Топология Зарисского - Zariski topology

В алгебраической геометрии и коммутативной алгебре , то топология Зариская является топологией , которая в первую очередь определяется его замкнутыми множествами . Он сильно отличается от топологий, которые обычно используются в реальном или сложном анализе ; в частности, это не Хаусдорф . Эта топология была введена в первую очередь Зарисским , а затем обобщена для создания множества простых идеалов одного коммутативного кольца топологического пространства, называемого спектр кольца.

Топология Зарисского позволяет использовать инструменты топологии для изучения алгебраических многообразий, даже если основное поле не является топологическим полем . Это одна из основных идей теории схем , которая позволяет строить общие алгебраические многообразия, склеивая аффинные многообразия , аналогично тому, как это делается в теории многообразий , где многообразия строятся путем склеивания карт , которые являются открытыми подмножествами вещественных аффинных многообразий. пробелы .

Топология Зарисского алгебраического многообразия - это топология, замкнутые множества которой являются алгебраическими подмножествами многообразия. В случае алгебраического многообразия над комплексными числами топология Зарисского, таким образом, более грубая, чем обычная топология, поскольку каждое алгебраическое множество замкнуто для обычной топологии.

Обобщение топологии Зарисского на множество первичных идеалов коммутативного кольца следует из Nullstellensatz Гильберта , который устанавливает биективное соответствие между точками аффинного многообразия, определенного над алгебраически замкнутым полем, и максимальными идеалами кольца его регулярных функций . Это предполагает определение топологии Зарисского на множестве максимальных идеалов коммутативного кольца как топологии такой, что множество максимальных идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда это множество всех максимальных идеалов, содержащих данный идеал. Другая основная идея теории схем Гротендика состоит в том, чтобы рассматривать как точки не только обычные точки, соответствующие максимальным идеалам, но также все (неприводимые) алгебраические многообразия, которые соответствуют простым идеалам. Таким образом, топология Зарисского на множестве первичных идеалов (спектра) коммутативного кольца - это топология, такая что множество первичных идеалов замкнуто тогда и только тогда, когда это множество всех первичных идеалов, содержащих фиксированный идеал.

Топология многообразий Зарисского

В классической алгебраической геометрии (то есть в той части алгебраической геометрии, в которой не используются схемы , которые были введены Гротендиком около 1960 г.) топология Зарисского определена на алгебраических многообразиях . Топология Зарисского, определенная в точках многообразия, - это топология, в которой замкнутые множества являются алгебраическими подмножествами многообразия. Поскольку наиболее элементарными алгебраическими многообразиями являются аффинные и проективные многообразия , полезно сделать это определение более явным в обоих случаях. Мы предполагаем, что мы работаем над фиксированным алгебраически замкнутым полем k (в классической геометрии k почти всегда представляет собой комплексные числа ).

Аффинные разновидности

Сначала мы определим топологию аффинного пространства, образованного n -наборами элементов k . Топология определяется указанием его замкнутых множеств, а не его открытых множеств, и они принимаются просто как все алгебраические множества в То есть, замкнутые множества имеют вид ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n},}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}.}$

${\ Displaystyle V (S) = \ {х \ in \ mathbb {A} ^ {n} \ mid f (x) = 0, \ forall f \ in S \}}$

где S - любой набор многочленов от n переменных над k . Это прямая проверка, чтобы показать, что:

• V ( S ) = V (( S )), где ( S ) - идеал, порожденный элементами S ;
• Для любых двух идеалов многочленов I , J имеем
  1. ${\ Displaystyle V (I) \ чашка V (J) \, = \, V (IJ);}$
  2. ${\ Displaystyle V (I) \ cap V (J) \, = \, V (I + J).}$

Отсюда следует, что конечные объединения и произвольные пересечения множеств V ( S ) также имеют этот вид, так что эти множества образуют замкнутые множества топологии (эквивалентно, их дополнения, обозначаемые D ( S ) и называемые главными открытыми множествами , образуют сама топология). Это топология Зарисского на${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}.}$

Если X является аффинным алгебраическим множеством (неприводимым или неприводимым), то топология Зарисского на нем определяется просто как топология подпространства, индуцированная его включением в некоторое Эквивалентно, можно проверить, что: ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n}.}$

• Элементы аффинного координатного кольца

${\ Displaystyle A (X) \, = \, к [x_ {1}, \ точки, x_ {n}] / I (X)}$

действуют как функции на X так же, как элементы действуют как функции на ; здесь, I (X) является идеалом всех многочленов , обращающихся в нуль на X . ${\ Displaystyle к [х_ {1}, \ точки, х_ {п}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {А} ^ {п}}$

• Для любого набора многочленов S пусть T будет набором их образов в A (X) . Тогда подмножество X

${\ Displaystyle V '(T) = \ {x \ in X \ mid f (x) = 0, \ forall f \ in T \}}$

(эти обозначения не являются стандартными) равно пересечением с X из V (S) .

Это устанавливает, что указанное выше уравнение, явно являющееся обобщением предыдущего, определяет топологию Зарисского на любом аффинном многообразии.

