Пространство модулей - Moduli space

В математике , в частности в алгебраической геометрии , пространство модулей - это геометрическое пространство (обычно схема или алгебраический стек ), точки которого представляют алгебро-геометрические объекты некоторого фиксированного вида или классы изоморфизма таких объектов. Такие пространства часто возникают как решения проблем классификации: если можно показать, что набор интересных объектов (например, гладкие алгебраические кривые фиксированного рода) можно задать структуру геометрического пространства, то можно параметризовать такие объекты, введя координаты в получившееся пространство. В этом контексте термин «модуль» используется как синоним «параметр»; пространства модулей сначала понимались как пространства параметров, а не как пространства объектов. Вариантом пространств модулей являются формальные модули .

Мотивация

Пространства модулей - это пространства решений задач геометрической классификации. То есть точки пространства модулей соответствуют решениям геометрических задач. Здесь идентифицируются разные решения, если они изоморфны (то есть геометрически одинаковы). Пространства модулей можно рассматривать как универсальное пространство параметров задачи. Например, рассмотрим задачу поиска всех окружностей на евклидовой плоскости с точностью до конгруэнтности. Любой круг можно однозначно описать, задав три точки, но множество различных наборов из трех точек дают один и тот же круг: соответствие взаимно однозначно. Однако окружности однозначно параметризованы путем указания их центра и радиуса: это два реальных параметра и один положительный действительный параметр. Поскольку нас интересуют только круги «с точностью до конгруэнтности», мы идентифицируем круги, имеющие разные центры, но одинаковый радиус, и поэтому одного радиуса достаточно для параметризации интересующего множества. Следовательно, пространство модулей - это положительные действительные числа .

Пространства модулей также часто несут естественные геометрические и топологические структуры. В примере кругов, например, пространство модулей - это не просто абстрактный набор, но абсолютное значение разности радиусов определяет метрику для определения того, когда две окружности «близки». Геометрическая структура пространств модулей локально говорит нам, когда два решения задачи геометрической классификации «близки», но в целом пространства модулей также имеют сложную глобальную структуру.

Построение P 1 ( R ) путем варьирования 0 ≤ θ <π или как фактор-пространство S 1 .

Например, рассмотрим , как описать совокупность линий в R 2 , которые пересекают происхождение. Мы хотим присвоить каждой линии L этого семейства величину, которая может однозначно идентифицировать ее - модуль. Примером такой величины является положительный угол θ ( L ) с 0 ≤ θ <π радиан. Набор параметризованных таким образом прямых L известен как P 1 ( R ) и называется реальной проективной линией .

Мы также можем описать совокупность линий в R 2 , которые пересекают происхождение с помощью топологической конструкции. А именно: рассмотрим S 1R 2 и заметим, что каждая точка sS 1 дает прямую L ( s ) в наборе (которая соединяет начало координат и s ). Однако это отображение взаимно однозначно, поэтому мы хотим идентифицировать s ~ - s, чтобы получить P 1 ( R ) ≅ S 1 / ~, где топология на этом пространстве - это фактор-топология, индуцированная фактор-отображением S 1Р 1 ( Р ).

Таким образом, когда мы рассматриваем P 1 ( R ) как пространство модулей прямых, пересекающих начало координат в R 2 , мы фиксируем способы, которыми члены (в данном случае прямые) семейства могут модулировать, непрерывно изменяя 0 ≤ θ < π.

Основные примеры

Проективное пространство и грассманианы

Вещественный проективный пространство Р п является пространством модулей , которые параметризуют пространство линий в R п + 1 , которые проходят через начало координат. Точно так же комплексное проективное пространство - это пространство всех комплексных прямых в C n +1, проходящих через начало координат.

В более общем случае грассманиане G ( K , V ) векторное пространство V над полем F является пространством модулей всех к мерному линейному подпространству V .

Проективное пространство как модули очень обильных линейных расслоений с глобально порожденными сечениями

Всякий раз, когда есть вложение схемы в универсальное проективное пространство , вложение задается линейным расслоением и сечениями, которые не обращаются в нуль одновременно. Это означает, что с учетом балла

есть связанная точка

даны композициями

Тогда два линейных пучка с секциями эквивалентны

тогда и только тогда, когда существует такой изоморфизм , что . Это означает, что ассоциированный функтор модулей

отправляет схему в набор

Доказать, что это так, можно, пробежав серию тавтологий: любое проективное вложение дает глобально порожденный пучок с секциями . И наоборот, учитывая обильное линейное расслоение, глобально порожденное секциями, дает вложение, как указано выше.

