Пакет линий - Line bundle

В математике , А линейное расслоение выражает концепцию линии , которая изменяется от точки к точке пространства. Например, кривая на плоскости, имеющая касательную в каждой точке, определяет изменяющуюся линию: касательная связка - это способ их организации. Более формально в алгебраической топологии и дифференциальной топологии линейное расслоение определяется как векторное расслоение ранга 1.

Линейные пучки задаются путем непрерывного выбора одномерного векторного пространства для каждой точки пространства. В топологических приложениях это векторное пространство обычно реальное или сложное. Эти два случая демонстрируют принципиально разное поведение из-за различных топологических свойств вещественных и комплексных векторных пространств: если начало координат удалено из вещественной линии, то результатом является набор обратимых вещественных матриц 1 × 1 , который гомотопически эквивалентен дискретное двухточечный пространство стягивания положительных и отрицательные действительные чисел друг к точке; тогда как удаление начала координат из комплексной плоскости дает обратимые комплексные матрицы 1 × 1, которые имеют гомотопический тип круга.

Поэтому с точки зрения теории гомотопии реальный линейный пучок ведет себя во многом так же, как пучок волокон с двухточечным волокном, то есть как двойное покрытие . Частный случай этого является ориентируемой двойной крышкой из дифференцируемого многообразия , где соответствующее линейное расслоение является определяющим расслоением касательного расслоения (см ниже). Полоса Мебиуса соответствует двойному покрытию круга (отображение θ → 2θ) и, изменяя слой, также может рассматриваться как имеющая двухточечный слой, единичный интервал как слой или действительную прямую.

Сложные линейные пучки тесно связаны с круговыми пучками . Есть некоторые знаменитые из них, например, расслоений Хопфа из сфер в сферы.

В алгебраической геометрии , обратимый пучок (т.е. локально свободный пучок ранга один) часто называется линейное расслоение .

Каждое линейное расслоение возникает из дивизора со следующими условиями

(I) Если X - приведенная и неприводимая схема, то каждое линейное расслоение происходит от дивизора.

(II) Если X - проективная схема, то верно то же утверждение.

Тавтологическое расслоение на проективном пространстве

Основная статья: Тавтологический линейный пучок

Одним из наиболее важных линейных расслоений в алгебраической геометрии является тавтологическое линейное расслоение на проективном пространстве . Проективизация P ( V ) векторного пространства V над полем k определяется как фактор по действию мультипликативной группы k × . Таким образом, каждая точка P ( V ) соответствует копии k × , и эти копии k × могут быть собраны в k × -расслоение над P ( V ). k × отличается от k только одной точкой, и, присоединяя эту точку к каждому слою, мы получаем линейное расслоение на P ( V ). Этот линейный пучок называется тавтологическим линейным пучком . Это линейное расслоение иногда обозначают, поскольку оно соответствует двойственному к скручивающему пучку Серра .

Карты в проективное пространство

Предположим , что X является пространством , и L представляет собой линейное расслоение на X . Глобальное сечение из L является функцией S: X → L такое , что если р: L → X естественная проекция, то пс = идентификатор Х . В небольшой окрестности U в X, в которой L тривиально, полное пространство линейного расслоения является произведением U и основного поля k , а сечение s ограничивается функцией U → k . Однако значения s зависят от выбора тривиализации, и поэтому они определяются только с точностью до умножения на нигде не исчезающую функцию.

Глобальные сечения определяют отображения в проективные пространства следующим образом: выбор r + 1 не всех нулевых точек в слое L выбирает слой тавтологического линейного расслоения на P r , поэтому выбирая r + 1 не одновременно исчезающие в нуль глобальные сечения L определяет отображение из X в проективное пространство P r . Это отображение переводит слои L в слои двойственного тавтологического расслоения. Более конкретно, предположим , что S 0 , ..., s г являются глобальные сечения L . В небольшой окрестности U в X эти секции определяют k -значные функции на U , значения которых зависят от выбора тривиализации. Однако они определяются с точностью до одновременного умножения на ненулевую функцию, поэтому их отношения четко определены. То есть над точкой x значения s 0 ( x ), ..., s r ( x ) не определены четко, потому что изменение тривиализации умножит их каждое на ненулевую константу λ. Но он умножит их на ту же константу λ, поэтому однородные координаты [ s 0 ( x ): ...: s r ( x )] хорошо определены, пока секции s 0 , ..., s r не обращаются одновременно в нуль в точке x . Поэтому, если секции никогда не обращаются одновременно в нуль, они определяют форму [ S 0  : ...: s г ] , который дает карту от X до Р г , а поднятие двойственного тавтологического пучка под этой картой L . Таким образом, проективное пространство приобретает универсальное свойство .

