Многообразие Калаби – Яу - Calabi–Yau manifold

Двумерный слой шестимерного квинтического многообразия Калаби – Яу.

В алгебраической геометрии , A Калаби-Яу , также известный как пространство Калаби-Яу , является конкретным типом коллектора , который имеет свойство, такие как Риччи плоскостность , получая приложения в теоретической физике . В частности, в теории суперструн , дополнительные измерения пространства-времени иногда предполагают, что они принимают форму 6-мерного многообразия Калаби – Яу, что привело к идее зеркальной симметрии . Их название было придумано Канделасом и др. (1985) после Эухенио Калаби  ( 1954 , 1957 ), который первым предположил, что такие поверхности могут существовать, и Шинг-Тунг Яу  ( 1978 ), который доказал гипотезу Калаби .

Многообразия Калаби – Яу - это комплексные многообразия , являющиеся обобщениями K3-поверхностей в любом количестве комплексных измерений (т.е. в любом четном числе реальных размерностей ). Первоначально они были определены как компактные кэлеровы многообразия с исчезающим первым классом Черна и Риччи-плоской метрикой, хотя иногда используются многие другие подобные, но неэквивалентные определения.

Определения

Мотивационное определение, данное Шинг-Тунг Яу, представляет собой компактное кэлерово многообразие с нулевым первым классом Черна, которое также является плоским Риччи .

Есть много других определений многообразия Калаби – Яу, используемых разными авторами, некоторые из которых неэквивалентны. В этом разделе приведены некоторые из наиболее общих определений и взаимосвязи между ними.

N -многообразие Калаби – Яу или многообразие Калаби – Яу (комплексной) размерности n иногда определяют как компактное n -мерное кэлерово многообразие M, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий:

Из этих условий следует, что первый интегральный класс Черна группы M равен нулю. Тем не менее обратное неверно. Простейшими примерами, когда это происходит, являются гиперэллиптические поверхности , конечные факторы комплексного тора комплексной размерности 2, которые имеют нулевой первый интегральный класс Черна, но нетривиальное каноническое расслоение.

Для компактного n- мерного кэлерова многообразия M следующие условия эквивалентны друг другу, но они слабее, чем условия, приведенные выше, хотя они иногда используются как определение многообразия Калаби – Яу:

  • M имеет исчезающий первый настоящий класс Черна.
  • M имеет кэлерову метрику с нулевой кривизной Риччи.
  • M имеет кэлерову метрику с локальной голономией, содержащейся в SU ( n ) .
  • Положительная сила канонического расслоения на М тривиально.
  • M имеет конечное покрытие, имеющее тривиальное каноническое расслоение.
  • M имеет конечное покрытие, являющееся произведением тора и односвязного многообразия с тривиальным каноническим расслоением.

Если компактное кэлерово многообразие односвязно, то приведенное выше слабое определение эквивалентно более сильному. Поверхности Энриквеса являются примерами комплексных многообразий с плоскими по Риччи метриками, но их канонические расслоения нетривиальны, поэтому они являются многообразиями Калаби – Яу согласно второму, но не первому определению выше. С другой стороны, их двойные накрытия являются многообразиями Калаби – Яу для обоих определений (фактически, K3-поверхности).

Безусловно, самая сложная часть доказательства эквивалентности между различными свойствами, указанными выше, - это доказать существование плоских по Риччи метрик. Это следует из доказательства Яу гипотезы Калаби , из которого следует, что компактное кэлерово многообразие с нулевым первым вещественным классом Черна имеет кэлерову метрику того же класса с исчезающей кривизной Риччи. (Класс кэлеровой метрики - это класс когомологий ассоциированной с ней 2-формы.) Калаби показал, что такая метрика единственна.

Иногда используется множество других неэквивалентных определений многообразий Калаби – Яу, которые различаются (среди прочего) следующими способами:

