Бирациональная геометрия - Birational geometry

Круг бирационалъно эквивалентен линии . Одна бирациональная карта между ними - стереографическая проекция , изображенная здесь.

В математике , бирациональная геометрия является полем алгебраической геометрии , в которой цель состоит в том, чтобы определить , когда две алгебраические многообразия изоморфны за пределами нижнего одномерные подмножеств. Это равносильно изучению отображений, которые задаются рациональными функциями, а не многочленами; карта может не быть определена там, где рациональные функции имеют полюсы.

Бирациональные карты

Рациональные карты

Рациональное отображение из одного сорта (понимается неприводимым ) к другой разновидности , записываются в виде пунктирной стрелки Х ⇢ Y , определяются как морфизм из непустого открытого подмножества в . По определению топологии Зарисского, используемой в алгебраической геометрии, непустое открытое подмножество всегда плотно в , фактически являясь дополнением подмножества меньшей размерности. Конкретно, рациональную карту можно записать в координатах с использованием рациональных функций. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle U \ подмножество X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

Бирациональные карты

Бирациональное отображение из X в Y является рациональное отображение F : X ⇢ Y такое , что существует рациональное отображение Y ⇢ X обратная к е . Бирациональное отображение индуцирует изоморфизм из непустого открытого подмножества X к непустому открытому подмножеству Y . В этом случае X и Y называются бирациональными или бирационально эквивалентными . В алгебраических терминах два многообразия над полем k бирациональны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны как поля расширения поля k .

Частным случаем является бирациональный морфизм f : X → Y , означающий бирациональный морфизм. То есть f определен везде, но его обратное может не быть. Как правило, это происходит потому , что бирациональный морфизм стягивает некоторую подмногообразию X для точек в Y .

Бирациональная эквивалентность и рациональность

Многообразие X называется рациональным, если оно бирационально аффинному пространству (или, что эквивалентно, проективному пространству ) некоторой размерности. Рациональность - очень естественное свойство: это означает, что X за вычетом некоторого подмножества более низкой размерности можно отождествить с аффинным пространством за вычетом некоторого подмножества более низкой размерности.

Бирациональная эквивалентность плоской коники

Например, окружность с уравнением в аффинной плоскости является рациональной кривой, потому что существует рациональное отображение f : ⇢ X, заданное формулой ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$

${\ displaystyle f (t) = \ left ({\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}) \верно),}$

который имеет рациональный обратный g : X ⇢, заданный формулой ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$

${\ displaystyle g (x, y) = {\ frac {1-y} {x}}.}$

Применяя отображение п с т а рациональное число дает систематическое построение пифагорейских троек .

Рациональное отображение не определено в геометрическом месте где . Таким образом, на комплексной аффинной прямой , морфизм на открытом подмножестве , . Точно так же рациональное отображение g : X ⇢ не определено в точке in . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 1 + t ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle U = \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {1} - \ {я, -i \}}$${\ displaystyle f: U \ to X}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$${\ displaystyle (0, -1)}$${\ displaystyle X}$

Бирациональная эквивалентность гладких квадрик и P ⁿ

В более общем смысле, гладкая квадрика (степени 2) гиперповерхность X любой размерности n является рациональной посредством стереографической проекции . (Для Й квадрики над полем к , Х следует считать , чтобы иметь K -рациональную точку , это происходит автоматически , если к алгебраически замкнуто.) Для того, чтобы определить стереографическую проекцию, пусть р точка в X . Затем задается бирациональное отображение из X в проективное пространство прямых, проходящих через p, путем передачи точки q в X прямой, проходящей через p и q . Это бирациональная эквивалентность, но не изоморфизм многообразий, потому что она не может быть определена там, где q = p (и обратное отображение не может быть определено на тех прямых через p, которые содержатся в X ). ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

Бирациональная эквивалентность квадратичной поверхности

Вложение Сегре дает вложение , данное ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times \ mathbb {P} ^ {1} \ to \ mathbb {P} ^ {3}}$

${\ displaystyle ([x, y], [z, w]) \ mapsto [xz, xw, yz, yw].}$

Изображение представляет собой квадратичную поверхность в . Это дает еще одно доказательство того, что эта квадратичная поверхность рациональна, поскольку она, очевидно, рациональна, имея открытое подмножество, изоморфное . ${\ displaystyle x_ {0} x_ {3} = x_ {1} x_ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {2}}$

Минимальные модели и разрешение особенностей

Каждое алгебраическое многообразие бирационально проективному многообразию ( лемма Чоу ). Итак, для целей бирациональной классификации достаточно работать только с проективными многообразиями, и это обычно наиболее удобная установка.

