Серрская двойственность - Serre duality

В алгебраической геометрии , разделе математики , двойственность Серра - это двойственность когерентных пучков когомологий алгебраических многообразий, доказанная Жан-Пьером Серром . Базовая версия применяется к векторным расслоениям на гладком проективном многообразии, но Александр Гротендик нашел широкие обобщения, например, на особые многообразия. На п - мерное многообразие, теорема говорит о том , что группа когомологий является сопряженным пространством от другого, . Двойственность Серра является аналогом когерентных пучковых когомологий двойственности Пуанкаре в топологии с${\ displaystyle H ^ {i}}$${\ displaystyle H ^ {ni}}$каноническое линейное расслоение, заменяющее ориентационный пучок .

Теорема двойственности Серра также верна в комплексной геометрии в более общем смысле для компактных комплексных многообразий , которые не обязательно являются проективными комплексными алгебраическими многообразиями . В этом контексте теорема двойственности Серра является приложением теории Ходжа для когомологий Дольбо и может рассматриваться как результат в теории эллиптических операторов .

Эти две различные интерпретации двойственности Серра совпадают для неособых проективных комплексных алгебраических многообразий благодаря применению теоремы Дольбо, связывающей когомологии пучков с когомологиями Дольбо.

Двойственность Серра для векторных расслоений

Алгебраическая теорема

Пусть X - гладкое многообразие размерности n над полем k . Определим каноническое линейное расслоение как расслоение n -форм на X , высшую внешнюю степень кокасательного расслоения : ${\ displaystyle K_ {X}}$

${\ displaystyle K_ {X} = \ Omega _ {X} ^ {n} = {\ bigwedge} ^ {n} (T ^ {*} X).}$

Предположим дополнительно , что Х является собственно (например, проективное ) над к . Тогда двойственность Серра говорит: для алгебраического векторного расслоения E на X и целого числа i существует естественный изоморфизм

${\ displaystyle H ^ {i} (X, E) \ cong H ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {\ ast}) ^ {\ ast}}$

конечномерных k -векторных пространств. Здесь обозначает тензорное произведение векторных расслоений. Отсюда следует, что размерности двух групп когомологий равны: ${\ displaystyle \ otimes}$

${\ displaystyle h ^ {i} (X, E) = h ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {\ ast}).}$

Как и в двойственности Пуанкаре, изоморфизм в двойственности Серра возникает из чашечного произведения в когомологиях пучков. А именно, состав продукта чашки с естественным отображением следа на это идеальное сопряжении : ${\ displaystyle H ^ {n} (X, K_ {X})}$

${\ displaystyle H ^ {i} (X, E) \ times H ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {\ ast}) \ to H ^ {n} (X, K_ {X} ) \ к k.}$

Отображение следа является аналогом когерентных пучковых когомологий интегрирования в когомологиях де Рама .

Дифференциально-геометрическая теорема

Серр также доказал то же утверждение двойственности для X - компактного комплексного многообразия и E - голоморфного векторного расслоения . Здесь теорема двойственности Серра является следствием теории Ходжа . А именно, на компактном комплексном многообразии, снабженном римановой метрикой , существует звездный оператор Ходжа${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ звезда: \ Omega ^ {p} (X) \ to \ Omega ^ {2n-p} (X),}$

где . Кроме того, поскольку он сложен, происходит разделение сложных дифференциальных форм на формы типа . Звездный оператор Ходжа (расширенный комплексно-линейно до комплекснозначных дифференциальных форм) взаимодействует с этой градуировкой как ${\ Displaystyle \ тусклый _ {\ mathbb {C}} X = п}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (p, q)}$

${\ displaystyle \ star: \ Omega ^ {p, q} (X) \ to \ Omega ^ {nq, np} (X).}$

Обратите внимание, что голоморфные и антиголоморфные индексы поменялись местами. На комплексных дифференциальных формах существует сопряжение, которое меняет местами формы типа и , и если определить сопряженно-линейный звездный оператор Ходжа с помощью, то мы имеем ${\ displaystyle (p, q)}$${\ Displaystyle (д, р)}$${\ displaystyle {\ bar {\ star}} \ omega = \ star {\ bar {\ omega}}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ star}}: \ Omega ^ {p, q} (X) \ to \ Omega ^ {np, nq} (X).}$

Используя сопряженно-линейную звезду Ходжа, можно определить эрмитово- внутреннее произведение на комплексных дифференциальных формах следующим образом: ${\ displaystyle L ^ {2}}$

${\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle _ {L ^ {2}} = \ int _ {X} \ alpha \ wedge {\ bar {\ star}} \ beta,}$