Проективные многообразия

Напомним, что n -мерное проективное пространство определяется как набор классов эквивалентности ненулевых точек в, путем идентификации двух точек, которые отличаются скалярным кратным по k . Элементы кольца многочленов не являются функциями на, потому что любая точка имеет много представителей, которые дают разные значения в многочлене; тем не менее, для однородных многочленов условие наличия нулевого или ненулевого значения в любой заданной проективной точке хорошо определено, поскольку скалярный множественный множитель выходит из многочлена. Следовательно, если S - произвольный набор однородных многочленов, мы можем разумно говорить о ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {п + 1}}$${\ Displaystyle к [х_ {0}, \ точки, х_ {п}]}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ Displaystyle V (S) = \ {x \ in \ mathbb {P} ^ {n} \ mid f (x) = 0, \ forall f \ in S \}.}$

Для этих множеств можно установить те же факты, что и выше, за исключением того, что слово «идеал» необходимо заменить фразой « однородный идеал », чтобы V ( S ) для множеств S однородных многочленов определял топологию на As выше дополнения этих множеств обозначены D ( S ) или, если возможна путаница, D ' ( S ). ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}.}$

Проективная топология Зарисского определена для проективных алгебраических множеств так же, как аффинная топология для аффинных алгебраических множеств, взяв топологию подпространств. Точно так же можно показать, что эта топология внутренне определяется наборами элементов проективного координатного кольца по той же формуле, что и выше.

Характеристики

Очень полезным фактом об этих топологиях является то, что мы можем продемонстрировать для них основу, состоящую из особенно простых элементов, а именно D ( f ) для отдельных многочленов (или для проективных многообразий, однородных многочленов) f . Действительно, то, что они образуют базис, следует из формулы пересечения двух замкнутых по Зарисскому множеств, данной выше (многократно применяйте ее к главным идеалам, порожденным генераторами ( S )). Они называются выделенными или основными открытыми множествами.

По теореме Гильберта о базисе и некоторым элементарным свойствам нётеровых колец каждое аффинное или проективное координатное кольцо нётерово. Как следствие, аффинные или проективные пространства с топологией Зарисского являются нётеровыми топологическими пространствами , из чего следует, что любое замкнутое подмножество этих пространств компактно .

Однако, за исключением конечных алгебраических множеств, никакое алгебраическое множество никогда не является хаусдорфовым пространством . В старой топологической литературе термин «компактность» включал в себя свойство Хаусдорфа, и это соглашение все еще соблюдается в алгебраической геометрии; поэтому компактность в современном понимании называется «квазикомпактностью» в алгебраической геометрии. Однако, поскольку каждая точка ( a ₁ , ..., a _n ) является нулевым множеством многочленов x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n , точки замкнуты, и поэтому каждое многообразие удовлетворяет T ₁ аксиома .

Всякое регулярное отображение многообразий непрерывно в топологии Зарисского. Фактически, топология Зарисского является самой слабой топологией (с наименьшим количеством открытых множеств), в которой это верно и в которой точки замкнуты. В этом легко убедиться, заметив, что замкнутые по Зарискому множества - это просто пересечения прообразов 0 полиномиальными функциями, рассматриваемые как регулярные отображения в${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}.}$

Спектр кольца

В современной алгебраической геометрии, алгебраическое многообразие часто представляется связанной с ним схемы , которая представляет собой топологическое пространство (оснащенный дополнительными структурами) , который является локально гомеоморфно в спектре кольца . Спектр коммутативного кольца А , обозначаемый Spec ( ) , есть множество простых идеалов А , наделенные топологией Зарисской , для которых замкнутых множества являются наборы

${\ Displaystyle V (I) = \ {P \ in \ operatorname {Spec} \, (A) \ mid I \ substeq P \}}$

где я идеал.

Чтобы увидеть связь с классической картиной, отметим, что для любого множества S многочленов (над алгебраически замкнутым полем) из Nullstellensatz Гильберта следует , что точки V ( S ) (в старом смысле) являются в точности наборами ( a ₁ , ..., a _n ) такой, что идеал, порожденный многочленами x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n, содержит S ; более того, это максимальные идеалы, и согласно «слабому» Nullstellensatz идеал любого аффинного координатного кольца максимален тогда и только тогда, когда он имеет эту форму. Таким образом, V ( S ) является «такой же , как» максимальных идеалов , содержащих S . Новаторство Гротендика в определении Spec заключалось в замене максимальных идеалов всеми первостепенными идеалами; в этой формулировке естественно просто обобщить это наблюдение до определения замкнутого множества в спектре кольца.