Сорт чау

Чау разнообразие чау (д, Р 3 ) представляет собой проективное алгебраическое многообразие параметризующих степени d кривые в P 3 . Он построен следующим образом. Пусть С кривая степени д в Р 3 , а затем рассмотреть все строки в P 3 , которые пересекают кривую C . Это дивизор D C степени d в G (2, 4), грассманиан прямых в P 3 . Когда C изменяется, связывая C с D C , мы получаем пространство параметров кривых степени d как подмножество пространства делителей степени d грассманиана: Chow (d, P 3 ).

Схема гильберта

Схема Гильберта Hilb ( X ) - это схема модулей. Каждая замкнутая точка Hilb ( X ) соответствует замкнутой подсхеме фиксированной схемы X , и каждая замкнутая подсхема представлена ​​такой точкой. Простым примером схемы Гильберта является схема Гильберта, параметризующая гиперповерхности степеней проективного пространства . Это дается проективным расслоением

с универсальной семьей, данной

где - соответствующая проективная схема для однородного по степени многочлена .

Определения

Есть несколько связанных понятий вещей, которые мы могли бы назвать пространствами модулей. Каждое из этих определений формализует различное представление о том, что означает для точек пространства M представление геометрических объектов.

Прекрасные пространства модулей

Это стандартная концепция. Эвристический, если мы имеем пространство М , для которых каждая точка м ε M соответствует алгебро-геометрическому объекту U м , то можно собрать эти объекты в тавтологическое семейство U над M . (Например, грассманиан G ( K , V ) несет ранг K расслоение, слой которого в любой точке [ L ] ε G ( K , V ) является просто линейное подпространство LV .) М называется базовое пространство из семейство U . Мы говорим , что такая семья является универсальным , если любое семейство алгебро-геометрических объектов Т над любым базисным пространством В является поднятием из U по уникальной карте BM . Тонкое пространство модулей - это пространство M, которое является базой универсального семейства.

Точнее, предположим , что мы имеем функтор F из схем к наборам, которые правопреемников к схеме B множество всех подходящих семейств объектов с базой B . Пространство M является тонким пространством модулей для функтора F, если M представляет F , т. Е. Существует естественный изоморфизм τ: FHom (-, M ), где Hom (-, M ) - функтор точек. Это означает, что M несет универсальное семейство; это семейство - это семейство на M, соответствующее тождественному отображению 1 MHom ( M , M ).

Грубые пространства модулей

Желательны тонкие пространства модулей, но они не всегда существуют и часто их трудно построить, поэтому математики иногда используют более слабое понятие - идею грубого пространства модулей. Пространство M является грубым пространством модулей для функтора F, если существует естественное преобразование τ: FHom (-, M ) и τ универсально среди таких естественных преобразований. Более конкретно, M является грубым пространством модулей для F, если любое семейство T над базой B порождает отображение φ T  : BM и любые два объекта V и W (рассматриваемые как семейства над точкой) соответствуют одной и той же точке из М тогда и только тогда , когда V и W изоморфны. Таким образом, M - это пространство, в котором есть точка для каждого объекта, который может появиться в семействе, и геометрия которого отражает способы, которыми объекты могут изменяться в семействах. Обратите внимание, однако, что грубое пространство модулей не обязательно содержит какое-либо семейство подходящих объектов, не говоря уже об универсальном.

Другими словами, штраф пространство модулей включает в себя как базовый пространство М и универсальное семейство UM , в то время как грубое пространство модулей имеет только базовое пространство М .

Модули стеки

Часто бывает, что интересные геометрические объекты обладают множеством естественных автоморфизмов . Это, в частности, делает невозможным существование тонкого пространства модулей (интуитивно идея состоит в том, что если L - некоторый геометрический объект, тривиальное семейство L × [0,1] можно превратить в скрученное семейство на окружности S 1 , отождествив L × {0} с L × {1} через нетривиальный автоморфизм. Теперь, если бы существовало тонкое пространство модулей X , отображение S 1X не должно быть постоянным, но должно быть постоянным на любом собственном открытом множестве по тривиальности) , иногда все же можно получить грубое пространство модулей. Однако этот подход не идеален, поскольку существование таких пространств не гарантируется, они часто бывают особенными, когда действительно существуют, и упускают детали о некоторых нетривиальных семействах объектов, которые они классифицируют.

Более сложный подход состоит в том, чтобы обогатить классификацию, запомнив изоморфизмы. Точнее, на любой базе B можно рассматривать категорию семейств на B, в которой только изоморфизмы между семействами считаются морфизмами. Одно то считает , что волокнистая категория , ставящей в любом пространстве B Группоид семейств над B . Использование этих категорий, расслоенных в группоидах, для описания проблемы модулей восходит к Гротендику (1960/61). В общем, они не могут быть представлены схемами или даже алгебраическими пространствами , но во многих случаях они имеют естественную структуру алгебраического стека .

