyle z}$

• Пусть конечная группа G действует на кольце A . Тогда цело над A ^G множество неподвижных элементов G . См. Кольцо инвариантов .
• Пусть R быть кольцо и U блок в кольцо , содержащее R . потом

1. u ⁻¹ цело над R тогда и только тогда, когда u ⁻¹ ∈ R [ u ].
2. ${\ displaystyle R [u] \ cap R [u ^ {- 1}]}$цело над R .
3. Целочисленное замыкание однородного координатного кольца нормального проективного многообразия X - это кольцо сечений

${\ displaystyle \ bigoplus _ {n \ geq 0} \ operatorname {H} ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (n)).}$

Целостность в алгебре

• Если - алгебраическое замыкание поля k , то цело по${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle {\ overline {k}} [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$${\ displaystyle k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}].}$
• Целочисленное замыкание C [[ x ]] в конечном расширении C (( x )) имеет вид (ср. Ряд Пюизо )${\ Displaystyle \ mathbf {C} [[х ^ {1 / n}]]}$

Эквивалентные определения

Пусть B является кольцо, и пусть подкольцо B . Для элемента b в B следующие условия эквивалентны:

(i) b цело над A ;

(ii) подкольцо A [ b ] кольца B, порожденное A и b, является конечно порожденным A -модулем ;

(III) существует подкольцо С из B , содержащий A [ б ] и которая является конечно-порожденный - модуль;

(iv) существует точный A [ b ] -модуль M такой, что M конечно порожден как A -модуль.

Обычное доказательство этого использует следующий вариант теоремы Кэли – Гамильтона о детерминантах :

Теорема Пусть у быть эндоморфизм из А - модуля М , порожденной п элементами и I идеал таким образом, что . Тогда есть отношение: ${\ Displaystyle и (М) \ подмножество IM}$

${\ displaystyle u ^ {n} + a_ {1} u ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1} u + a_ {n} = 0, \, a_ {i} \ in I ^ { я}.}$

Эта теорема (с I = A и умножением u на b ) дает (iv) ⇒ (i), а остальное несложно. По совпадению, лемма Накаямы также является непосредственным следствием этой теоремы.

Элементарные свойства

Цельное закрытие образует кольцо

Из приведенных выше четырех эквивалентных утверждений следует, что множество элементов , являющихся целыми над, образует подкольцо содержащих . (Доказательство: если x , y - элементы, которые являются целыми над , то являются целыми над, поскольку они стабилизируются , что является конечно порожденным модулем над и аннулируется только нулем.) Это кольцо называется интегральным замыканием над in . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x + y, xy, -x}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle А [х] А [у]}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Транзитивность целочисленности

Другое следствие указанной эквивалентности состоит в том, что «целостность» транзитивна в следующем смысле. Позвольте быть кольцо, содержащее и . Если целое и целое , то целое . В частности, если само является целым по и является целым по , то также является целым по . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle c \ in C}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle A}$

Интеграл, замкнутый в поле дробей

Если это интегральное замыкание in , то говорят , что A интегрально замкнута в . Если это общее кольцо фракций из (например, поле частных , когда область целостности), то один иногда падает квалификацию «в » и просто говорит , что «целое замыкание » и « является целозамкнуто .» Например, кольцо целых чисел целиком замкнуто в поле . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle K}$

Транзитивность интегрального замыкания с целозамкнутыми областями

Пусть область целостности с полем дробей К и А» целого замыкания А в качестве алгебраического расширения поля L в K . Тогда поле частных А» является л . В частности, A ' - целозамкнутая область .

Транзитивность в алгебраической теории чисел

Эта ситуация применима в алгебраической теории чисел при связывании кольца целых чисел и расширения поля. В частности, с учетом расширения поля интегральное замыкание in является кольцом целых чисел . ${\ displaystyle L / K}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {L}}$

Замечания

Обратите внимание, что транзитивность указанной выше целочисленности означает, что if является целым по , то является объединением (эквивалентно индуктивным пределом ) подкольц, которые являются конечно порожденными -модулями. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

Если это нетеров , транзитивность цельности может быть ослаблена в заявление: ${\ displaystyle A}$

Существует конечно порожденный -подмодуль , содержащий .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A [b]}$

Связь с условиями конечности

Наконец, предположение, что это подкольцо, можно немного изменить. Если - гомоморфизм колец , то говорят, что является целым, если является целым над . Точно так же говорят, что она конечна ( конечно порожденный -модуль) или конечного типа ( конечно порожденная -алгебра). С этой точки зрения ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f: от A \ до B}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f (A)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle f}$конечно тогда и только тогда, когда оно целое и конечного типа.${\ displaystyle f}$