Другой способ, возможно, более похожий на исходный, интерпретировать современное определение - это осознать, что элементы A на самом деле можно рассматривать как функции на первичных идеалах A ; а именно, как функции на Spec A . Проще говоря, любому первичному идеалу P соответствует соответствующее поле вычетов , которое является полем частных отношения A / P , и любой элемент из A имеет отражение в этом поле вычетов. Кроме того, элементы, которые на самом деле в Р являются именно те , чьи отражения обращается в нуль при Р . Итак, если мы подумаем о карте, связанной с любым элементом a из A :

${\ displaystyle e_ {a} \ двоеточие {\ bigl (} P \ in \ operatorname {Spec} (A) {\ bigr)} \ mapsto \ left ({\ frac {a \; {\ bmod {P}}} {1}} \ in \ operatorname {Frac} (A / P) \ right)}$

(«оценка a »), которая присваивает каждой точке ее отражение в поле вычетов в качестве функции на Spec A (значения которой, по общему признанию, лежат в разных полях в разных точках), тогда мы имеем

${\ displaystyle e_ {a} (P) = 0 \ Leftrightarrow P \ in V (a)}$

В более общем смысле, V ( I ) для любого идеала I - это общее множество, на котором все «функции» в I обращаются в нуль, что формально аналогично классическому определению. Фактически, они согласны в том смысле, что, когда A - кольцо многочленов над некоторым алгебраически замкнутым полем k , максимальные идеалы A (как обсуждалось в предыдущем абзаце) отождествляются с n -наборами элементов k , их полями вычетов суть просто k , а «оценочные» карты на самом деле являются вычислением многочленов в соответствующих n -наборах. Поскольку, как показано выше, классическое определение - это, по сути, современное определение, в котором рассматриваются только максимальные идеалы, это показывает, что интерпретация современного определения как «нулевых наборов функций» согласуется с классическим определением, в котором они оба имеют смысл.

Так же, как Spec заменяет аффинные многообразия, конструкция Proj заменяет проективные многообразия в современной алгебраической геометрии. Как и в классическом случае, чтобы перейти от аффинного к проективному определению, нам нужно всего лишь заменить «идеальный» на «однородный идеал», хотя есть осложнение, связанное с «нерелевантным максимальным идеалом», которое обсуждается в цитируемой статье.

Примеры

• Spec k , спектр поля k - это топологическое пространство с одним элементом.
• Spec ℤ, спектр целых чисел имеет замкнутую точку для каждого простого числа p, соответствующего максимальному идеалу ( p ) ⊂, и одну незамкнутую точку общего положения (т. Е. Закрытие которой представляет собой все пространство), соответствующую нулевому идеалу (0). Таким образом, замкнутые подмножества Spec ℤ - это в точности все пространство и конечные объединения замкнутых точек.
• Spec к [ т ], спектр кольца многочленов над полем к : такое кольцо многочленов , как известно, является областью главных идеалов и неприводимые полиномы являются простые элементы из к [ т ]. Если k является алгебраически замкнутым , например, поле комплексных чисел , непостоянный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда он является линейным, вида t - a , для некоторого элемента a из k . Таким образом, спектр состоит из одной замкнутой точки для любого элемент а из К и общей точке, соответствующий нулевого идеалу, а множество замкнутых точек гомеоморфно с аффинной линией к оборудованному с его Зариской топологией. Из-за этого гомеоморфизма некоторые авторы называют аффинную линию спектром k [ t ]. Если k не является алгебраически замкнутым, например поле действительных чисел , картина усложняется из-за существования нелинейных неприводимых многочленов. Например, спектр [ t ] состоит из замкнутых точек ( x - a ), для a в ℝ, замкнутых точек ( x ² + px + q ), где p , q находятся в ℝ, и с отрицательным дискриминантом p ² - 4 q <0, и, наконец, точка общего положения (0). Для любого поля замкнутые подмножества Spec k [ t ] являются конечными объединениями замкнутых точек и всего пространства. (Это видно из приведенного выше обсуждения для алгебраически замкнутых полого Доказательства в общем случае требует. Коммутативной алгебры , а именно тот факт, что размерность Крулля из K [ т ] является один - см основной теоремы идеального Крулля ).

Другие свойства

Наиболее драматическим изменением топологии от классической картины к новой является то, что точки больше не обязательно закрыты; расширяя определение, Гротендик ввел общие точки , то есть точки с максимальным замыканием, то есть минимальные простые идеалы . Замкнутые точки соответствуют максимальным идеалам А . Однако спектр и проективный спектр по-прежнему являются пространствами T ₀ : для двух точек P , Q , которые являются простыми идеалами A , по крайней мере одна из них, скажем P , не содержит другой. Тогда D ( Q ) содержит Р , но, конечно, не Q .

Как и в классической алгебраической геометрии, любой спектр или проективный спектр является (квази) компактным, и если рассматриваемое кольцо нётерово, то пространство является нётеровым пространством. Однако эти факты противоречат здравому смыслу: мы обычно не ожидаем, что открытые множества, кроме компонентов связности , будут компактными, а для аффинных многообразий (например, евклидова пространства) мы даже не ожидаем компактности самого пространства. Это один из примеров геометрической непригодности топологии Зарисского. Гротендик решить эту проблему, определив понятие собственно о наличии схемы ( на самом деле, морфизм схем), который восстанавливает интуитивную идею компактности: Намеченный является правильным, но Spec не является.

Смотрите также

• Спектральное пространство

Цитаты

использованная литература