5-ячеечные соты - 5-cell honeycomb

4-х симплексные соты
(Нет изображения)
Тип	Равномерные 4-соты
Семья	Простые соты
Символ Шлефли	{3 ^[5] }
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	{3,3,3} т ₁ {3,3,3}
Типы клеток	{3,3} т ₁ {3,3}
Типы лица	{3}
Фигура вершины	т _0,3 {3,3,3}
Симметрия	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ × 2, {3 ^[5] }
Характеристики	вершинно-транзитивный

В четырехмерной евклидовой геометрии , то 4-симплекс соты , 5-элементные соты или pentachoric-dispentachoric соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сотни . Он состоит из 5-ячеечных и выпрямленных 5-ячеечных граней в соотношении 1: 1.

Состав

Ячейки вершинной фигуры - это десять тетраэдров и 20 треугольных призм , соответствующих десяти 5-ячейкам и 20 выпрямленным 5-ячейкам, которые встречаются в каждой вершине. Все вершины лежат в параллельных областях, в которых они образуют чередующиеся кубические соты , причем тетраэдры являются либо вершинами выпрямленных 5-ячеек, либо основаниями 5-ячеек, а октаэдры - основаниями выпрямленных 5-ячеек.

Альтернативные имена

Циклопентахорический тетракомб
Пентахорико-диспентахорический тетракомб

Проекция складыванием

5-элементные соты могут быть спроецированы в 2-мерную квадратную плитку с помощью геометрической складной операции , которая отображает две пары зеркал друг в друг, разделяя то же расположение вершин :

${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$
${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {2}}$

Решетка А4

Расположение вершин соты из 5 ячеек называется решеткой A4 или 4-симплексной решеткой . 20 вершин его вершинной фигуры , 5-клетка в виде бегунков, представляют 20 корней группы Кокстера. Это 4-мерный случай простейших сот . ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$

А^*
₄решетка представляет собой объединение пяти решеток A ₄ и является двойственной к усеченной 5-симплексной соте , поэтому ячейка Вороного этой решетки является полностью усеченной 5-ячейкой.

∪

= двойной

Связанные многогранники и соты

На вершинах из 5-клеток в этих сотах примыкать к основаниям из 5-клеток, и наоборот, в соседних пластинках (или слои); но чередующиеся пластинки могут быть перевернуты так, чтобы вершины выпрямленных 5-ячеек примыкали к вершинам выпрямленных 5-ячеек, а основания 5-ячеек примыкали к основаниям других 5-ячеек. Эта инверсия приводит к еще одной неравномерно выпуклой соте, не относящейся к Витоффу. Октаэдрические призмы и тетраэдрические призмы также могут быть вставлены между чередующимися пластинками, в результате чего получатся еще две удлиненные однородные соты, не относящиеся к Витоффиану.

Эти соты - одна из семи уникальных однородных сот, созданных группой Кокстера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина : ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$

Соты формата А4
Пентагон симметрии	Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Расширенная группа	Сотовые диаграммы
а1	[3 ^[5] ]		${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$	(Никто)
i2	[[3 ^[5] ]]		${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ × 2	₁ , ₂ , ₃ , ₄ , ₅ , ₆
r10	[5 [3 ^[5] ]]		${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ × 10	₇

Ректифицированные 5-ячеечные соты

Ректифицированные 5-ячеечные соты
(Нет изображения)
Тип	Равномерные 4-соты
Символ Шлефли	t _0,2 {3 ^[5] } или r {3 ^[5] }
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	т ₁ {3 ³ } т _0,2 {3 ³ } т _0,3 {3 ³ }
Типы клеток	Тетраэдр Октаэдр Кубооктаэдр Треугольная призма
Фигура вершины	треугольная удлиненно-антипризматическая призма
Симметрия	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ × 2, {3 ^[5] }
Характеристики	вершинно-транзитивный

Выпрямляется 4-симплекс соты или выпрямленной 5-элементные соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сот .