где now - -форма, в частности комплекснозначная -форма, и поэтому может быть интегрирована относительно ее канонической ориентации . Кроме того, предположим, что это эрмитово голоморфное векторное расслоение. Тогда эрмитова метрика дает сопряженно-линейный изоморфизм между и , скажем, двойственным векторным расслоением . Определяя , получаем изоморфизм ${\ Displaystyle \ альфа \ клин {\ бар {\ звезда}} \ бета}$${\ Displaystyle (п, п)}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (E, h)}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle E \ cong E ^ {*}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ tau: E \ to E ^ {*}}$${\ displaystyle {\ bar {\ star}} _ {E} (\ omega \ otimes s) = {\ bar {\ star}} \ omega \ otimes \ tau (s)}$

${\ displaystyle {\ bar {\ star}} _ {E}: \ Omega ^ {p, q} (X, E) \ to \ Omega ^ {np, nq} (X, E ^ {*})}$

где состоит из гладкозначных комплексных дифференциальных форм. Используя соединение между и, задаваемое посредством и , можно поэтому определить эрмитово -внутреннее произведение на таких -значных формах следующим образом: ${\ Displaystyle \ Omega ^ {p, q} (X, E) = \ Omega ^ {p, q} (X) \ otimes \ Gamma (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E ^ {*}}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle _ {L ^ {2}} = \ int _ {X} \ alpha \ wedge _ {h} {\ bar {\ star}} _ {E} \ beta, }$

где здесь имеется в виду произведение клина дифференциальных форм и использование пары между и заданным посредством . ${\ displaystyle \ wedge _ {h}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E ^ {*}}$${\ displaystyle h}$

Теорема Ходжа для когомологий Дольбо утверждает, что если мы определим

${\ displaystyle \ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}} = {\ bar {\ partial}} _ {E} ^ {*} {\ bar {\ partial}} _ {E} + {\ bar {\ partial}} _ {E} {\ bar {\ partial}} _ {E} ^ {*}}$

где - оператор Дольбо к и - его формальный сопряженный по отношению к внутреннему произведению, то ${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {E} ^ {*}}$

${\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) \ cong {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ {p, q} (ИКС).}$

Слева находятся когомологии Дольбо, а справа - векторное пространство гармонических дифференциальных форм,${\ displaystyle E}$ определяемых формулой

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ {p, q} (X) = \ {\ alpha \ in \ Omega ^ { p, q} (X, E) \ mid \ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}} (\ alpha) = 0 \}.}$

Используя это описание, теорему двойственности Серра можно сформулировать следующим образом: изоморфизм индуцирует комплексный линейный изоморфизм ${\ displaystyle {\ bar {\ star}} _ {E}}$

${\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) \ cong H ^ {np, nq} (X, E ^ {*}) ^ {*}.}$

Это легко доказать, используя приведенную выше теорию Ходжа. А именно, если - класс когомологий в с единственным гармоническим представителем , то ${\ Displaystyle [\ альфа]}$${\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E)}$${\ displaystyle \ alpha \ in {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ {p, q} (X)}$

${\ displaystyle (\ alpha, {\ bar {\ star}} _ {E} \ alpha) = \ langle \ alpha, \ alpha \ rangle _ {L ^ {2}} \ geq 0}$

с равенством тогда и только тогда, когда . В частности, комплексное линейное спаривание ${\ Displaystyle \ альфа = 0}$

${\ Displaystyle (\ альфа, \ бета) = \ int _ {X} \ альфа \ клин _ {ч} \ бета}$

между и является невырожденной , и индуцирует изоморфизм в теореме двойственности Серра. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E}}} ^ {p, q} (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ Delta _ {{\ bar {\ partial}} _ {E ^ {*}}}} ^ {np, nq} (X)}$

Утверждение двойственности Серра в алгебраическом контексте можно восстановить, взяв и применив теорему Дольбо , которая гласит, что ${\ displaystyle p = 0}$

${\ displaystyle H ^ {p, q} (X, E) \ cong H ^ {q} (X, {\ boldsymbol {\ Omega}} ^ {p} \ otimes E)}$

где слева когомологии Дольбо, а справа когомологии пучков, где обозначает пучок голоморфных -форм. В частности, получаем ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} ^ {p}}$${\ displaystyle (p, 0)}$

${\ displaystyle H ^ {q} (X, E) \ cong H ^ {0, q} (X, E) \ cong H ^ {n, nq} (X, E ^ {*}) ^ {*} \ cong H ^ {nq} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {*}) ^ {*}}$

где мы воспользовались тем, что пучок голоморфных -формы это только каноническое расслоение из . ${\ Displaystyle (п, 0)}$${\ displaystyle X}$

