Теорема Римана – Роха - Riemann–Roch theorem

Теорема Римана – Роха.
Поле Алгебраическая геометрия и комплексный анализ
Первое доказательство Густав Рох
Первое доказательство в 1865 г.
Обобщения Теорема Атьи – Зингера об индексе Теорема
Гротендика – Римана – Роха Теорема
Хирцебруха – Римана – Роха Теорема
Римана – Роха для поверхностей
Теорема типа Римана – Роха
Последствия Теорема Клиффорда о специальных дивизорах
Формула Римана – Гурвица

Теорема Римана – Роха - важная теорема в математике , особенно в комплексном анализе и алгебраической геометрии , для вычисления размерности пространства мероморфных функций с заданными нулями и допустимыми полюсами . Он связывает комплексный анализ связной компактной римановой поверхности с чисто топологическим родом поверхности g таким образом, который может быть перенесен в чисто алгебраические условия.

Изначально зарекомендовала себя как неравенство Римана по Риман (1857 г.) , теорема достигла своей окончательной формы для риманов поверхностей после работы Римана недолговечны студента Густав Роха  ( 1865 ). Позже он был обобщен на алгебраические кривые , на многомерные многообразия и не только.

Предварительные представления

Риманова поверхность рода 3.

Риманова поверхность является топологическим пространством , локально гомеоморфно открытому подмножеству , множество комплексных чисел. Кроме того, карты переходов между этими открытыми подмножествами должны быть голоморфными . Последнее условие позволяет перенести понятия и методы комплексного анализа , ЗАНИМАЮЩИЙСЯ голоморфными и мероморфные функции на поверхность . Для целей теоремы Римана – Роха поверхность всегда считается компактной . Говоря простым языком, род римановой поверхности - это количество ручек; например, род римановой поверхности, показанной справа, равен трем. Точнее, род определяется как половина первого числа Бетти , т. Е. Половина -мерности первой особой группы гомологий с комплексными коэффициентами. Род классифицирует компактные римановы поверхности с точностью до гомеоморфизма , т. Е. Две такие поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда их род один и тот же. Следовательно, род является важным топологическим инвариантом римановой поверхности. С другой стороны, теория Ходжа показывает, что род совпадает с -мерностью пространства голоморфных одноформ на , поэтому род также кодирует комплексно-аналитическую информацию о римановой поверхности.

Делитель представляет собой элемент свободной абелевой группы на точках поверхности. Эквивалентно дивизор - это конечная линейная комбинация точек поверхности с целыми коэффициентами.

Любая мероморфная функция порождает дивизор, обозначенный как

где - множество всех нулей и полюсов , и задается формулой

Как известно, множество конечно; это следствие компактности и того факта, что нули (ненулевой) голоморфной функции не имеют точки накопления . Следовательно, четко определено. Любой дивизор такого вида называется главным дивизором . Два дивизора, различающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными . Аналогично определяется дивизор мероморфной 1-формы . Дивизор глобальной мероморфной 1-формы называется каноническим дивизором (обычно обозначается ). Любые две мероморфные 1-формы дадут линейно эквивалентные дивизоры, поэтому канонический дивизор определяется однозначно с точностью до линейной эквивалентности (отсюда и «канонический» дивизор).

Символ обозначает степень (иногда также называемую индексом) делителя , т. Е. Сумму коэффициентов, входящих в . Можно показать, что дивизор глобальной мероморфной функции всегда имеет степень 0, поэтому степень дивизора зависит только от его класса линейной эквивалентности.

Число - это величина, которая представляет основной интерес: размерность (по ) векторного пространства мероморфных функций на поверхности, такая, что все коэффициенты неотрицательны. Интуитивно мы можем думать об этом как о всех мероморфных функциях, полюса которых в каждой точке не хуже, чем соответствующий коэффициент в ; если коэффициент в at отрицательный, то мы требуем, чтобы он имел нуль не менее этой кратности at - если коэффициент в положителен, может иметь полюс не более того порядка. Векторные пространства для линейно эквивалентных дивизоров естественно изоморфны посредством умножения на глобальную мероморфную функцию (которая определена с точностью до скаляра).

Формулировка теоремы

Теорема Римана – Роха для компактной римановой поверхности рода с каноническими состояниями дивизоров

Как правило, число представляет интерес, в то время как считается поправочным термином (также называемым индексом специальности), поэтому теорему можно грубо перефразировать, сказав:

размерность - поправка = степень - род + 1.