  • Первый класс Черна может исчезнуть как интегральный класс или как реальный класс.
  • В большинстве определений утверждается, что многообразия Калаби – Яу компактны, но некоторые допускают их некомпактность. При обобщении на некомпактные многообразия разность должна асимптотически обращаться в нуль. Вот кэлерова форма, связанная с кэлеровой метрикой ( Gang Tian ; Shing-Tung Yau 1990 , 1991 ).  
  • Некоторые определения накладывают ограничения на фундаментальную группу многообразия Калаби – Яу, например, требуют, чтобы она была конечной или тривиальной. Любое многообразие Калаби – Яу имеет конечное покрытие, являющееся произведением тора и односвязного многообразия Калаби – Яу.
  • Некоторые определения требуют, чтобы голономия была точно равна SU ( n ), а не ее подгруппе, из чего следует, что числа Ходжа обращаются в нуль для . Абелевы поверхности имеют плоскую метрику Риччи с голономией, строго меньшей, чем SU (2) (фактически тривиальной), поэтому не являются многообразиями Калаби – Яу согласно таким определениям.
  • Большинство определений предполагают, что многообразие Калаби – Яу имеет риманову метрику, но некоторые трактуют их как комплексные многообразия без метрики.
  • Большинство определений предполагают, что многообразие неособое, но некоторые допускают небольшие особенности. Хотя класс Черна не может быть четко определен для сингулярных многообразий Калаби – Яу, каноническое расслоение и канонический класс все же могут быть определены, если все особенности горенштейновы , и поэтому могут быть использованы для расширения определения гладкого многообразия Калаби – Яу на возможно особое многообразие Калаби – Яу.

Примеры

Наиболее важным фундаментальным фактом является то, что любое гладкое алгебраическое многообразие, вложенное в проективное пространство, является кэлеровым многообразием, потому что на проективном пространстве существует естественная метрика Фубини – Штуди, которую можно ограничить алгебраическим многообразием. По определению, если ω - кэлерова метрика на алгебраическом многообразии X и каноническое расслоение K X тривиально, то X есть Калаби – Яу. Более того, существует единственная кэлерова метрика ω на X такая, что [ ω 0 ] = [ ω ] ∈  H 2 ( X , R ), факт, который был высказан Эудженио Калаби и доказан Шинг-Тунг Яу (см. Гипотезу Калаби ).

Алгебраические кривые Калаби-Яу

В одном комплексном измерении единственными компактными примерами являются торы , которые образуют однопараметрическое семейство. Риччи-плоская метрика на торе на самом деле является плоской метрикой , так что голономия - это тривиальная группа SU (1). Одномерное многообразие Калаби – Яу - это комплексная эллиптическая кривая , в частности алгебраическая .

CY алгебраические поверхности

В двух комплексных измерениях поверхности K3 представляют собой единственные компактные односвязные многообразия Калаби – Яу. Они могут быть построены как поверхности четвертой степени в , например комплексное алгебраическое многообразие, определяемое множеством исчезающих пространств.

за

Другие примеры могут быть построены как эллиптические расслоения pg 4 , как частные абелевых поверхностей pg 4 или как полные пересечения .

Неодносвязные примеры даются абелевыми поверхностями , которые представляют собой четыре вещественных тора со сложной структурой многообразия. Поверхности Энриквеса и гиперэллиптические поверхности имеют первый класс Черна, который исчезает как элемент действительной группы когомологий, но не как элемент целочисленной группы когомологий, поэтому теорема Яу о существовании Риччи-плоской метрики все еще применима к ним, но они иногда не считаются многообразиями Калаби – Яу. Абелевы поверхности иногда исключаются из классификации Калаби – Яу, поскольку их голономия (снова тривиальная группа) является собственной подгруппой SU (2), а не изоморфной SU (2). Однако подмножество поверхностей Энриквеса не полностью соответствует подгруппе SU (2) в ландшафте теории струн .

Тройное многообразие CY

В трех комплексных измерениях классификация возможных многообразий Калаби – Яу является открытой проблемой, хотя Яу подозревает, что существует конечное число семейств (хотя и намного большее, чем его оценка 20 лет назад). В свою очередь, Майлз Рейд высказал предположение, что число топологических типов трехмерных многообразий Калаби – Яу бесконечно и что все они могут непрерывно преобразовываться (с помощью некоторых мягких сингуляризаций, таких как конифолды ) друг в друга - во многом как Римановы поверхности могут. Одним из примеров трехмерного многообразия Калаби – Яу является неособое квинтическое многообразие в CP 4 , которое является алгебраическим многообразием, состоящим из всех нулей однородного пятого многочлена в однородных координатах CP 4 . Другой пример - гладкая модель квинтики Барта – Ньето . Некоторые дискретные отношения квинтики по различным действиям Z 5 также относятся к категории Калаби – Яу и получили много внимания в литературе. Один из них связан с оригинальной квинтикой зеркальной симметрией .