Универсальный способ определить отображение в проективное пространство для сопоставления проективизации векторного пространства всех сечений L . В топологическом случае в каждой точке есть ненулевое сечение, которое можно построить с помощью функции выпуклости, которая обращается в нуль вне небольшой окрестности точки. Из-за этого результирующая карта определяется везде. Однако кодомен обычно слишком велик, чтобы быть полезным. Обратное верно в алгебраической и голоморфной постановках. Здесь пространство глобальных сечений часто является конечномерным, но в данной точке может не быть никаких отличных от нуля глобальных сечений. (Как и в случае, когда эта процедура строит пучок Лефшеца .) Фактически, расслоение может вообще не иметь ненулевых глобальных сечений; это так для тавтологического линейного расслоения. Когда линейное расслоение достаточно обильно, эта конструкция проверяет теорему вложения Кодаиры .

Детерминантные связки

Смотрите также: метрика Квиллена § Детерминантное линейное расслоение семейства операторов

В общем , если V является векторным расслоением на пространстве X , с постоянной размерностью волокна п , в н -й внешняя степенью из V взяты волокна с волокном является линейным расслоение, называется линейное расслоение детерминанты . Эта конструкция , в частности , применительно к кокасательному расслоению в виде гладкого многообразия . Результирующее детерминантное расслоение отвечает за явление тензорных плотностей в том смысле, что для ориентируемого многообразия оно имеет ненулевое глобальное сечение, и его тензорные степени с любым вещественным показателем могут быть определены и использованы для `` скручивания '' любого векторного расслоения с помощью тензорного продукт .

Же конструкция (принимая верхнюю внешнюю силу) применима к конечно порожденный проективный модуль M над нётеровым доменом и полученный обратима модуль называется определителем модуля из M .

Характеристические классы, универсальные расслоения и классифицирующие пространства

Первая классификация Штифеля – Уитни классифицирует гладкие вещественные линейные расслоения; в частности, совокупность (классов эквивалентности) вещественных линейных расслоений соответствует элементам первых когомологий с коэффициентами Z / 2 Z ; это соответствие на самом деле является изоморфизмом абелевых групп (групповые операции являются тензорным произведением линейных расслоений и обычного сложения на когомологиях). Аналогично, первый класс Черна классифицирует гладкие комплексные линейные расслоения на пространстве, а группа линейных расслоений изоморфна второму классу когомологий с целыми коэффициентами. Однако расслоения могут иметь эквивалентные гладкие структуры (и, следовательно, один и тот же первый класс Черна), но разные голоморфные структуры. Операторы Черна класса легко доказано с помощью экспоненциальной последовательности из пучков на многообразии.

Можно более широко взглянуть на проблему классификации с теоретико-гомотопической точки зрения. Существует универсальный комплект для реальных линейных комплектов и универсальный комплект для сложных линейных комплектов. Согласно общей теории классификации пространств , эвристика заключается в поиске стягиваемых пространств, на которых есть групповые действия соответствующих групп C 2 и S 1 , которые являются свободными действиями. Эти пространства могут служить универсальными главными расслоениями , а факторы действий - классифицирующими пространствами BG . В этих случаях мы можем найти их явно в бесконечномерных аналогах действительного и комплексного проективного пространства .

Следовательно, классифицирующее пространство BC 2 относится к гомотопическому типу RP ∞ , вещественного проективного пространства, заданного бесконечной последовательностью однородных координат . Он несет универсальную связку реальных линий; в терминах теории гомотопии это означает, что любое вещественное линейное расслоение L на CW-комплексе X определяет классифицирующее отображение из X в RP ∞ , делая L расслоением, изоморфным обратному образу универсального расслоения. Это классифицирующее отображение может быть использовано для определения класса Штифеля-Уитни из L , в первом когомологиями X с Z / 2 Z коэффициентов, от стандартного класса на RP ∞ .

Аналогичным образом комплексное проективное пространство CP ∞ несет универсальное комплексное линейное расслоение. В этом случае карты классификационные дают начало первого Черна класса из X , в H 2 ( X ) (интеграл когомологического).

Существует еще одна аналогичная теория с кватернионными (реальная размерность четыре) линейными расслоениями. Это порождает один из классов Понтрягина в реальных четырехмерных когомологиях.

Таким образом, фундаментальные случаи теории характеристических классов зависят только от линейных расслоений. Согласно общему принципу расщепления, это может определить остальную часть теории (если не явно).

Существуют теории голоморфных линейных расслоений на комплексных многообразиях и обратимых пучков в алгебраической геометрии , которые разрабатывают теорию линейных расслоений в этих областях.

Смотрите также

Примечания

использованная литература