Поскольку это размерность векторного пространства, поправочный член всегда неотрицателен, так что

Это называется неравенством Римана . Часть утверждения Роха - это описание возможной разницы между сторонами неравенства. На общей римановой поверхности рода , имеет степень , независимо от мероморфной формы , выбранной для представления делителя. Это следует из постановки теоремы. В частности, если степень не ниже , поправочный член равен 0, так что

Теперь теорема будет проиллюстрирована для поверхностей малого рода. Есть также ряд других тесно связанных теорем: эквивалентная формулировка этой теоремы с использованием линейных расслоений и обобщение теоремы на алгебраические кривые .

Примеры

Теорема будет проиллюстрирована путем выбора точки на рассматриваемой поверхности и относительно последовательности чисел

т. е. размерность пространства функций, голоморфных всюду, кроме точки, в которой функция может иметь полюс порядка не выше . При , таким образом, требуется, чтобы функции были целыми , т. Е. Голоморфными на всей поверхности . По теореме Лиувилля такая функция обязательно постоянна. Поэтому . В общем, последовательность - это возрастающая последовательность.

Род ноль

Сфера Римана (также называется комплексное проективное линия ) является односвязной и , следовательно , его первый сингулярные гомологии равна нулю. В частности, его род равен нулю. Сфера может быть покрыта двумя копиями , при этом карта перехода задается

Следовательно, форма на одной копии расширяется до мероморфной формы на сфере Римана: она имеет двойной полюс на бесконечности, поскольку

Таким образом, его делитель (где - бесконечно удаленная точка).

Следовательно, теорема гласит, что последовательность читается как

1, 2, 3, ....

Эту последовательность также можно прочитать из теории частичных дробей . И наоборот, если эта последовательность начинается таким образом, то она должна быть равна нулю.

Род один

Тор.

Следующий случай - это риманова поверхность рода , например тор , где - двумерная решетка (группа, изоморфная ). Его род один: его первая особая группа гомологий свободно порождается двумя петлями, как показано на иллюстрации справа. Стандартная комплексная координата на дает один-форма на что всюду голоморфна, т.е. не имеет полюсов на всех. Следовательно, делитель равен нулю.

На этой поверхности эта последовательность

1, 1, 2, 3, 4, 5 ...;

и это характеризует случай . Действительно, для , как было сказано выше. Для с степень строго отрицательна, так что поправочный член равен 0. Последовательность измерений также может быть получена из теории эллиптических функций .

Род два и выше

В самом деле, указанная выше последовательность

1, 1,?, 2, 3, ....

Из этого видно, что? член степени 2 равен 1 или 2, в зависимости от точки. Можно доказать, что в любой кривой рода 2 есть ровно шесть точек, последовательности которых равны 1, 1, 2, 2, ..., а остальные точки имеют общую последовательность 1, 1, 1, 2, ... В частности, кривая рода 2 является гиперэллиптической кривой . Ведь всегда верно, что в большинстве точек последовательность начинается с единиц, а есть конечное число точек с другими последовательностями (см. Точки Вейерштрасса ).

Римана – Роха для линейных пучков

Используя близкое соответствие между делителей и пучками голоморфных линейных на римановой поверхности, то теорема может быть сформулирована в другом, но эквивалентным образом: пусть L -голоморфная линейное расслоение на X . Пусть обозначим пространство голоморфных сечений L . Это пространство будет конечномерным; обозначен его размер . Пусть K обозначит каноническое расслоение на X . Тогда теорема Римана – Роха утверждает, что

Теорема предыдущего раздела является частным случаем, когда L - точечное расслоение .

Теорема может быть применена, чтобы показать, что существует g линейно независимых голоморфных сечений K или одноформ на X следующим образом. Считая L тривиальным расслоением, поскольку единственные голоморфные функции на X - константы. Степень L равна нулю и является тривиальным расслоением. Таким образом,

Следовательно, доказывая, что существует g голоморфных одноформ.

Степень канонической связки

Поскольку каноническое расслоение имеет , применение Римана – Роха дает

который можно переписать как

следовательно, степень канонического расслоения равна .

Теорема Римана – Роха для алгебраических кривых.