Алгебраические стеки и их использование для анализа проблем с модулями появились в Deligne-Mumford (1969) как инструмент для доказательства неприводимости (грубого) пространства модулей кривых данного рода. Язык алгебраических стеков по существу обеспечивает систематический способ рассматривать расслоенную категорию, которая составляет проблему модулей, как «пространство», и стек модулей многих проблем модулей ведет себя лучше (например, гладкий), чем соответствующее грубое пространство модулей.

Дальнейшие примеры

Модули кривых

Стек модулей классифицирует семейства гладких проективных кривых рода g вместе с их изоморфизмами. Когда g > 1, этот стек может быть компактифицирован путем добавления новых «граничных» точек, которые соответствуют стабильным узловым кривым (вместе с их изоморфизмами). Кривая устойчива, если у нее есть только конечная группа автоморфизмов. Полученный стек обозначается . Оба стека модулей содержат универсальные семейства кривых. Можно также определить грубые пространства модулей, представляющие классы изоморфизма гладких или стабильных кривых. Эти грубые пространства модулей фактически изучались до того, как было изобретено понятие стека модулей. Фактически, идея стека модулей была изобретена Делинем и Мамфордом в попытке доказать проективность грубых пространств модулей. В последние годы стало очевидно, что набор кривых на самом деле является более фундаментальным объектом.

Обе стопки выше имеют размер 3 г −3; следовательно, стабильная узловая кривая может быть полностью определена путем выбора значений 3 g −3 параметров, когда g > 1. В нижнем роде необходимо учитывать наличие гладких семейств автоморфизмов, вычитая их количество. Существует ровно одна комплексная кривая рода нуль, сфера Римана, и ее группа изоморфизмов - это PGL (2). Следовательно, размерность IS

dim (пространство кривых нулевого рода) - dim (группа автоморфизмов) = 0 - dim (PGL (2)) = −3.

Точно так же в роде 1 существует одномерное пространство кривых, но каждая такая кривая имеет одномерную группу автоморфизмов. Следовательно, размер стека равен 0. Грубые пространства модулей имеют размерность 3 g −3 как стеки, когда g > 1, потому что кривые с родом g> 1 имеют только конечную группу в качестве автоморфизма, т.е. dim (группа автоморфизмов) = 0. В конце концов, в роде 0 грубое пространство модулей имеет размерность ноль, а в роде один - размерность один.

Можно также обогатить проблему, рассмотрев стек модулей узловых кривых рода g с n отмеченными точками. Такие отмеченные кривые называются устойчивыми, если подгруппа автоморфизмов кривых, фиксирующих отмеченные точки, конечна. Полученные наборы модулей гладких (или стабильных) кривых рода g с n- помеченными точками обозначаются (или ) и имеют размерность 3 g  - 3 +  n .

Особый интерес представляет стек модулей кривых рода 1 с одной отмеченной точкой. Это набор эллиптических кривых , естественный дом для много изучаемых модулярных форм , которые являются мероморфными сечениями расслоений на этом стеке.

Модули разновидностей

В более высоких размерностях модули алгебраических многообразий строить и изучать труднее. Например, многомерный аналог пространства модулей эллиптических кривых, обсужденных выше, - это пространство модулей абелевых многообразий, таких как модульное многообразие Зигеля . Это проблема, лежащая в основе теории модульных форм Зигеля . См. Также сорт Шимура .

Модули векторных расслоений

Другая важные модули проблема заключается в понимании геометрии (различные substacks из модулей) в стек Vect п ( X ) ранг п векторных расслоений на фиксированный алгебраическое многообразие X . Этот стек наиболее изучен, когда X одномерно, и особенно когда n равно единице. В этом случае грубое пространство модулей представляет собой схему Пикара , которая, как и пространство модулей кривых, изучалась до изобретения стеков. Когда расслоения имеют ранг 1 и нулевую степень, изучение грубого пространства модулей - это изучение многообразия Якоби .

В приложениях к физике количество модулей векторных расслоений и тесно связанная с этим проблема количества модулей главных G-расслоений оказались важными в калибровочной теории .

Объем пространства модулей

Простые геодезические и объемы Вейля-Петерсона пространств модулей римановых поверхностей с краями.

Методы построения пространств модулей

Современная формулировка проблем модулей и определение пространств модулей в терминах функторов модулей (или, в более общем смысле, категорий, расслоенных на группоиды ) и пространств (почти), представляющих их, восходит к Гротендику (1960/61), в котором он описал общие рамки, подходы и основные проблемы на примере пространств Тейхмюллера в сложной аналитической геометрии. В докладах, в частности, описывается общий метод построения пространств модулей путем предварительного усиления рассматриваемой проблемы модулей.