Или, точнее,

${\ displaystyle B}$является конечно порожденным -модулем тогда и только тогда, когда он порождается как -алгебра конечным числом элементов, целых над .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Интегральные расширения

Теоремы Коэна-Зайденберга

Неотъемлемое расширение  ⊆  B имеет Собирается вверх свойство , то лежащий над собственностью, и несопоставимость свойство ( Cohen-Seidenberg теоремы ). Явно, для данной цепочки первичных идеалов в A существует a в B с (восходящим и лежащим над), и два различных первичных идеала с отношением включения не могут стягиваться с одним и тем же первичным идеалом (несравнимость). В частности, размеры Крулл из A и B являются такими же. Кроме того, если A - целозамкнутая область, то имеет место спад (см. Ниже). ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subset \ cdots \ subset {\ mathfrak {p}} _ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} '_ {1} \ subset \ cdots \ subset {\ mathfrak {p}}' _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} = {\ mathfrak {p}} '_ {i} \ cap A}$

В общем, подъём подразумевает опрокидывание. Таким образом, ниже мы просто говорим «подъем», чтобы означать «подъем» и «лежание».

Когда A , B - области, такие что B цело над A , A является полем тогда и только тогда, когда B является полем. Как следствие, один имеет: дан простой идеал из B , является максимальным идеалом в B , если и только если это максимальный идеал А . Еще одно следствие: если L / K - алгебраическое расширение, то любое подкольцо L, содержащее K, является полем. ${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}} \ cap A}$

Приложения

Пусть B - кольцо, целое над подкольцом A, а k - алгебраически замкнутое поле. Если - гомоморфизм, то f продолжается до гомоморфизма B → k . Это следует из взлета. ${\ displaystyle f: от A \ до k}$

Геометрическая интерпретация восходящего движения

Позвольте быть целым расширением колец. Тогда индуцированное отображение ${\ displaystyle f: от A \ до B}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} f ^ {\ #}: \ operatorname {Spec} B \ to \ operatorname {Spec} A \\ p \ mapsto f ^ {- 1} (p) \ end {cases}} }$

это замкнутая карта ; на самом деле для любого идеала I и сюръективно, если f инъективно. Это геометрическая интерпретация восходящего движения. ${\ Displaystyle е ^ {\ #} (V (I)) = V (f ^ {- 1} (I))}$${\ displaystyle f ^ {\ #}}$

Геометрическая интерпретация интегральных расширений

Пусть Б быть кольцом и подкольцо , что является нетеровым целозамкнутой области (то есть, это нормальная схема .) Если В является целой над А , то есть submersive ; т. е. топология является фактор-топологией . Доказательство использует понятие конструктивных множеств . (См. Также: торсор (алгебраическая геометрия) .) ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} B \ to \ operatorname {Spec} A}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}$

Целостность, изменение базы, универсальная замкнутость и геометрия

Если цела над , то цело над R для любого алгебра R . В частности, закрыто; т.е. интегральное расширение индуцирует « универсально замкнутое » отображение. Это приводит к геометрической характеристике интегрального расширения . А именно, пусть B - кольцо только с конечным числом минимальных первичных идеалов (например, с областью целостности или нётеровым кольцом). Тогда Б является интегралом по (подкольцу) А тогда и только тогда , когда замкнута для любого - алгебры R . В частности, каждая собственная карта универсально замкнута. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B \ otimes _ {A} R}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (B \ otimes _ {A} R) \ to \ operatorname {Spec} R}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (B \ otimes _ {A} R) \ to \ operatorname {Spec} R}$

Действия Галуа на интегральных расширениях целозамкнутых областей

Предложение. Пусть быть целозамкнутая область с полем частных K , L конечное нормальное расширение из K , B целое замыкание A в L . Тогда группа действует транзитивно на каждом слое .${\ displaystyle G = \ operatorname {Gal} (L / K)}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} B \ to \ operatorname {Spec} A}$

