Алгебраически замкнутое поле - Algebraically closed field

В математике , А поле F является алгебраически замкнутым , если каждый непостоянного многочлена в Р [ х ] (одномерное кольцо многочленов с коэффициентами из F ) имеет корень в F .

Примеры

Например, поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым, потому что полиномиальное уравнение x 2  + 1 = 0 не имеет решения в действительных числах, даже если все его коэффициенты (1 и 0) действительны. Тот же аргумент доказывает, что никакое подполе вещественного поля не является алгебраически замкнутым; в частности, поле рациональных чисел не является алгебраически замкнутым. Кроме того, никакое конечное поле F не является алгебраически замкнутым, потому что если a 1 , a 2 , ..., a n являются элементами F , то многочлен ( x  -  a 1 ) ( x  -  a 2 ) ⋯ ( x  -  a п ) + 1 не имеет нуль в F . Напротив, основная теорема алгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Другой пример алгебраически замкнутого поля - это поле (комплексных) алгебраических чисел .

Эквивалентные свойства

Для поля F утверждение « F алгебраически замкнуто» эквивалентно другим утверждениям:

Единственные неприводимые полиномы - это полиномы первой степени.

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда единственные неприводимые многочлены в кольце многочленов F [ x ] имеют степень один.

Утверждение «полиномы первой степени неприводимы» тривиально верно для любого поля. Если F алгебраически замкнуто и p ( x ) - неприводимый многочлен от F [ x ], то он имеет некоторый корень a и, следовательно, p ( x ) делится на x  -  a . Поскольку p ( x ) неприводимо, это означает, что p ( x ) =  k ( x  -  a ) для некоторого k  ∈  F  \ {0}. С другой стороны, если Р не является алгебраически замкнутым, то есть некоторые непостоянная многочлен р ( х ) в F [ х ] без корней в F . Пусть q ( x ) - некоторый неприводимый фактор в p ( x ). Так как р ( х ) не имеет корней в F , д ( х ) также не имеет корней в F . Следовательно, д ( х ) имеет степень больше единицы, так как каждый первый многочлен степени имеет один корень в F .

Каждый многочлен является произведением многочленов первой степени

Поле Р алгебраически замкнуто тогда и только тогда , когда каждый многочлен р ( х ) степени п  ≥ 1, с коэффициентами в F , расщепляется на линейные множители . Другими словами, существуют элементы kx 1x 2 , ...,  x n поля F такие, что p ( x ) =  k ( x  -  x 1 ) ( x  -  x 2 ) ⋯ ( x  -  x п ).

Если F обладает этим свойством, то очевидно, что каждый непостоянный многочлен из F [ x ] имеет некоторый корень из F ; другими словами, F алгебраически замкнута. С другой стороны, то, что указанное здесь свойство выполняется для F, если F алгебраически замкнуто, следует из предыдущего свойства вместе с тем фактом, что для любого поля K любой многочлен из K [ x ] может быть записан как произведение неприводимых многочленов .

Многочлены простой степени имеют корни

Если каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F , то каждый непостоянный многочлен имеет корень в F . Отсюда следует , что поле алгебраически замкнуто тогда и только тогда , когда каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F .

Поле не имеет собственного алгебраического расширения.

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного алгебраического расширения .

Если F не имеет собственного алгебраического расширения, пусть p ( x ) - некоторый неприводимый многочлен от F [ x ]. Тогда фактор из F [ х ] по модулю идеала , порожденный р ( х ) является алгебраическим расширением F , чья степень равна степени р ( х ). Поскольку это не собственное расширение, его степень равна 1 и, следовательно, степень p ( x ) равна 1.

С другой стороны, если F имеет собственное алгебраическое расширение K , то минимальный многочлен элемента в K  \  F неприводим и его степень больше 1.

Поле не имеет собственного конечного расширения

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного конечного расширения, потому что если в предыдущем доказательстве термин «алгебраическое расширение» заменить термином «конечное расширение», то доказательство все еще остается в силе. (Обратите внимание, что конечные расширения обязательно алгебраические.)

Каждый эндоморфизм F n имеет собственный вектор

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа n каждое линейное отображение из F n в себя имеет некоторый собственный вектор .

