Функциональное поле алгебраического многообразия - Function field of an algebraic variety

В алгебраической геометрии , то поле функций из алгебраического многообразия V состоит из объектов , которые интерпретируются как рациональные функции на V . В классической алгебраической геометрии это отношения многочленов ; в сложной алгебраической геометрии это мероморфные функции и их многомерные аналоги; в современной алгебраической геометрии они являются элементами поля частных кольца частных .

Определение комплексных многообразий

В сложной алгебраической геометрии объектами изучения являются комплексные аналитические многообразия , на которых у нас есть локальное понятие комплексного анализа , с помощью которого мы можем определять мероморфные функции. Функциональное поле многообразия - это тогда множество всех мероморфных функций на многообразии. (Как и все мероморфные функции, они принимают свои значения .) Вместе с операциями сложения и умножения функций это поле в смысле алгебры. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ чашка \ infty}$

Для сферы Римана , которая является многообразием комплексных чисел, глобальные мероморфные функции являются в точности рациональными функциями (то есть отношениями комплексных полиномиальных функций). ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

Построение в алгебраической геометрии

В классической алгебраической геометрии мы обобщаем вторую точку зрения. Для сферы Римана выше понятие полинома не определено глобально, а просто по отношению к аффинной координатной карте, а именно, состоящей из комплексной плоскости (все, кроме северного полюса сферы). На общем многообразии V , мы говорим , что рациональная функция на открытой аффинном подмножество U определяются как отношение двух многочленов в аффинных координаты кольца из U , и что рациональная функция на всех V состоит из таких локальных данных , как согласна на пересечениях открытых аффинных групп. Мы можем определить функциональное поле V как поле частных аффинного координатного кольца любого открытого аффинного подмножества, поскольку все такие подмножества плотны.

Обобщение на произвольную схему

В самом общем контексте, в условиях современной теории схем , мы принимаем последнюю точку зрения, приведенную выше, в качестве отправной точки. А именно, если является интегральной схемой , то для каждого открытого аффинного подмножества из кольца секций на является областью целостности и, следовательно, имеет поле фракций. Кроме того, можно проверить , что это все равно, и все равно локальное кольцо в общей точке из . Таким образом, функциональное поле - это просто локальное кольцо его общей точки. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в области функций (теории схем) . См. Робин Хартшорн  ( 1977 ). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Геометрия функционального поля

Если V - многообразие, определенное над полем K , то функциональное поле K ( V ) является конечно порожденным полевым расширением основного поля K ; степень его трансцендентности равна размерности разнообразия. Все расширения поля K , конечно порожденные как поля над K, возникают таким образом из некоторого алгебраического многообразия. Эти расширения поля также известны как полей алгебраических функций над K .

Свойства многообразия V , зависящие только от поля функций, изучаются в бирациональной геометрии .

Примеры

Поле функций точки над K является K .

Функциональное поле аффинной прямой над K изоморфно полю K ( t ) рациональных функций от одной переменной. Это также функциональное поле проективной прямой .

Рассмотрим аффинную плоскую кривую, заданную уравнением . Его функциональное поле - это поле K ( x , y ), порожденное элементами x и y , которые трансцендентны над K и удовлетворяют алгебраическому соотношению . ${\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {5} +1}$${\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {5} +1}$

Смотрите также

• Функциональное поле (теория схем) : обобщение
• Поле алгебраических функций
• Делитель Картье

использованная литература

• Дэвид М. Гольдшмидт (2002). Алгебраические функции и проективные кривые . Тексты для выпускников по математике . 215 . Springer-Verlag. ISBN 0-387-95432-5.
• Hartshorne, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157 , OCLC  13348052, раздел II.3 Упражнение «Первые свойства схем» 3.6.