Доказательство. Предположим , что для любого в G . Тогда по простому избеганию найдется элемент x в такой, что для любого . G фиксирует элемент и , следовательно , у является чисто неотделима над K . Тогда некоторая степень принадлежит K ; поскольку A интегрально замкнуто, мы имеем: Таким образом, мы нашли, что находится внутри, но не внутри ; то есть . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {2} \ neq \ sigma ({\ mathfrak {p}} _ {1})}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {2}}$${\ displaystyle \ sigma (x) \ not \ in {\ mathfrak {p}} _ {1}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle y = \ prod \ nolimits _ {\ sigma} \ sigma (x)}$${\ displaystyle y ^ {e}}$${\ displaystyle y ^ {e} \ in A.}$${\ displaystyle y ^ {e}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {2} \ cap A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1} \ cap A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1} \ cap A \ neq {\ mathfrak {p}} _ {2} \ cap A}$

Приложение к алгебраической теории чисел

Затем группа Галуа действует на всех первичных идеалах, лежащих над фиксированным первичным идеалом . То есть, если${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (L / K)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {q}} _ {1}, \ ldots, {\ mathfrak {q}} _ {k} \ in {\ text {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {L} )}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in {\ text {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {K})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {q}} _ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots {\ mathfrak {q}} _ {k} ^ {e_ {k}} \ подмножество {\ mathcal {O}} _ {L}}$

тогда на множестве есть действие Галуа . Это называется расщеплением простых идеалов в расширениях Галуа . ${\ Displaystyle S _ {\ mathfrak {p}} = \ {{\ mathfrak {q}} _ {1}, \ ldots, {\ mathfrak {q}} _ {k} \}}$

Замечания

Та же идея в доказательстве показывает, что если является чисто неотделимым расширением (не обязательно нормальным), то биективно. ${\ displaystyle L / K}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} B \ to \ operatorname {Spec} A}$

Пусть A , K и т.д. , как и раньше , но предположим L только конечное расширение поля K . потом

(i) имеет конечные слои.${\ displaystyle \ operatorname {Spec} B \ to \ operatorname {Spec} A}$

(ii) снижение справедливо между A и B : при условии , что существует договоренность с ним.${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subset \ cdots \ subset {\ mathfrak {p}} _ {n} = {\ mathfrak {p}} '_ {n} \ cap A}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} '_ {1} \ subset \ cdots \ subset {\ mathfrak {p}}' _ {n}}$

Действительно, в обоих утверждениях, увеличивая L , мы можем считать L нормальным расширением. Тогда (i) немедленно. Что касается (ii), поднимаясь вверх, мы можем найти цепь, которая сокращается до . По транзитивности существует такое, что и тогда - искомая цепочка. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} '' _ {я}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} '_ {я}}$${\ displaystyle \ sigma \ in G}$${\ displaystyle \ sigma ({\ mathfrak {p}} '' _ {n}) = {\ mathfrak {p}} '_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} '_ {i} = \ sigma ({\ mathfrak {p}}' '_ {i})}$

Интегральное закрытие

Пусть ⊂ B будет кольца и А» целое замыкание A в B . (См. Определение выше.)

Целостные замыкания хорошо себя ведут при различных конструкциях. В частности, для мультипликативно замкнутого подмножества S множества A , локализация S ⁻¹ A ' является интегральным замыканием S ⁻¹ A в S ⁻¹ B и интегральным замыканием in . Если - подкольца колец , то интегральное замыкание in - это где - целые замыкания in . ${\ Displaystyle А '[т]}$${\ Displaystyle А [т]}$${\ displaystyle B [t]}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle B_ {i}, 1 \ leq i \ leq n}$${\ displaystyle \ prod A_ {i}}$${\ displaystyle \ prod B_ {i}}$${\ displaystyle \ prod {A_ {i}} '}$${\ displaystyle {A_ {i}} '}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle B_ {i}}$

Целостное замыкание локального кольца A , скажем, в B не обязательно должно быть локальным. (Если это так, то кольцо называется unibranch .) Это тот случай, например , когда является гензелево и B является расширением поля области фракций А .

Если является подкольцом поля K , то целое замыкание A в K является пересечением всех колец нормирования из K , содержащих A .

Пусть быть -градуированы подкольцо - градуированное кольцо B . Тогда целое замыкание A в B является -градуированным подкольцом B . ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Также существует понятие целостной замкнутости идеала . Целочисленное замыкание идеала , обычно обозначаемое как , - это множество всех элементов таких, что существует монический многочлен ${\ Displaystyle I \ подмножество R}$${\ displaystyle {\ overline {I}}}$${\ displaystyle r \ in R}$

${\ displaystyle x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1} x ^ {1} + a_ {n}}$

с с как корень. Радикал идеала интегрально замкнут. ${\ displaystyle a_ {i} \ in I ^ {i}}$${\ displaystyle r}$

Для нётеровых колец также существуют альтернативные определения.