Каждый пункт в приведенной выше формулировке теоремы Римана – Роха для дивизоров на римановых поверхностях имеет аналог в алгебраической геометрии . Аналогом римановой поверхности является неособая алгебраическая кривая C над полем k . Различие в терминологии (кривая против поверхности) заключается в том, что размерность римановой поверхности как реального многообразия равна двум, а как комплексному многообразию - один. Компактность римановой поверхности сопровождается условием полноты алгебраической кривой , что эквивалентно проективности . Над общим полем k нет хорошего понятия сингулярных (ко) гомологий. Так называемый геометрический род определяется как

т.е. как размерность пространства глобально определенных (алгебраических) одноформ (см. дифференциал Кэлера ). Наконец, мероморфные функции на римановой поверхности локально представлены в виде долей голоморфных функций. Следовательно, они заменяются рациональными функциями, которые являются локально частями регулярных функций . Таким образом, записав для размерности (над k ) пространства рациональных функций на кривой, полюсы которой в каждой точке не хуже, чем соответствующий коэффициент в D , верна та же формула, что и выше:

где C - проективная неособая алгебраическая кривая над алгебраически замкнутым полем k . Фактически, та же формула верна для проективных кривых над любым полем, за исключением того, что степень дивизора должна учитывать кратности, возникающие из возможных расширений основного поля и полей вычетов точек, поддерживающих дивизор. Наконец, для собственной кривой над артиновым кольцом эйлерова характеристика линейного расслоения, связанного с дивизором, задается степенью дивизора (определенным соответствующим образом) плюс эйлерова характеристика структурного пучка .

Предположение о гладкости в теореме также может быть ослаблено: для (проективной) кривой над алгебраически замкнутым полем, все локальные кольца которой являются кольцами Горенштейна , справедливо то же утверждение, что и выше, при условии, что геометрический род, определенный выше, равен заменен арифметическим родом g a , определяемым как

(Для гладких кривых геометрический род согласуется с арифметическим.) Теорема также была распространена на общие особые кривые (и многомерные многообразия).

Приложения

Полином Гильберта

Одно из важных следствий Римана – Роха состоит в том, что он дает формулу для вычисления полинома Гильберта линейных расслоений на кривой. Если линейное расслоение обильно, то многочлен Гильберта даст первую степень, дающую вложение в проективное пространство. Например, канонический пучок имеет степень , которая дает обильное линейное расслоение для рода . Если установить, то формула Римана – Роха имеет вид

Придавая степень полинома Гильберта

Поскольку для вложения кривой используется триканонический пучок , многочлен Гильберта

обычно рассматривается при построении схемы Гильберта кривыхмодулей алгебраических кривых ). Этот многочлен

и называется многочленом Гильберта кривой рода g .

Плюриканоническое вложение

При дальнейшем анализе этого уравнения эйлерова характеристика имеет вид

С

ибо , поскольку его степень отрицательна для всех , что означает, что у него нет глобальных секций, есть вложение в некоторое проективное пространство из глобальных секций . В частности, дает вложение в where, поскольку . Это полезно при построении модулей алгебраических кривых, поскольку его можно использовать в качестве проективного пространства для построения схемы Гильберта с многочленом Гильберта .

Род плоских кривых с особенностями

Неприводимая плоская алгебраическая кривая степени d при правильном подсчете имеет ( d  - 1) ( d  - 2) / 2 -  g особенностей. Отсюда следует, что если кривая имеет ( d  - 1) ( d  - 2) / 2 различных особенностей, она является рациональной кривой и, таким образом, допускает рациональную параметризацию.

Формула Римана-Гурвица

Формула Римана – Гурвица, касающаяся (разветвленных) отображений между римановыми поверхностями или алгебраическими кривыми, является следствием теоремы Римана – Роха.

Теорема Клиффорда о специальных дивизорах

Теорема Клиффорда о специальных дивизорах также является следствием теоремы Римана – Роха. Он утверждает, что для специального дивизора (т. Е. Такого, что ), удовлетворяющего следующему неравенству, выполняется:

Доказательство

Доказательство для алгебраических кривых

Утверждение для алгебраических кривых можно доказать, используя двойственность Серра . Целое число - это размерность пространства глобальных секций линейного расслоения, связанного с D ( см. Дивизор Картье ). Таким образом, в терминах когомологий пучков мы имеем , и аналогично . Но двойственность Серра для неособых проективных многообразий в частном случае состояния кривой изоморфна двойственному . Таким образом , левая сторона равна эйлерова характеристика дивизора D . Когда D = 0, мы находим эйлерову характеристику для структурного пучка по определению. Чтобы доказать теорему для общего дивизора, можно продолжить, добавляя точки одну за другой к дивизору и гарантируя, что эйлерова характеристика преобразуется в соответствии с правой частью.