Точнее, наличие нетривиальных автоморфизмов классифицируемых объектов делает невозможным наличие тонкого пространства модулей. Однако часто можно рассмотреть модифицированную проблему модулей классификации исходных объектов вместе с дополнительными данными, выбранными таким образом, что идентичность является единственным автоморфизмом, учитывающим также дополнительные данные. При подходящем выборе данных, придающих жесткость, модифицированная проблема модулей будет иметь (точное) пространство модулей T , часто описываемое как подсхема подходящей схемы Гильберта или схемы Quot . Эти данные придающей жесткость кроме того , выбраны так , что она соответствует главному расслоению с алгебраической структурой группы G . Таким образом, можно вернуться от жесткой проблемы к исходной, взяв факторное по действию группы G , и проблема построения пространства модулей превращается в задачу поиска схемы (или более общего пространства), которая (в подходящем сильном смысле) фактор Т / с от Т под действием G . Последняя проблема, как правило, не имеет решения; тем не менее, это решается новаторской геометрической теорией инвариантов (GIT), разработанной Дэвидом Мамфордом в 1965 году, которая показывает, что при подходящих условиях фактор действительно существует.

Чтобы увидеть, как это может работать, рассмотрим задачу параметризации гладких кривых рода g > 2. Гладкая кривая вместе с полной линейной системой степени d > 2 g эквивалентна замкнутой одномерной подсхеме проективного пространства P d −g . Следовательно, пространство модулей гладких кривых и линейных систем (удовлетворяющих определенным критериям) может быть вложено в схему Гильберта проективного пространства достаточно большой размерности. Это геометрическое место H в схеме Гильберта имеет действие PGL ( n ), которое смешивает элементы линейной системы; следовательно, пространство модулей гладких кривых затем восстанавливается как фактор H по проективной полной линейной группе.

Другой общий подход в первую очередь связан с Майклом Артином . Здесь идея состоит в том, чтобы начать с классифицируемого объекта и изучить теорию его деформации . Это означает сначала построение бесконечно малых деформаций, а затем обращение к теоремам про представимость, чтобы собрать их вместе в объект над формальной базой. Затем обращение к формальной теореме существования Гротендика дает объект желаемого типа над базой, которая является полным локальным кольцом. Этот объект может быть аппроксимирован аппроксимационной теоремой Артина объектом, заданным над конечно порожденным кольцом. Тогда спектр этого последнего кольца можно рассматривать как некую координатную карту на желаемом пространстве модулей. Склеивая вместе достаточное количество этих карт, мы можем покрыть пространство, но отображение из нашего объединения спектров в пространство модулей, как правило, будет много к одному. Поэтому мы определяем отношение эквивалентности на первом; по существу, две точки эквивалентны, если объекты над каждой изоморфны. Это дает схему и отношение эквивалентности, которых достаточно, чтобы определить алгебраическое пространство (на самом деле алгебраический стек, если мы проявляем осторожность), если не всегда схему.

В физике

Термин пространство модулей иногда используется в физике для обозначения конкретно пространства модулей значений математического ожидания вакуума набора скалярных полей или пространства модулей возможных фонов струн .

Пространства модулей также появляются в физике в топологической теории поля , где можно использовать интегралы Фейнмана по путям для вычисления числа пересечений различных алгебраических пространств модулей.

Смотрите также

Строительные инструменты

Пространства модулей

использованная литература

Примечания

Исследовательские статьи

Фундаментальные статьи

  • Мамфорд, Дэвид , Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Neue Folge, Band 34 Springer-Verlag, Berlin-New York 1965 vi + 145 стр. MR 0214602
  • Мамфорд, Дэвид; Fogarty, J .; Кирван Ф. Геометрическая теория инвариантов . Третье издание. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Результаты в математике и родственных областях (2)), 34. Springer-Verlag, Berlin, 1994. xiv + 292 pp. MR 1304906 ISBN  3-540-56963-4

Ранние приложения

Другие ссылки

  • Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. I, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, DOI : 10.4171 / 029 , ISBN  978-3-03719-029-6 , MR 2284826
  • Пападопулос, Атанас, изд. (2009), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. II, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, DOI : 10.4171 / 055 , ISBN  978-3-03719-055-5 , MR 2524085
  • Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. III, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 17, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, DOI : 10.4171 / 103 , ISBN  978-3-03719-103-3 .

Другие статьи и источники

внешние ссылки

  • Лурье, Дж. (2011). "Модульные задачи для кольцевых спектров". Материалы Международного конгресса математиков 2010 (ICM 2010) . С. 1099–1125. DOI : 10.1142 / 9789814324359_0088 .