• ${\ displaystyle r \ in {\ overline {I}}}$если существует не содержащееся ни в каком минимальном простом числе, такое, что для всех .${\ displaystyle c \ in R}$${\ displaystyle cr ^ {n} \ in I ^ {n}}$${\ Displaystyle п \ geq 1}$
• ${\ displaystyle r \ in {\ overline {I}}}$если в нормализованном раздутии I , тяга заднего г содержатся в прообразе I . Разрушение идеала - это операция схем, которая заменяет данный идеал главным идеалом. Нормализация схемы - это просто схема, соответствующая целочисленному замыканию всех ее колец.

Понятие интегрального замыкания идеала используется в некоторых доказательствах теоремы о понижении .

Дирижер

Пусть Б быть кольцо и подкольцо B таким образом, что В цело над A . Затем аннуляторный из А - модуля B / A называется проводник из A в B . Поскольку это понятие возникло из теории алгебраических чисел , проводник обозначается через . Явно состоит из таких элементов a в A , что . (см идеализаторного в абстрактной алгебре.) Это самый большой идеал из А , что также является идеал B . Если S - мультипликативно замкнутое подмножество A , то ${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} = {\ mathfrak {f}} (B / A)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {f}}}$${\ displaystyle aB \ subset A}$

${\ Displaystyle S ^ {- 1} {\ mathfrak {f}} (B / A) = {\ mathfrak {f}} (S ^ {- 1} B / S ^ {- 1} A)}$.

Если B является подкольцом полного кольца фракций из А , то мы можем определить

${\ Displaystyle {\ mathfrak {f}} (B / A) = \ operatorname {Hom} _ {A} (B, A)}$.

Пример: Пусть k - поле и пусть (т. Е. A - координатное кольцо аффинной кривой .) B - интегральное замыкание A в . Проводник A в B - идеальный . В более общем плане , проводник , , б взаимно просты, является с . ${\ Displaystyle A = к [t ^ {2}, t ^ {3}] \ подмножество B = k [t]}$${\ Displaystyle х ^ {2} = у ^ {3}}$${\ Displaystyle к (т)}$${\ Displaystyle (т ^ {2}, т ^ {3}) А}$${\ Displaystyle А = К [[т ^ {а}, т ^ {Ь}]]}$${\ Displaystyle (т ^ {с}, т ^ {с + 1}, \ точки) А}$${\ Displaystyle с = (а-1) (б-1)}$

Предположим, что B - целое замыкание области целостности A в поле частных A, такое что A -модуль конечно порожден. Тогда проводник из A является идеальным определением поддержки ; таким образом, A совпадает с B в дополнении к in . В частности, множество , дополнение , является открытым множеством. ${\ displaystyle B / A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {f}}}$ ${\ displaystyle B / A}$${\ Displaystyle V ({\ mathfrak {f}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}$${\ displaystyle \ {{\ mathfrak {p}} \ in \ operatorname {Spec} A \ mid A _ {\ mathfrak {p}} {\ text {целиком замкнут}} \}}$${\ Displaystyle V ({\ mathfrak {f}})}$

Конечность интегрального замыкания

Важный, но трудный вопрос - конечность интегрального замыкания конечно порожденной алгебры. Есть несколько известных результатов.

Целостное замыкание дедекиндовской области в конечном расширении поля дробей есть дедекиндова область; в частности, нётеровское кольцо. Это следствие теоремы Крулля – Акизуки . В общем, интегральное замыкание нётеровой области размерности не более 2 является нётеровым; Нагата привел пример нётеровой области размерности 3, интегральное замыкание которой не является нётеровым. Более красивое утверждение: целочисленное замыкание нётеровой области является областью Крулля ( теорема Мори – Нагаты ). Нагата также привел пример нётеровой локальной области размерности 1, в которой интегральное замыкание не является конечным по этой области.