Для каждого натурального числа п , с множеством нулей , в однородных координатах комплексного проективного пространства СР п +1 , из невырожденной однородной степени п  + 2 полинома в п  + 2 переменных представляет собой компактный Калаби-Яу п - кратная. Случай n  = 1 описывает эллиптическую кривую, а при n  = 2 получается поверхность K3.

В более общем смысле, многообразия / орбифолды Калаби – Яу могут быть найдены как взвешенные полные пересечения в взвешенном проективном пространстве . Основным инструментом для поиска таких пространств является формула присоединения .

Все гипер-кэлеровые многообразия являются многообразиями Калаби – Яу.

Приложения в теории суперструн

Многообразия Калаби – Яу важны в теории суперструн . По сути, многообразия Калаби – Яу - это формы, которые удовлетворяют требованиям пространства для шести «невидимых» пространственных измерений теории струн, которые могут быть меньше наших наблюдаемых в настоящее время длин, поскольку они еще не обнаружены. Популярная альтернатива, известная как большие дополнительные измерения , которая часто встречается в моделях мира бран , состоит в том, что Калаби-Яу является большим, но мы ограничены небольшим подмножеством, на котором оно пересекает D-брану . Дальнейшие расширения в более высокие измерения в настоящее время исследуются с дополнительными разветвлениями для общей теории относительности .

В самых обычных моделях суперструн предполагается, что десять гипотетических измерений в теории струн появятся, поскольку четыре из которых мы знаем, несущие какое-то расслоение с размерностью волокна шесть. Компактификация на n -мерных многообразиях Калаби – Яу важна, поскольку они не нарушают некоторую часть исходной суперсимметрии . Точнее, в отсутствие потоков компактификация на трехмерном пространстве Калаби – Яу (действительная размерность 6) оставляет четверть исходной суперсимметрии не нарушенной, если голономия является полной SU (3).

В более общем смысле, беспотоковая компактификация на n -многообразии с голономией SU ( n ) оставляет 2 1− n исходной суперсимметрии ненарушенной, что соответствует 2 6− n суперзарядам в компактификации супергравитации типа II или 2 5− n суперзарядам. в компактификации типа I. Когда включаются потоки, условие суперсимметрии вместо этого означает, что многообразие компактификации является обобщенным Калаби – Яу , понятие, введенное Хитчином (2003) . Эти модели известны как компактификации потока .

Компактификации F-теории на различных четырехмерных многообразиях Калаби – Яу предоставляют физикам метод нахождения большого количества классических решений в так называемой теории струн .

С каждой дырой в пространстве Калаби-Яу связана группа низкоэнергетических моделей колебаний струн. Поскольку теория струн утверждает, что наши знакомые элементарные частицы соответствуют низкоэнергетическим колебаниям струны, наличие множества отверстий приводит к тому, что струны распадаются на несколько групп или семейств . Хотя следующее утверждение было упрощено, оно передает логику аргументации: если Калаби – Яу имеет три отверстия, то три семейства паттернов колебаний и, следовательно, три семейства частиц будут наблюдаться экспериментально.

По логике вещей, поскольку струны колеблются во всех измерениях, форма свернутых струн будет влиять на их колебания и, следовательно, на свойства наблюдаемых элементарных частиц. Например, Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен показали, что массы частиц зависят от способа пересечения различных отверстий в Калаби-Яу. Другими словами, Строминджер и Виттен обнаружили, что положение дырок относительно друг друга и по отношению к веществу пространства Калаби-Яу определенным образом влияет на массы частиц. Это верно для всех свойств частиц.

Смотрите также

Рекомендации

Цитаты

  1. Яу и Надис (2010)
  2. ^ Пропп, Орон Ю. (2019-05-22). «Построение явных К3-спектров». arXiv : 1810.08953 [ math.AT ].
  3. ^ Шимик, Маркус (12 февраля 2020). «К3 спектры». Бык. Лондон. Математика. Soc . 42 : 137–148. arXiv : 2002.04879 . DOI : 10.1112 / БЛМ / bdp106 . S2CID   1070427 .
  4. ^ Рид, Майлз (1987). «Пространство модулей трехмерных многообразий с K  = 0, тем не менее, может быть неприводимым». Mathematische Annalen . 278 (1–4): 329–334. DOI : 10.1007 / bf01458074 . S2CID   120390363 .
  5. ^ "Форма свернувшихся размеров" . Архивировано из оригинального 13 сентября 2006 года.

Статьи для начинающих

Библиография

внешние ссылки