Теорема Лиувилля (комплексный анализ) - Liouville's theorem (complex analysis)

В комплексном анализе , теорема Лиувилля , названный в честь Лиувилль (хотя теорема была первой доказана Коши в 1844 г.), гласит , что каждая ограниченная целая функция должна быть постоянной . То есть каждая голоморфная функция, для которой существует такое положительное число , что для всех in является постоянным. Эквивалентно непостоянные голоморфные функции на имеют неограниченные образы. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle | е (г) | \ Leq M}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Теорема значительно улучшена маленькой теоремой Пикара , которая гласит, что каждая целая функция, образ которой пропускает два или более комплексных числа, должна быть постоянной.

Доказательство

Теорема следует из того, что голоморфные функции аналитичны . Если f - целая функция, ее можно представить рядом Тейлора около 0:

{\ Displaystyle е (z) = \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} a_ {k} z ^ {k}}

где (по интегральной формуле Коши )

{\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {f ^ {(k)} (0)} {k!}} = {1 \ over 2 \ pi i} \ oint _ {C_ {r}} {\ frac {е (\ zeta)} {\ zeta ^ {k + 1}}} \, d \ zeta}

и C _r - окружность вокруг 0 радиуса r > 0. Предположим, что f ограничено: т. е. существует постоянная M такая, что | f ( z ) | ≤ M для всех z . Мы можем оценить напрямую

{\ displaystyle | a_ {k} | \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {C_ {r}} {\ frac {| f (\ zeta) |} {| \ zeta | ^ {k + 1}}} \, | d \ zeta | \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {C_ {r}} {\ frac {M} {r ^ {k + 1 }}} \, | d \ zeta | = {\ frac {M} {2 \ pi r ^ {k + 1}}} \ oint _ {C_ {r}} | d \ zeta | = {\ frac {M } {2 \ pi r ^ {k + 1}}} 2 \ pi r = {\ frac {M} {r ^ {k}}},}

где во втором неравенстве мы использовали тот факт, что | z | = r на окружности C _r . Но выбор r в вышеизложенном - произвольное положительное число. Таким образом, позволяя г стремится к бесконечности (положим г стремится к бесконечности , так как е аналитическая на всей плоскости) дает в _K = 0 для всех к ^ 1. Таким образом , е ( г ) = а ₀ , что и доказывает теорему.

Следствия

Основная теорема алгебры

Существует краткое доказательство основной теоремы алгебры, основанное на теореме Лиувилля.

Ни одна целая функция не доминирует над другой целой функцией

Следствием теоремы является то, что «действительно разные» целые функции не могут доминировать друг над другом, т. Е. Если f и g целые и | f | ≤ | г | всюду, то f = α · g для некоторого комплексного числа α. Считаем, что для g = 0 теорема тривиальна, поэтому мы предполагаем, что Рассмотрим функцию h = f / g . Достаточно доказать, что h можно продолжить до целой функции, и в этом случае результат следует из теоремы Лиувилля. Голоморфность h очевидна, за исключением точек в g ⁻¹ (0). Но поскольку h ограничен и все нули g изолированы, любые особенности должны быть устранимы. Таким образом, h можно продолжить до целой ограниченной функции, из которой по теореме Лиувилля следует, что она постоянна. ${\ displaystyle g \ neq 0.}$

Если f меньше или равно скаляру, умноженному на его вход, то он линейный

Предположим, что f целое и | f ( z ) | меньше или равно M | z | для M положительное действительное число. Мы можем применить интегральную формулу Коши; у нас есть это

{\ displaystyle | f '(z) | = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left | \ oint _ {C_ {r}} {\ frac {f (\ zeta)} {(\ zeta - z) ^ {2}}} d \ zeta \ right | \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {C_ {r}} {\ frac {| f (\ zeta) |} { \ left | (\ zeta -z) ^ {2} \ right |}} | d \ zeta | \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {C_ {r}} {\ frac { M | \ zeta |} {\ left | (\ zeta -z) ^ {2} \ right |}} \ left | d \ zeta \ right | = {\ frac {MI} {2 \ pi}}}

где I - значение оставшегося интеграла. Это показывает, что f ′ ограничен и цел, поэтому он должен быть постоянным по теореме Лиувилля. Интегрируя затем показывает , что е является аффинным , а затем, ссылаясь обратно к исходному неравенству, мы имеем , что постоянный член равен нулю.

Непостоянные эллиптические функции не могут быть определены на ℂ

Теорема также может быть использована для вывода, что область определения непостоянной эллиптической функции f не может быть. Предположим, что это было так. Тогда, если a и b - два периода функции f такие, что ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ а/бне является вещественным, рассмотрим параллелограмм P , вершины которого равны 0, a , b и a + b . Тогда образ f равен f ( P ). Так как F является непрерывной и Р является компактным , е ( Р ) также компактно и, следовательно, оно ограничено. Итак, f постоянна.

Тот факт, что область определения непостоянной эллиптической функции f не может быть, - это то, что Лиувилль фактически доказал в 1847 году, используя теорию эллиптических функций. Фактически, именно Коши доказал теорему Лиувилля. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Целые функции имеют плотные изображения

Если f - непостоянная целая функция, то ее образ плотен в. Это может показаться гораздо более сильным результатом, чем теорема Лиувилля, но на самом деле это простое следствие. Если образ f не является плотным, то существует комплексное число w и действительное число r > 0, такое что открытый диск с центром в w и радиусом r не имеет элемента изображения f . Определять ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

{\ displaystyle g (z) = {\ frac {1} {f (z) -w}}.}

Тогда г ограниченная целая функция, так как для всех $г$ ,

{\ displaystyle | g (z) | = {\ frac {1} {| f (z) -w |}} <{\ frac {1} {r}}.}

Итак, g постоянна, и, следовательно, f постоянна.