Доказательство для компактных римановых поверхностей.

Теорема для компактных римановых поверхностей может быть выведена из алгебраической версии с использованием теоремы Чоу и принципа GAGA : фактически, каждая компактная риманова поверхность определяется алгебраическими уравнениями в некотором комплексном проективном пространстве. (Теорема Чоу утверждает, что любое замкнутое аналитическое подмногообразие проективного пространства определяется алгебраическими уравнениями, а принцип GAGA утверждает, что когомологии пучков алгебраического многообразия совпадают с когомологиями пучков аналитического многообразия, определяемого теми же уравнениями).

Можно избежать использования теоремы Чоу, рассуждая аналогично доказательству в случае алгебраических кривых, но заменяя его пучком мероморфных функций h таких, что все коэффициенты дивизора неотрицательны. Здесь тот факт, что характеристика Эйлера трансформируется по желанию при добавлении точки к делителю, может быть прочитан из длинной точной последовательности, индуцированной короткой точной последовательностью

где - пучок небоскребов в точке P , а карта возвращает th коэффициент Лорана, где .

Обобщения теоремы Римана – Роха.

Теорема Римана-Роха для кривых была доказана для римановых поверхностей Римана и Роха в 1850 - х и алгебраических кривых Ф. К. Шмидт в 1931 году , когда он работал над совершенными полями в конечной характеристики . Как заявил Питер Рокетт ,

Первым главным достижением Ф. К. Шмидта является открытие того, что классическая теорема Римана – Роха о компактных римановых поверхностях может быть перенесена на функциональные поля с конечным базовым полем. Фактически, его доказательство теоремы Римана – Роха работает для произвольных совершенных базовых полей, не обязательно конечных.

Это фундаментально в том смысле, что последующая теория кривых пытается уточнить информацию, которую она дает (например, в теории Брилла – Нётер ).

Существуют версии в более высоких измерениях (для соответствующего понятия делителя или линейного пучка ). Их общая формулировка зависит от разделения теоремы на две части. Одна, которую теперь назвали бы двойственностью Серра , интерпретирует этот термин как размерность группы когомологий первого пучка ; с размерностью нулевой группы когомологий или пространства сечений левая часть теоремы становится эйлеровой характеристикой , а правая часть - вычислением ее степени, скорректированной в соответствии с топологией римановой поверхности.

В алгебраической геометрии размерности два такую ​​формулу нашли геометры итальянской школы ; теорема Римана-Роха для поверхностей была доказана (существует несколько версий, с первым , возможно , из - за того , чтобы Макс Нётер ).

П - мерное обобщение, то теорема Хирцебрух-Римана-Роха , была найдена и доказана Фридрихом Хирцебруком , как применение характеристических классов в алгебраической топологии ; на него большое влияние оказали работы Кунихико Кодаира . Примерно в то же время Жан-Пьер Серр давал общую форму дуальности Серра, какой мы ее знаем сейчас.

В 1957 году Александр Гротендик доказал далеко идущее обобщение, известное теперь как теорема Гротендика – Римана – Роха . Его работа переосмысливает Римана – Роха не как теорему о многообразии, а как о морфизме между двумя многообразиями. Детали доказательств были опубликованы Арманом Борелем и Жан-Пьером Серром в 1958 году. Позже Гротендик и его сотрудники упростили и обобщили доказательство.

Наконец, общая версия была найдена и в алгебраической топологии . По существу, все эти разработки были выполнены в период с 1950 по 1960 год. После этого теорема об индексе Атьи – Зингера открыла еще один путь к обобщению. Следовательно, эйлерова характеристика когерентного пучка достаточно вычислима. Для одного слагаемого в переменной сумме необходимо использовать дополнительные аргументы, такие как теоремы об исчезновении .

Смотрите также

Заметки

Рекомендации