Погружение (математика) - Immersion (mathematics)

Бутылка Клейна , погружают в 3-пространстве.

В математике , погружение является дифференцируемой функцией от дифференцируемых многообразий которых производная всюду инъективно . Явно f  : M → N - погружение, если

${\ Displaystyle D_ {p} f: T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N \,}$

инъективный функции в каждой точке р из М (где Т _р Х обозначает касательное пространство многообразия X в точке р в X ). Эквивалентно, f является погружением, если его производная имеет постоянный ранг, равный размерности M :

${\ displaystyle \ operatorname {rank} \, D_ {p} f = \ dim M.}$

Сама функция f не обязательно должна быть инъективной, должна быть только ее производная.

Связанное с этим понятие - это вложение . Гладкое вложение инъективная погружения F  : M → N , который также является топологическим вложением , так что М является диффеоморфен его образ в N . Погружения именно локальное вложение - то есть, для любой точки х ∈ М существует окрестность , U ⊆ М , из х , таких , что F  : U → N является вложением, и , наоборот , локальное вложение является погружением. Для бесконечномерных многообразий это иногда принимают за определение погружения.

Инъективно погруженное подмногообразие , не являющееся вложением.

Если M является компактным , инъективной погружение является вложением, но если М не компактно , то инъективные погружения не должны быть вложениями; сравнить с непрерывными биекциями против гомеоморфизмов .

Регулярная гомотопия

Регулярная гомотопия между двумя погружениями F и г из в многообразии М к многообразию N определяется как дифференцируемая функция Н  : М × [0,1] → N такое , что для всех т в [0, 1] функции Н _т  : M → N, определяемое формулой H _t ( x ) = H ( x , t ) для всех x ∈ M, является погружением, причем H ₀ = f , H ₁ = g . Таким образом, регулярная гомотопия - это гомотопия через погружения.

Классификация

Хаслер Уитни инициировал систематическое исследование погружений и регулярных гомотопий в 1940 - х годах, доказывает , что за 2 м < п +- каждое отображение ф  : М ^м → N ^п из м - мерного многообразия к п - мерному многообразию гомотопное до погружения , и фактически к вложению при 2 m < n ; они являются теорема погружения Уитни и Уитни теоремы вложения .

Стивен Смейл выразил регулярные гомотопические классы погружений f  : M ^m → R ⁿ как гомотопические группы некоторого многообразия Штифеля . Сфера выворот был особенно ярким следствием.

Моррис Хирш обобщил выражение Смейла до описания гомотопической теории регулярных гомотопических классов погружений любого m -мерного многообразия M ^m в любое n -мерное многообразие N ⁿ .

Классификация погружений Хирша-Смейла была обобщена Михаилом Громовым .

Существование

Мёбиус не погружать в коразмерности 0 , так как его касательное расслоение нетривиально.

Первичное препятствие к существованию погружения я  : М ^м → R ^п является стабильным нормальным расслоением на М , как детектировано с помощью своих характеристических классов , в частности ее классами Штифеля-Уитне . То есть, поскольку R ^п является параллелизуемым , прообраз его касательного расслоения к М тривиально; так как этот набор представляет собой прямую сумму касательного расслоения (внутренне определенного) на M , TM , имеющего размерность m , и нормального расслоения ν погружения i , имеющего размерность n - m , для того, чтобы существовала коразмерность k при погружении M должно существовать векторное расслоение размерности k , ξ ^k , заменяющее нормальное расслоение ν , такое, что TM ⊕ ξ ^k тривиально. Наоборот, при таком расслоении погружение M с этим нормальным расслоением эквивалентно погружению коразмерности 0 всего пространства этого расслоения, которое является открытым многообразием.

Стабильное нормальное расслоение - это класс нормальных расслоений плюс тривиальных расслоения, и, таким образом, если стабильное нормальное расслоение имеет когомологическую размерность k , оно не может происходить из (нестабильного) нормального расслоения размерности меньше k . Таким образом, размерность когомологий стабильного нормального расслоения, обнаруженная его высшим отличным от нуля характеристическим классом, является препятствием для погружений.

Поскольку характеристические классы умножаются при прямой сумме векторных расслоений, это препятствие может быть внутренне сформулировано в терминах пространства M, его касательного расслоения и алгебры когомологий. Это препятствие было сформулировано (в терминах касательного расслоения, а не стабильного нормального расслоения) Уитни.