Альтернативные имена

малый цикломбированный пентахорический тетракомб
малая призматодиспентахорический четырехугольник

Циклоусеченные 5-ячеечные соты

Циклоусеченные 5-ячеечные соты
(Нет изображения)
Тип	Равномерные 4-соты
Семья	Усеченные простые соты
Символ Шлефли	т _0,1 {3 ^[5] }
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	{3,3,3} т {3,3,3} 2т {3,3,3}
Типы клеток	{3,3} т {3,3}
Типы лица	Треугольник {3} Шестиугольник {6}
Фигура вершины	Тетраэдрическая антипризма [3,4,2 ⁺ ], порядок 48
Симметрия	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ × 2, {3 ^[5] }
Характеристики	вершинно-транзитивный

Cyclotruncated 4-симплекс соты или cyclotruncated 5-элементные соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сот . Его также можно рассматривать как двухкомпонентную сотовую структуру с 5 ячейками .

Он состоит из фасетов 5 ячеек , усеченных 5 ячеек и усеченных битом 5 ячеек в соотношении 2: 2: 1. Его вершинная фигура представляет собой тетраэдрическую антипризму с 2 правильными тетраэдрами , 8 треугольными пирамидами и 6 тетрагональными дисфеноидными ячейками, определяющими 2 5- ячеечных , 8 усеченных 5- ячеечных и 6 усеченных битом 5-ячеечных граней вокруг вершины.

Его можно построить как пять наборов параллельных гиперплоскостей, которые делят пространство на два полупространства. Гиперплоскости с 3-мя пространствами содержат четверть кубических сот в качестве фасетов совокупности.

Альтернативные имена

Циклоусеченный пентахорический тетракомб
Малый усеченно-пентахорический тетракомб

Усеченные 5-ячеечные соты

Усеченные 4-симплексные соты
(Нет изображения)
Тип	Равномерные 4-соты
Символ Шлефли	t _0,1,2 {3 ^[5] } или t {3 ^[5] }
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	т _0,1 {3 ³ } т _0,1,2 {3 ³ } т _0,3 {3 ³ }
Типы клеток	Тетраэдр Усеченный тетраэдр Усеченный октаэдр Треугольная призма
Фигура вершины	треугольная удлиненно-антипризматическая пирамида
Симметрия	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ × 2, {3 ^[5] }
Характеристики	вершинно-транзитивный

Усечена 4-симплекс соты или усеченной 5-элементные соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сот . Его также можно назвать усеченными циклокантными сотами из 5 ячеек .

Альтернативные имена

Большой циклоромбированный пентахорический тетракомб
Большой усеченно-пентахорический тетракомб

Сквозные 5-ячеечные соты

Сотовые 5-ячеечные соты
(Нет изображения)
Тип	Равномерные 4-соты
Символ Шлефли	t _0,1,3 {3 ^[5] } или rr {3 ^[5] }
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	т _0,2 {3 ³ } т _1,2 {3 ³ } т _0,1,3 {3 ³ }
Типы клеток	Усеченный тетраэдр Октаэдр Кубооктаэдр Треугольная призма Гексагональная призма
Фигура вершины	треугольно-призматический антифастигий
Симметрия	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ × 2, {3 ^[5] }
Характеристики	вершинно-транзитивный

Cantellated 4-симплекс соты или cantellated 5-элементные соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сот . Его также можно назвать циклоусеченными 5-ячеечными сотами .

Альтернативные имена

Циклопризматический пентахорический тетракомб
Большой призматодиспентахорический тетракомб

Усеченные 5-ячеечные соты

Усеченные 5-ячеечные соты
(Нет изображения)
Тип	Равномерные 4-соты
Символ Шлефли	t _0,1,2,3 {3 ^[5] } или 2t {3 ^[5] }
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	т _0,1,3 {3 ³ } т _0,1,2 {3 ³ } т _0,1,2,3 {3 ³ }
Типы клеток	Кубооктаэдр Усеченный октаэдр Усеченный тетраэдр Гексагональная призма Треугольная призма
Фигура вершины	наклонная прямоугольная дуопирамида
Симметрия	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ × 2, {3 ^[5] }
Характеристики	вершинно-транзитивный

Bitruncated 4-симплекс соты или bitruncated 5-элементные соты представляют собой пространство заполнения тесселяции сот . Его также можно назвать циклоруксусно-усеченными 5-ячеечными сотами .