Алгебраические кривые

Фундаментальное приложение двойственности Серра - к алгебраическим кривым . (По комплексным числам это эквивалентно рассмотрению компактных римановых поверхностей .) Для линейного расслоения L на гладкой проективной кривой X над полем k единственными, возможно, ненулевыми группами когомологий являются и . Двойственность Серра описывает группу в терминах группы (для другого линейного расслоения). Это более конкретно, поскольку линейный пучок - это просто пространство его секций. ${\ displaystyle H ^ {0} (X, L)}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, L)}$${\ displaystyle H ^ {1}}$${\ displaystyle H ^ {0}}$${\ displaystyle H ^ {0}}$

Двойственность Серра особенно важна для теоремы Римана – Роха для кривых. Для линейного расслоения L степени д на кривой X из рода г , Римана-Роха теорема утверждает , что

${\ displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {1} (X, L) = d-g + 1.}$

Используя двойственность Серра, это можно переформулировать более элементарно:

${\ displaystyle h ^ {0} (X, L) -h ^ {0} (X, K_ {X} \ otimes L ^ {*}) = d-g + 1.}$

Последнее утверждение (выраженное в терминах делителей ) фактически является исходной версией теоремы XIX века. Это основной инструмент, используемый для анализа того, как данная кривая может быть встроена в проективное пространство и, следовательно, для классификации алгебраических кривых.

Пример: каждый глобальный участок линейного пучка отрицательной степени равен нулю. Более того, степень канонического расслоения равна . Следовательно, из Римана – Роха следует, что для линейного расслоения L степени , равно . Когда род g не меньше 2, из двойственности Серра следует, что . Вот первый заказ деформационного пространства из X . Это основное вычисление, необходимое для того, чтобы показать, что пространство модулей кривых рода g имеет размерность . ${\ displaystyle 2g-2}$${\ displaystyle d> 2g-2}$${\ displaystyle h ^ {0} (X, L)}$${\ displaystyle d-g + 1}$${\ displaystyle h ^ {1} (X, TX) = h ^ {0} (X, K_ {X} ^ {\ otimes 2}) = 3g-3}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, TX)}$${\ displaystyle 3g-3}$

Двойственность Серра для когерентных пучков

Другая формулировка двойственности Серра верна для всех когерентных пучков , а не только для векторных расслоений. В качестве первого шага в обобщении двойственности Серра Гротендик показал, что эта версия работает для схем с мягкими особенностями, схем Коэна – Маколея , а не только для гладких схем.

А именно, для схемы Коэна – Маколея X чистой размерности n над полем k Гротендик определил когерентный пучок на X, называемый дуализирующим пучком . (Некоторые авторы называют этот пучок .) Предположим дополнительно, что X собственно над k . Для когерентного пучка E на X и целого i двойственность Серра утверждает, что существует естественный изоморфизм ${\ displaystyle \ omega _ {X}}$${\ displaystyle K_ {X}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, \ omega _ {X}) \ cong H ^ {ni} (X, E) ^ {*}}$

конечномерных k -векторных пространств. Здесь группа Ext взята из абелевой категории -модулей . Это включает в себя предыдущее утверждение, поскольку оно изоморфно тому, когда E является векторным расслоением. ${\ displaystyle O_ {X}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, \ omega _ {X})}$${\ displaystyle H ^ {i} (X, E ^ {*} \ otimes \ omega _ {X})}$

Чтобы использовать этот результат, нужно явно определить дуализирующий пучок, по крайней мере, в частных случаях. Когда X гладко над k , является каноническим линейным расслоением, определенным выше. В более общем смысле, если X - подсхема Коэна – Маколея коразмерности r в гладкой схеме Y над k , то дуализирующий пучок можно описать как пучок Ext : ${\ displaystyle \ omega _ {X}}$${\ displaystyle K_ {X}}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} \ cong {\ mathcal {Ext}} _ {O_ {Y}} ^ {r} (O_ {X}, K_ {Y}).}$

Когда X является локальным полным пересечением коразмерности r в гладкой схеме Y , существует более элементарное описание: нормальное расслоение X в Y является векторным расслоением ранга r , а дуализирующий пучок X задается формулой

${\ displaystyle \ omega _ {X} \ cong K_ {Y} | _ {X} \ otimes {\ bigwedge} ^ {r} (N_ {X / Y}).}$

В этом случае X является схемой Коэна-Маколея с линейным расслоением, в котором говорится , что X является Горенштейном . ${\ displaystyle \ omega _ {X}}$

Пример: Пусть X - полное пересечение в проективном пространстве над полем k , заданное однородными многочленами степеней . (Сказать, что это полное пересечение, означает, что X имеет размерность .) Для целых чисел d существуют линейные расслоения O ( d ) , обладающие тем свойством, что однородные многочлены степени d можно рассматривать как сечения O ( d ). Тогда дуализирующий пучок X - это линейное расслоение ${\ displaystyle {\ mathbf {P}} ^ {n}}$${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {r}}$${\ displaystyle d_ {1}, \ ldots, d_ {r}}$${\ displaystyle nr}$${\ displaystyle {\ mathbf {P}} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} = O (d_ {1} + \ cdots + d_ {r} -n-1) | _ {X},}$

по формуле присоединения . Например, дуализирующий пучок плоской кривой X степени d равен . ${\ displaystyle O (d-3) | _ {X}}$

Комплексные модули трехмерных многообразий Калаби – Яу.