Например, лента Мёбиуса имеет нетривиальное касательное расслоение, поэтому она не может погружаться в коразмерность 0 (в R ² ), хотя она вкладывается в коразмерность 1 (в R ³ ).

Уильям С. Мэсси  ( 1960 ) показал, что эти характеристические классы (классы Штифеля – Уитни стабильного нормального расслоения) обращаются в нуль выше степени n - α ( n ) , где α ( n ) - количество цифр "1", когда n равно записано в двоичном формате; эта оценка точна, поскольку реализуется реальным проективным пространством . Это свидетельствовало о гипотезе о погружении , а именно о том, что каждое n -многообразие может быть погружено в коразмерность n - α ( n ) , т. ^{Е. В} R ^{2 n} - α ^{( n )} . Это предположение было доказано Ральфом Коэном  ( 1985 ).

Коразмерность 0

Коразмерность 0 иммерсия эквивалентно относительные измерения 0 субмерсий , и лучше рассматривать как погружения. Погружение замкнутого многообразия коразмерности 0 - это в точности накрывающее отображение , т. Е. Расслоение с 0-мерным (дискретным) слоем. Согласно теореме Эресмана и теореме Филлипса о субмерсиях, собственное субмерсии многообразий является расслоением, поэтому погружения / субмерсии коразмерности / относительной размерности 0 ведут себя как субмерсии.

Кроме того, погружения коразмерности 0 не ведут себя как другие погружения, которые в значительной степени определяются стабильным нормальным расслоением: в коразмерности 0 возникают проблемы фундаментального класса и покрывающих пространств. Например, не существует погружения S ¹ → R ¹ коразмерности 0 , несмотря на то, что окружность распараллеливаема, что может быть доказано, потому что прямая не имеет фундаментального класса, поэтому не получается требуемое отображение на верхних когомологиях. Или же это из-за неизменности домена . Точно так же, хотя S ³ и 3-тор T ³ оба параллелизуются, погружения T ³ → S ^{3 нет} - любое такое покрытие должно было бы разветвляться в некоторых точках, поскольку сфера односвязна.

Другой способ понимания этого состоит в том, что погружение многообразия коразмерности k соответствует погружению коразмерности 0 k -мерного векторного расслоения, которое является открытым многообразием, если коразмерность больше 0, но замкнутому многообразию коразмерности 0 ( если исходный коллектор закрыт).

Несколько точек

К -кратной точкой (двойной, тройной и т.д.) погружения F  : M → N является неупорядоченным множеством { х ₁ , ..., х _к } различных точек х _я ∈ M с тем же изображением F ( х _я ) ∈ N . Если М представляет собой м - мерное многообразие и N представляет собой п - мерное многообразие , то для погружения F  : M → N в общем положении множество K -кратного точек ( п - к ( п - т )) мерное многообразие . Каждое вложение - это погружение без кратных точек (где k > 1 ). Обратите внимание, однако, что обратное неверно: есть инъективные погружения, которые не являются вложениями.

Характер множественных точек классифицирует погружения; например, погружения круга в плоскость классифицируются с точностью до регулярной гомотопии по количеству двойных точек.

В ключевой момент в теории перестроек необходимо решить , если погружной F  : S ^м → N ^{2 м} от с м -сфера в 2 м - мерное многообразие является регулярной гомотопным вложением, в этом случае он может быть убит операция. Стена , связанные с й инвариантным ц ( ф ) в частном от фундаментального группы кольца Z [ π ₁ ( Н )] , который подсчитывает двойные точки F в универсальной крышке из N . Для т > 2 , е является регулярным гомотопным вложением тогда и только тогда , когда μ ( F ) = 0 по Уитне трюка.

Можно изучать вложения как «погружения без множественных точек», поскольку погружения легче классифицировать. Таким образом, можно начать с погружений и попытаться устранить несколько точек, чтобы посмотреть, можно ли это сделать, не вводя другие особенности, - изучая «множественные дизъюнкции». Впервые это было сделано Андре Хефлигером , и этот подход плодотворен в коразмерности 3 или более - с точки зрения теории хирургии, это «высокое (со) измерение», в отличие от коразмерности 2, которая является размерностью узлов, как в случае с узлом теория . Он категорически изучается с помощью « исчисления функторов » Томаса Гудвилли , Джона Кляйна и Майкла С. Вайсса .