Гораздо глубже теорема Хиронаки 1964 г. о разрешении особенностей : над полем характеристики 0 (например, комплексными числами) каждое многообразие бирационально для гладкого проективного многообразия. При этом достаточно классифицировать гладкие проективные многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности.

В размерности 1, если две гладкие проективные кривые бирациональны, то они изоморфны. Но это не удается в измерении по крайней мере 2 из-за взрыва конструкции. Раздуваясь, каждое гладкое проективное многообразие размерности не менее 2 становится бирациональным по отношению к бесконечному множеству «больших» многообразий, например, с большими числами Бетти .

Это приводит к идее минимальных моделей : существует ли единственное простейшее многообразие в каждом классе бирациональной эквивалентности? Современное определение является то , что проективное многообразие X является минимальным , если каноническое линейное расслоение K _X имеет неотрицательное степень на каждой кривой в X ; Другими словами, K _X является неф . Легко убедиться, что раздуваемые разновидности никогда не бывают минимальными.

Это понятие отлично работает для алгебраических поверхностей (разновидностей размерности 2). В современных условиях, один центральный результат итальянской школы алгебраической геометрии от 1890-1910 гг, часть классификации поверхностей , является то , что каждая поверхность Х бирационально либо к продукту для некоторых кривых C или минимальную поверхность Y . Эти два случая являются взаимоисключающими, и Y уникален, если он существует. Когда Y существует, то он называется минимальная модель из  X . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times C}$

Бирациональные инварианты

Сначала непонятно, как показать, что существуют алгебраические многообразия, не являющиеся рациональными. Чтобы доказать это, потребуются некоторые бирациональные инварианты алгебраических многообразий. Бирациональный инвариант является любой вид числа, кольца, и т.д. , который является таким же, или изоморфными, для всех разновидностей, которые бирационально эквивалентны.

Plurigenera

Один из полезных наборов бирациональных инвариантов - это плюрироды . Каноническое расслоение гладкого многообразия X размерности п означает линейное расслоение из п -формы K _X = Q ^п , которая является п - й внешней степени из кокасательного расслоения на X . Для целого д , то д - я тензорной степени K _X есть снова линейное расслоение. При d ≥ 0 векторное пространство глобальных сечений H ⁰ ( X , K _X ^d ) обладает замечательным свойством: бирациональное отображение f : X ⇢ Y между гладкими проективными многообразиями индуцирует изоморфизм H ⁰ ( X , K _X ^d ) ≅ H ⁰ ( Y , K _Y ^d ).

Для d ≥ 0 определим d- е множественное число P _d как размерность векторного пространства H ⁰ ( X , K _X ^d ); то плюригены являются бирациональными инвариантами гладких проективных многообразий. В частности, если любое множественное число P _d с d > 0 не равно нулю, то X не рационально.

Кодаира измерение

Фундаментальным бирациональным инвариантом является размерность Кодаира , которая измеряет рост плюриродов P _d, когда d стремится к бесконечности. Размерность Кодаира делит все разновидности размерности n на n  + 2 типа, причем размерность Кодаиры −∞, 0, 1, ... или n . Это мера сложности многообразия с проективным пространством, имеющим размерность Кодаиры −∞. Наиболее сложные разновидности - это разновидности с размерностью Кодаира, равной их размерности n , называемые разновидностями общего типа .

Слагаемые ⊗ ^k Ω ¹ и некоторые числа Ходжа

В общем, для любого естественного слагаемого

${\ Displaystyle E (\ Omega ^ {1}) = \ bigotimes ^ {k} \ Omega ^ {1}}$

из r- - й тензорной степени кокасательного расслоения Q , ¹ с г ≥ 0, векторное пространство глобальных сечений Н ⁰ ( Х , Е (Ω ¹ )) является бирациональным инвариантом для гладких проективных многообразий. В частности, числа Ходжа

${\ displaystyle h ^ {p, 0} = H ^ {0} (X, \ Omega ^ {p})}$

бирациональные инварианты X . (Большинство других чисел Ходжа h ^{p, q} не являются бирациональными инвариантами, как показано на увеличении.)

Фундаментальная группа гладких проективных многообразий

Фундаментальная группа π ₁ ( X ) является бирациональным инвариантной для гладких комплексных проективных многообразий.