Альтернативные имена

Большой циклопризматический пентахорический тетракомб
Большой призматодиспентахорический тетракомб

Усеченные 5-ячеечные соты

Омнитусеченные 4-симплексные соты
(Нет изображения)
Тип	Равномерные 4-соты
Семья	Усеченные простые соты
Символ Шлефли	t _0,1,2,3,4 {3 ^[5] } или tr {3 ^[5] }
Диаграмма Кокстера
4-гранные типы	т _0,1,2,3 {3,3,3}
Типы клеток	т _0,1,2 {3,3} {6} x {}
Типы лица	{4} {6}
Фигура вершины	Irr. 5-элементный
Симметрия	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ × 10, [5 [3 ^[5] }
Характеристики	вершинно-транзитивный , клеточно-транзитивный

Полностью усеченные 4-симплексные соты или полностью усеченные 5-ячеечные соты представляют собой тесселяционные соты, заполняющие пространство . Его также можно рассматривать как усеченный циклостерин-усеченными 5-ячеечными сотами . .

Он полностью состоит из усеченных 5- ячеечных (полностью усеченных 4-симплексных) фасетов.

Кокстер назвал эти соты Хинтона в честь Ч. Хинтона , который описал их в своей книге «Четвертое измерение» в 1906 году.

Грани всех усеченных простых сот называются пермутоэдрами и могут быть расположены в n + 1 пространстве с целыми координатами, перестановками целых чисел (0,1, .., n).

Альтернативные имена

Омнитусеченный циклопентахорический тетракомб
Большой призматодекахорический тетракомб

₄^* решетка

А^*
₄решетка является объединением пяти решеток A ₄ и является двойственной к усеченной 5-элементной соте, и поэтому ячейка Вороного этой решетки является полностью усеченной 5-ячейкой .

∪

= двойной

Альтернативная форма

Это соты можно чередовать , создавая omnisnub 5-клеток с нерегулярными 5-клеток , созданных на удаленных вершин. Хотя это не однородно, 5-ячеек имеет симметрию порядка 10.

Смотрите также

Регулярные и однородные соты в 4-м пространстве:

Примечания

использованная литература

Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Однородные заполнители пространств)
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Георгий Ольшевский, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов) Модель 134
Клитцинг, Ричард. «4D евклидова мозаика» ., x3o3o3o3o3 * a - cypit - O134, x3x3x3x3x3 * a - отцыпит - 135, x3x3x3o3o3 * a - gocyropit - O137, x3x3o3x3o3 * a - cypropit - O138, x3x3x3x3o3 * a - gocy9x3x3 - O13cypapit - 140x3
Аффинная группа Кокстера Wa (A4), кватернионы и декагональные квазикристаллы, Мехмет Коджа, Назифе О. Коджа, Рамазан Кодж (2013) arXiv : 1209.1878

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ / / ${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E ²	Равномерная черепица	{3 ^[3] }	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	Шестиугольный
E ³	Равномерно выпуклые соты	{3 ^[4] }	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E ⁴	Равномерные 4-соты	{3 ^[5] }	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеечные соты
E ⁵	Равномерные 5-соты	{3 ^[6] }	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	Равномерные 6-соты	{3 ^[7] }	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	Равномерные 7-соты	{3 ^[8] }	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	Равномерное 8-соты	{3 ^[9] }	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	Равномерные 9-соты	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	Равномерные 10-соты	{3 ^[11] }	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n -1}	Uniform ( n -1) - соты	{3 ^[n] }	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _к2 • 2 _к1 • к ₂₁

Languages

In other projects

5-ячеечные соты - 5-cell honeycomb

СОДЕРЖАНИЕ

Состав

Альтернативные имена

Проекция складыванием

Решетка А4