О компактных римановых поверхностях

Любая голоморфная функция на компактной римановой поверхности обязательно постоянна.

Пусть голоморфен на компактной римановой поверхности . По компактности есть точка, где достигается максимум. Тогда мы можем найти такую карту из окрестности точки единичного круга , которая голоморфна на единичном круге и имеет максимум в точке , поэтому она постоянна, по принципу максимума модуля . ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle p_ {0} \ in M}$ ${\ displaystyle | f (p) |}$ ${\ displaystyle p_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {D}}$ ${\ Displaystyle е (\ фи ^ {- 1} (г))}$ ${\ displaystyle \ phi (p_ {0}) \ in \ mathbb {D}}$

Замечания

Пусть будет одноточечная компактификация комплексной плоскости. Вместо голоморфных функций, определенных на областях в , можно рассматривать области в Рассматриваемом таким образом, единственной возможной особенностью для целых функций, определенных на, является точка $\infty$ . Если целая функция $F$ ограничена в окрестности $\infty$ , то $\infty$ является устранимой особенностью из $F$ , т.е. $F$ не может взорвать или работать нестабильно при $\infty$ . В свете разложения по степеням неудивительно, что теорема Лиувилля верна. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ чашка \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \},}$

Аналогично, если у целой функции есть полюс порядка $n в$ точке $\infty,$ т. Е. Она возрастает по величине сравнимо с величиной $z n$ в некоторой окрестности точки $\infty,$ тогда $f$ является многочленом. Эту расширенную версию теоремы Лиувилля можно сформулировать более точно: если $| f (z) | \leq M | z n |$ для $| z |$ достаточно большой, то $f$ - многочлен степени не выше $n$ . Это можно доказать следующим образом. Снова возьмем представление $f в виде$ ряда Тейлора ,

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} z ^ {k}.}

Аргумент , используемый при доказательстве с использованием Коши оценки показывает , что для всех $к \geq 0$ ,

{\ displaystyle | a_ {k} | \ leq Mr ^ {nk}.}

Итак, если $k > n$ , то

{\ displaystyle | a_ {k} | \ leq \ lim _ {r \ to \ infty} Mr ^ {nk} = 0.}

Следовательно, $a k = 0$ .

Теорема Лиувилля не распространяется на обобщения комплексных чисел, известных как двойные числа и двойственные числа .

Смотрите также

Теорема Миттаг-Леффлера

использованная литература

^ "Энциклопедия математики" .
^ Бенджамин Файн; Герхард Розенбергер (1997). Основная теорема алгебры . Springer Science & Business Media. С. 70–71. ISBN 978-0-387-94657-3.
↑ Liouville, Joseph (1847), "Leçons sur les fonctions doublement périodiques" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (опубликовано 1879 г.), 88 , стр. 277–310, ISSN 0075-4102 , заархивировано с оригинала на 2012-07 гг. -11
^ Коши, Огюстен-Луи (1844), «Mémoires sur les fonctions Complémentaires» , uvres completeètes d'Augustin Cauchy , 1, 8 , Париж: Готье-Виллар (опубликовано в 1882 году)
^ Lützen, Jesper (1990), Джозеф Лиувилль 1809–1882: магистр чистой и прикладной математики , исследования по истории математики и физических наук, 15 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7
^ краткий курс комплексного анализа и римановых поверхностей, Вильгельм Шлаг, следствие 4.8, стр.77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf Архивировано 30 августа 2017 г. на Wayback Machine
^ Денхартиг, Кайл; Флим, Рэйчел (15 января 2017 г.). «Теоремы Лиувилля в двойственной и двойной плоскостях» . Журнал бакалавриата математики Роуза-Халмана . 12 (2).

внешние ссылки

[1] "Энциклопедия математики" .

[2] Бенджамин Файн; Герхард Розенбергер (1997). Основная теорема алгебры . Springer Science & Business Media. С. 70–71. ISBN 978-0-387-94657-3.

[3] Liouville, Joseph (1847), "Leçons sur les fonctions doublement périodiques" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (опубликовано 1879 г.), 88 , стр. 277–310, ISSN 0075-4102 , заархивировано с оригинала на 2012-07 гг. -11

[4] Коши, Огюстен-Луи (1844), «Mémoires sur les fonctions Complémentaires» , uvres completeètes d'Augustin Cauchy , 1, 8 , Париж: Готье-Виллар (опубликовано в 1882 году)

[5] Lützen, Jesper (1990), Джозеф Лиувилль 1809–1882: магистр чистой и прикладной математики , исследования по истории математики и физических наук, 15 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7

[6] краткий курс комплексного анализа и римановых поверхностей, Вильгельм Шлаг, следствие 4.8, стр.77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf Архивировано 30 августа 2017 г. на Wayback Machine

[7] Денхартиг, Кайл; Флим, Рэйчел (15 января 2017 г.). «Теоремы Лиувилля в двойственной и двойной плоскостях» . Журнал бакалавриата математики Роуза-Халмана . 12 (2).

Languages

In other projects