«Теорема о слабой факторизации», доказанная Абрамовичем, Кару, Мацуки и Влодарчиком (2002) , утверждает, что любое бирациональное отображение между двумя гладкими комплексными проективными многообразиями можно разложить на конечное число раздутий или раздутий гладких подмногообразий. Это важно знать, но все еще может быть очень трудно определить, являются ли два гладких проективных многообразия бирациональными.

Минимальные модели в более высоких измерениях

Проективное многообразие X называется минимальной , если каноническое расслоение K _X есть неф . Для X размерности 2 в этом определении достаточно рассматривать гладкие многообразия. В размерностях не менее 3 минимальные разновидности должны иметь некоторые мягкие особенности, для которых K _X по-прежнему хорошо себя ведет; они называются терминальными особенностями .

Это , как говорится, то минимальная модель гипотеза подразумевает , что каждое многообразие X либо покрывается рациональными кривыми или бирациональными до минимального многообразия Y . Когда он существует, Y называется минимальная модель из X .

Минимальные модели не уникальны в размерностях по крайней мере 3, но любые два бирациональных минимальных многообразия очень близки. Например, они изоморфны вне подмножеств коразмерности не менее 2, а точнее, связаны последовательностью флопов . Таким образом, гипотеза о минимальной модели дала бы сильную информацию о бирациональной классификации алгебраических многообразий.

Гипотеза была доказана в размерности 3 Мори. Был достигнут большой прогресс в высших измерениях, хотя общая проблема остается открытой. В частности, Биркар, Кашини, Хакон и МакКернан (2010) доказали, что каждое многообразие общего типа над полем нулевой характеристики имеет минимальную модель.

Однолинейные сорта

Многообразие называется однолинейным, если оно покрывается рациональными кривыми. Одноуровневое многообразие не имеет минимальной модели, но есть хорошая замена: Биркар, Кашини, Хакон и МакКернан показали, что любое однонаправленное многообразие над полем нулевой характеристики бирационально расслоению Фано . Это приводит к проблеме бирациональной классификации расслоений Фано и (как наиболее интересный частный случай) многообразий Фано . По определению, проективное многообразие X является Фано , если антиканоническое расслоение является достаточно . Многообразия Фано можно рассматривать как алгебраические многообразия, наиболее похожие на проективное пространство. ${\ displaystyle K_ {X} ^ {*}}$

В размерности 2 любое многообразие Фано (известное как поверхность Дель Пеццо ) над алгебраически замкнутым полем рационально. Важным открытием 1970-х годов было то, что, начиная с измерения 3, существует множество нерациональных разновидностей Фано . В частности, гладкие трехмерные кубики не рациональны по Клеменсу – Гриффитсу (1972) , а гладкие трехмерные кубики не рациональны по Исковских – Манин (1971) . Тем не менее, проблема определения того, какие именно разновидности Фано являются рациональными, далека от решения. Например, неизвестно, существует ли какая-нибудь гладкая кубическая гиперповерхность в с n ≥ 4, которая не является рациональной. ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {п + 1}}$

Бирациональные группы автоморфизмов

Алгебраические многообразия сильно различаются по количеству имеющихся в них бирациональных автоморфизмов. Всякое многообразие общего типа чрезвычайно жестко в том смысле, что его группа бирациональных автоморфизмов конечна. С другой стороны, группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства над полем k , известная как группа Кремоны Cr _n ( k ), велика (в некотором смысле бесконечномерна) при n ≥ 2. При n = 2 группа комплексная группа Кремоны порождается «квадратичным преобразованием» ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle Cr_ {2} (\ mathbb {C})}$

[ x , y , z ] ↦ [1 / x , 1 / y , 1 / z ]

вместе с группой автоморфизмов по Макс Нётер и Кастельнуово . Напротив, группа Кремоны в размерностях n ≥ 3 является большой загадкой: явный набор образующих неизвестен. ${\ Displaystyle PGL (3, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2},}$

Исковских – Манин (1971) показал, что группа бирациональных автоморфизмов гладкой трехмерной квартики равна ее группе автоморфизмов, которая конечна. В этом смысле трехмерные многообразия четвертой степени далеки от рациональности, поскольку группа бирациональных автоморфизмов рационального многообразия огромна. Это явление «бирациональной жесткости» с тех пор было обнаружено во многих других расслоениях Фано.

Смотрите также

• Гипотеза изобилия

Цитаты

Примечания

использованная литература