Эндоморфизм из F п имеет собственный вектор тогда и только тогда , когда его характеристический полином имеет некоторый корень. Следовательно, когда F алгебраически замкнуто, каждый эндоморфизм F n имеет некоторый собственный вектор. С другой стороны, если каждый эндоморфизм F n имеет собственный вектор, пусть p ( x ) будет элементом F [ x ]. Разделив его на старший коэффициент, мы получим еще один многочлен q ( x ), который имеет корни тогда и только тогда, когда p ( x ) имеет корни. Но если q ( x ) =  x n  +  a n  - 1 x n  - 1 + ⋯ +  a 0 , то q ( x ) - характеристический многочлен сопутствующей матрицы размера n × n

Разложение рациональных выражений

Поле F является алгебраически замкнутым тогда и только тогда, когда каждая рациональная функция от одной переменной x с коэффициентами из F может быть записана как сумма полиномиальной функции с рациональными функциями вида a / ( x  -  b ) n , где n представляет собой натуральное число, а и б являются элементами F .

Если F алгебраически замкнуто, то, поскольку все неприводимые многочлены в F [ x ] имеют степень 1, указанное выше свойство выполняется по теореме о разложении на частичную дробь .

С другой стороны, предположим , что свойство было указано выше справедливо и для поля F . Пусть p ( x ) неприводимый элемент в F [ x ]. Тогда рациональную функцию 1 / p можно записать как сумму полиномиальной функции q с рациональными функциями вида a / ( x  -  b ) n . Следовательно, рациональное выражение

может быть записано как отношение двух многочленов, знаменатель которых является произведением многочленов первой степени. Поскольку p ( x ) неприводимо, он должен делить это произведение и, следовательно, также должен быть многочленом первой степени.

Относительно простые многочлены и корни

Для любого поля F , если два многочлена p ( x ), q ( x ) ∈  F [ x ] взаимно просты, то они не имеют общего корня, так как если a  ∈  F был общим корнем, то  p ( x ) и   q ( x ) оба будут кратны x  -  a, и поэтому они не будут относительно простыми. Поля, для которых имеет место обратная импликация (то есть такие поля, что если два многочлена не имеют общего корня, они взаимно просты), в точности являются алгебраически замкнутыми полями.

Если поле F алгебраически замкнуто, пусть p ( x ) и q ( x ) - два полинома, которые не являются взаимно простыми, и пусть r ( x ) - их наибольший общий делитель . Тогда, поскольку r ( x ) не является постоянным, у него будет некоторый корень a , который будет общим корнем p ( x ) и q ( x ).

Если F не является алгебраически замкнутым, пусть p ( x ) - многочлен, степень которого не меньше 1 без корней. Тогда p ( x ) и p ( x ) не являются взаимно простыми, но у них нет общих корней (поскольку ни один из них не имеет корней).

Прочие свойства

Если F - алгебраически замкнутое поле и n - натуральное число, то F содержит все корни n- й степени из единицы, поскольку они (по определению) являются n (не обязательно различными) нулями многочлена x n  - 1. Расширение поля которое содержится в расширении, порожденном корнями из единицы, является циклотомическим расширением , а расширение поля, порожденного всеми корнями из единицы, иногда называют его циклотомическим замыканием . Таким образом, алгебраически замкнутые поля циклотомически замкнуты. Обратное неверно. Даже если предположить, что каждый многочлен вида x n  -  a разбивается на линейные множители, недостаточно, чтобы гарантировать, что поле алгебраически замкнуто.

Если предложение, которое может быть выражено на языке логики первого порядка, верно для алгебраически замкнутого поля, то оно верно для любого алгебраически замкнутого поля с той же характеристикой . Более того, если такое предложение верно для алгебраически замкнутого поля с характеристикой 0, то оно не только верно для всех других алгебраически замкнутых полей с характеристикой 0, но существует некоторое натуральное число N такое, что предложение справедливо для любого алгебраически замкнутого поля. поле с характерным  р при р  >  N .

Каждое поле F имеет алгебраически замкнутое расширение. Такое расширение называется алгебраически замкнутым расширением . Среди всех таких расширений существует один и только один ( с точностью до изоморфизма , но не единственный изоморфизм ) , который является алгебраическим расширением из F ; это называется алгебраическое замыкание в F .

Теория алгебраически замкнутых полей имеет исключение кванторов .

Примечания

использованная литература

  • Барвайз, Джон (1978). «Введение в логику первого порядка». В Барвайз, Джон (ред.). Справочник по математической логике . Исследования по логике и основам математики. Северная Голландия. ISBN 0-7204-2285-X.
  • Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . 211 (переработанное третье изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. Руководство по ремонту  1878556 .
  • Шипман, Джозеф (2007). «Улучшение основной теоремы алгебры». Математический интеллигент . 29 (4): 9–14. DOI : 10.1007 / BF02986170 . ISSN  0343-6993 .
  • ван дер Варден, Бартель Леендерт (2003). Алгебра . I (7-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-40624-7.