В частности, мы можем вычислить количество комплексных деформаций, равное для квинтики трехмерного многообразия Калаби – Яу, используя двойственность Серра. Поскольку свойство Калаби – Яу обеспечивает двойственность Серра, это показывает нам, что количество комплексных модулей равно в ромбе Ходжа. Конечно, последнее утверждение зависит от теоремы Богомолева – Тиана – Тодорова, которая утверждает, что любая деформация на Калаби – Яу беспрепятственна. ${\ Displaystyle \ тусклый (Н ^ {1} (X, TX))}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {4}}$${\ Displaystyle K_ {X} \ cong {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, TX) \ cong H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes \ Omega _ {X}) \ cong H ^ {2} (X, \ Omega _ {X})}$${\ displaystyle h ^ {2,1}}$

Двойственность Гротендика

Теория когерентной двойственности Гротендика представляет собой широкое обобщение двойственности Серра, использующее язык производных категорий . Для любой схемы X конечного типа над полем к , существует объект из ограниченной производной категории когерентных пучков на X , , называется дуализирующий комплекс из X над к . Формально - исключительный прообраз , где f - данный морфизм . Когда X - это Коэн – Маколей чистой размерности n , равно ; то есть, это дуализирующий пучок, рассмотренный выше, рассматриваемый как комплекс в (когомологической) степени - n . В частности, когда X гладко над k , находится ли каноническое линейное расслоение в степени - n . ${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle f ^ {!} O_ {Y}}$${\ Displaystyle X \ to Y = \ OperatorName {Spec} (k)}$${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle \ omega _ {X} [n]}$${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$

Используя дуализирующий комплекс, двойственность Серра обобщается на любую правильную схему X над k . А именно, существует естественный изоморфизм конечномерных k -векторных пространств

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {X} (E, \ omega _ {X} ^ {\ bullet}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {X} (O_ {X}, E) ^ {*} }$

для любого объекта E в . ${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$

В более общем смысле, для правильной схемы X над k , объекта E in и F - совершенного комплекса in , имеется элегантное утверждение: ${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$${\ displaystyle D _ {\ operatorname {perf}} (X)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {X} (E, F \ otimes \ omega _ {X} ^ {\ bullet}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {X} (F, E) ^ {*} .}$

Здесь тензорное произведение означает производное тензорное произведение , что естественно в производных категориях. (Чтобы сравнить с предыдущими формулировками, обратите внимание, что это можно рассматривать как .) Когда X также сглаживается по k , каждый объект в представляет собой идеальный комплекс, и поэтому эта двойственность применяется ко всем E и F в . Заявление выше, затем кратко говоря , что это функтор Серра на для X гладкой и собственно над к . ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {X} ^ {i} (E, \ omega _ {X})}$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {X} (E, \ omega _ {X} [i])}$${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$${\ Displaystyle F \ mapsto F \ omega _ {X} ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle D _ {\ operatorname {coh}} ^ {b} (X)}$

В более общем случае двойственность Серра верна для собственных алгебраических пространств над полем.

Примечания

использованная литература

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157 , OCLC  13348052
• Хартсхорн, Робин (1966), остатки и двойственность , конспекты лекций по математике, 20 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03603-6, MR  0222093
• «Двойственность» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хайбрехтс, Даниэль (2005), Сложная геометрия , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-21290-6, Руководство по ремонту  2093043
• Huybrechts, Daniel (2006), преобразования Фурье – Мукаи в алгебраической геометрии , Oxford University Press , ISBN 978-0199296866, Руководство по ремонту  2244106
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Теория двойственности», Commentarii Mathematici Helvetici , 29 : 9–26, doi : 10.1007 / BF02564268 , MR  0067489
• Тэйт, Джон (1968), "Вычеты дифференциалов на кривых" (PDF) , Annales Scientifiques де l'Эколь Нормаль , Série 4, 1 : 149-159, DOI : 10,24033 / asens.1162 , ISSN  0012-9593 , MR  0227171

внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks, проект Stacks