Примеры и свойства

Квадрифолий , 4-лепестками розы.

• Математическая роза с k лепестками - это погружение круга в плоскость с одной точкой k -набора; k может быть любым нечетным числом, но если четное должно быть кратно 4, то цифра 8 не является розой.
• Бутылка Клейна , а все остальные неориентируемые замкнутые поверхности, могут быть погружены в 3-пространстве , но не встроены.
• По теореме Уитни – Граустейна регулярные гомотопические классы погружений окружности в плоскость классифицируются по числу витков , которое также является числом двойных точек, подсчитываемых алгебраически (то есть со знаками).
• Сфера может быть вывернута наизнанку : стандартным вложение F ₀  : S ² → R ³ связан с F ₁ = - ф ₀  : S ² → R ³ путем регулярной гомотопностью погружений ф _т  : S ² → R ³ .
• Поверхность Мальчика - это погружение реальной проективной плоскости в 3-мерное пространство; таким образом, также происходит погружение сферы 2 к 1.
• Поверхность Морин является погружением сферы; и она, и поверхность Боя возникают как промежуточные модели в вывороте сферы.

• 

  Поверхность мальчика

• 

  Поверхность Morin

Погруженные плоские кривые

Эта кривая имеет общую кривизну  6 π и число поворота  3, хотя она имеет только число витков  2 вокруг  p .

Кривые в погруженной плоскости имеют четко определенное число поворота , которое можно определить как общую кривизну, деленную на 2 π . Это инвариантно относительно регулярной гомотопии по теореме Уитни – Граустейна - топологически это степень отображения Гаусса или, что то же самое, число витков единичной касательной (которое не обращается в нуль) относительно начала координат. Далее, это полный набор инвариантов - любые две плоские кривые с одинаковым числом поворота являются правильными гомотопными.

Каждая кривая погруженной плоскости поднимается до кривой вложенного пространства через разделение точек пересечения, что неверно в высших измерениях. С добавлением данных (какая нить находится наверху) кривые в погруженной плоскости дают диаграммы узлов , которые представляют центральный интерес в теории узлов . В то время как погруженные плоские кривые с точностью до регулярной гомотопии определяются числом их поворота, узлы имеют очень богатую и сложную структуру.

Погружаемые поверхности в 3-м пространстве

Изучение погруженных поверхностей в 3-мерном пространстве тесно связано с изучением узловых (вложенных) поверхностей в 4-мерном пространстве по аналогии с теорией узловых диаграмм (погруженных плоских кривых (2-пространства) как проекций узловых кривых в 3-м пространстве). -пространство): заданная узловая поверхность в 4-м пространстве, можно спроецировать ее на погруженную поверхность в 3-м пространстве, и, наоборот, учитывая погруженную поверхность в 3-м пространстве, можно спросить, поднимается ли она в 4-мерное пространство - является ли она это проекция узловой поверхности в 4-м пространстве? Это позволяет связать вопросы об этих объектах.

Основной результат, в отличие от случая плоских кривых, состоит в том, что не каждая погруженная поверхность поднимается до узловатой поверхности. В некоторых случаях препятствие представляет собой 2-кручение, например, в примере Кошорке , который представляет собой погруженную поверхность (образованную из 3 лент Мебиуса с тройной точкой ), которая не поднимается до узловой поверхности, но имеет двойное покрытие, которое поднимать. Подробный анализ представлен в Carter & Saito (1998a) , а более свежий обзор - в Carter, Kamada & Saito (2004) .

Обобщения

Одним из далеко идущих обобщений теории погружения является принцип гомотопии : можно рассматривать условие погружения (ранг производной всегда k ) как отношение в частных производных (PDR), поскольку его можно сформулировать в терминах частных производных от функция. Тогда теория погружения Смейла – Хирша является результатом того, что она сводится к теории гомотопии, а принцип гомотопии дает общие условия и причины для того, чтобы PDR сводились к теории гомотопии.

Смотрите также

• Погруженное подмногообразие
• Изометрическое погружение
• Погружение

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Погружение в Атлас Манифольда
• Погружение многообразия в энциклопедии математики