Пусть нётерова целозамкнутое область с полем частных K . Если L / K есть конечное сепарабельное расширение, то целое замыкание из A в L является конечно порожденным - модулем. Это просто и стандартно (использует тот факт, что след определяет невырожденную билинейную форму). ${\ displaystyle A '}$

Пусть конечно порожденная алгебра над полем к , который является неотъемлемой область с полем частных K . Если L есть конечное расширение К , то целое замыкание из A в L является конечно порожденным - модулем , а также конечно порожденными к - алгебра. Результат принадлежит Нётер и может быть показан с помощью леммы о нормировке Нётер следующим образом. Ясно, что достаточно показать утверждение, когда L / K либо отделимо, либо чисто неразделимо. Разборный случай отмечен выше; таким образом, предположим, что L / K полностью неразделимы. По лемме о нормализации A цело над кольцом многочленов . Так как L / K является конечным чисто несепарабельным расширением, есть сила , д простого числа , такие , что каждый элемент из L является д -го корнем элемента в K . Пусть конечное расширение к , содержащих все Q -й корни коэффициентов конечного числа рациональных функций, порождающих L . Тогда мы имеем: кольцо справа - это поле дробей , которое является целым замыканием S ; таким образом, содержит . Следовательно, конечно над S ; подавно над A . Результат остается верным , если заменить K на Z . ${\ displaystyle A '}$${\ Displaystyle S = к [x_ {1}, ..., x_ {d}]}$${\ displaystyle k '}$${\ displaystyle L \ subset k '(x_ {1} ^ {1 / q}, ..., x_ {d} ^ {1 / q}).}$${\ displaystyle k '[x_ {1} ^ {1 / q}, ..., x_ {d} ^ {1 / q}]}$${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle A '}$

Целое замыкание полного локального нетерова домена А в конечном расширении поля частных А конечно над A . Точнее, для локального нётерова кольца R мы имеем следующие цепочки импликаций:

(я) полное является Нагаты кольцо${\ displaystyle \ Rightarrow}$

(ii) A является областью Нагаты A аналитически неразветвленной, интегральное замыкание пополнения конечно над целым замыканием A конечно над A.${\ displaystyle \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow}$${\ displaystyle {\ widehat {A}}}$${\ displaystyle {\ widehat {A}}}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow}$

Лемма Нётер о нормализации

Лемма Нётер о нормализации - это теорема коммутативной алгебры . Для поля K и конечно порожденной K -алгебры A теорема утверждает, что можно найти элементы y ₁ , y ₂ , ..., y _m в A , которые алгебраически независимы над K такие, что A конечно (и, следовательно, интеграл) над B = K [ y ₁ , ..., y _m ]. Таким образом, расширение K ⊂ A можно записать как составное K ⊂ B ⊂ A, где K ⊂ B - чисто трансцендентное расширение, а B ⊂ A конечно.

Интегральные морфизмы

В алгебраической геометрии , морфизм из схем является интегралом , если это аффинное и если по какой - то ( что то же самое, каждый) аффинного открытого покрытия из Y , каждая карта имеет вид , где является интегральной Б - алгебра. Класс интегральных морфизмов более общий, чем класс конечных морфизмов, потому что существуют целые расширения, которые не являются конечными, например, во многих случаях алгебраическое замыкание поля над полем. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (U_ {i}) \ to U_ {i}}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A) \ to \ operatorname {Spec} (B)}$

Абсолютное интегральное замыкание

Пусть область целостности и L (некоторые) алгебраическое замыкание поля фракций A . Тогда целое замыкание из А в L называется абсолютным целое замыкание в А . Он единственен с точностью до неканонического изоморфизма. Кольцо всех целых алгебраических чисел является примером (и , таким образом , как правило , не нетерова.) ${\ displaystyle A ^ {+}}$${\ displaystyle A ^ {+}}$

Смотрите также

• Нормальная схема
• Лемма Нётер о нормализации
• Алгебраическое целое число
• Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
• Торсор (алгебраическая геометрия)

Примечания

использованная литература

• М. Атья , И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley , 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Николя Бурбаки , Коммутативный Альжебр , 2006.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, 150 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-94268-8
• Каплански, Ирвинг (сентябрь 1974 г.). Коммутативные кольца . Лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-42454-5.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Мацумура, Х (1970), Коммутативная алгебра
• Х. Мацумура Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рейда. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.
• Дж. С. Милн , "Алгебраическая теория чисел". доступно на http://www.jmilne.org/math/
• Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей , Серия лекций Лондонского математического общества, 336 , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-68860-4, Руководство по ремонту  2266432
• М. Рид , Коммутативная алгебра для студентов , Лондонское математическое общество, 29 , Cambridge University Press, 1995.

дальнейшее чтение

• Ирена Суонсон, Интегральные замыкания идеалов и колец
• Есть ли у DG-алгебр разумное понятие интегрального замыкания?
• ${\ Displaystyle к [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$Всегда ли является целым расширением для регулярной последовательности ?]${\ Displaystyle к [е_ {1}, \ ldots, е_ {п}]}$${\ Displaystyle (е_ {1}, \ ldots, е_ {п})}$