Группа вращения 3D - 3D rotation group

В механике и геометрии , то группа вращений 3D , часто обозначается SO (3) , является группой всех вращений относительно происхождения в трехмерном евклидовом пространстве при операции композиции . По определению, вращение вокруг начала координат является преобразованием , которое сохраняет происхождение, евклидово расстояния (так что это изометрия ) и ориентацию (т.е. рукостьпространства). Каждое нетривиальное вращение определяется его осью вращения (линия, проходящая через начало координат) и углом поворота. Составление двух вращений приводит к другому вращению; каждое вращение имеет уникальное обратное вращение; и тождественное отображение удовлетворяет определению вращения. Благодаря указанным выше свойствам (по ассоциативному свойству составных поворотов ) множество всех поворотов является составной группой . Вращения не коммутативны (например, поворот R на 90 ° в плоскости xy, за которым следует S 90 ° в плоскости yz, не то же самое, что S, за которым следует R ), что делает его неабелевой группой. Более того, группа вращений имеет естественную структуру как многообразие, для которого групповые операции гладко дифференцируемы ; так что это фактически группа Ли . Он компактен и имеет размер 3.

Повороты являются линейными преобразованиями из и , следовательно , могут быть представлены матрицами раз в основе из была выбрана. В частности, если мы выберем ортонормированный базис из , каждое вращение описывается ортогональной 3 × 3 матрицы (т.е. матрица 3 × 3 с вещественными элементами , которые при умножении на ее транспонированном , приводит к единичной матрице ) с определителем 1. Таким образом, группа SO (3) может быть отождествлена ​​с группой этих матриц при матричном умножении . Эти матрицы известны как «специальные ортогональные матрицы», что объясняет обозначение SO (3).

Группа SO (3) используется для описания возможных вращательных симметрий объекта, а также возможных ориентаций объекта в пространстве. Его представления важны в физике, где они дают начало элементарным частицам целочисленного спина .

Длина и угол

Помимо сохранения длины, вращения также сохраняют углы между векторами. Это следует из того факта, что стандартное скалярное произведение между двумя векторами u и v можно записать исключительно в терминах длины:

Отсюда следует, что каждое сохраняющее длину линейное преобразование в сохраняет скалярное произведение и, следовательно, угол между векторами. Вращения часто определяются как линейные преобразования, которые сохраняют внутренний продукт , что эквивалентно требованию, чтобы они сохраняли длину. См. Классическую группу для рассмотрения этого более общего подхода, где SO (3) выступает как частный случай.

Ортогональные матрицы и матрицы вращения

Каждый поворот сопоставляет ортогональный базис из другого ортонормированному. Как и любое линейное преобразование конечномерных векторных пространств, вращение всегда может быть представлено матрицей . Пусть R - данное вращение. Что касается стандартного базиса е 1 , е 2 , е 3 из столбцов R задаются ( Р е 1 , R е 2 , R е 3 ) . Поскольку стандартный базис ортонормирован, и поскольку R сохраняет углы и длину, столбцы R образуют другой ортонормированный базис. Это условие ортонормированности можно выразить в виде

где R Т обозначает транспонирование из R и I является 3 × 3 единичной матрицей . Матрицы, для которых выполняется это свойство, называются ортогональными матрицами . Группа всех ортогональных матриц 3 × 3 обозначается O (3) и состоит из всех собственных и несобственных поворотов.

Помимо сохранения длины, правильное вращение также должно сохранять ориентацию. Матрица сохранит или изменит ориентацию в зависимости от того, положительный или отрицательный определитель матрицы. Обратите внимание, что для ортогональной матрицы R из det R T = det R следует (det R ) 2 = 1 , так что det R = ± 1 . Подгруппа ортогональных матриц с определителем +1 называется специальной ортогональной группа , обозначенная SO (3) .

Таким образом, каждое вращение может быть однозначно представлено ортогональной матрицей с единичным определителем. Более того, поскольку композиция поворотов соответствует умножению матриц , группа вращений изоморфна специальной ортогональной группе SO (3) .

Неправильные вращения соответствуют ортогональным матрицам с определителем −1 , и они не образуют группу, потому что произведение двух неправильных вращений является собственным вращением.

Структура группы

Группа вращений является группой под композицией функций (или , что эквивалентно произведение линейных преобразований ). Это является подгруппой из общей линейной группы , состоящая из всех обратимых линейных преобразований реального 3-пространства .

Кроме того, группа вращений неабелева . То есть порядок, в котором составляются вращения, имеет значение. Например, поворот на четверть вокруг положительной оси x, за которым следует четверть оборота вокруг положительной оси y , отличается от поворота, полученного при первом повороте вокруг оси y, а затем вокруг оси x .

Ортогональная группа, состоящая из всех собственных и несобственных вращений, порождается отражениями. Каждое собственное вращение - это композиция двух отражений, частный случай теоремы Картана – Дьедонне .

Ось вращения

Каждое нетривиальное собственное вращение в 3 -х измерениях фиксирует уникальное 1-мерное линейное подпространство в которое называется ось вращения (это теорема вращения Эйлера ). Каждое такое вращение действует как обычное двумерное вращение в плоскости, ортогональной этой оси. Поскольку каждое двумерное вращение может быть представлено углом φ , произвольное трехмерное вращение может быть задано осью вращения вместе с углом вращения вокруг этой оси. (Технически, необходимо указать ориентацию оси и будет ли вращаться по часовой стрелке или против часовой стрелки относительно этой ориентации).

Например, вращение против часовой стрелки вокруг положительной оси z на угол φ определяется выражением

Учитывая единичный вектор n in и угол φ , пусть R ( φ ,  n ) представляет вращение против часовой стрелки вокруг оси через n (с ориентацией, определяемой n ). потом

  • R (0, n ) - тождественное преобразование для любого n
  • R ( φ , n ) = R (- φ , - n )
  • R ( π  +  φ , n ) = R ( π  -  φ , - n ).

Используя эти свойства, можно показать, что любое вращение может быть представлено уникальным углом φ в диапазоне 0 ≤ φ ≤ π и единичным вектором n таким, что

  • n произвольно, если φ = 0
  • n уникально, если 0 < φ < π
  • n единственно с точностью до знака, если φ = π (т. е. вращения R ( π , ± n ) идентичны).

В следующем разделе это представление вращений используется для топологической идентификации SO (3) с трехмерным реальным проективным пространством.

Топология

Группа Ли SO (3) является диффеоморфен к реальному проективного пространства

Рассмотрим твердый шар радиуса π (то есть все точки на расстоянии π или меньше от начала координат). Учитывая вышеизложенное, для каждой точки в этом шаре существует вращение с осью, проходящей через точку и начало координат, а угол поворота равен расстоянию точки от начала координат. Вращение идентичности соответствует точке в центре мяча. Поворот на углы между 0 и - π соответствует точке на той же оси и расстоянию от начала координат, но на противоположной стороне от начала координат. Единственная оставшаяся проблема заключается в том, что два поворота на π и через - π одинаковы. Таким образом, мы идентифицируем (или «склеиваем») противоположные точки на поверхности шара. После этого отождествления мы приходим к топологическому пространству, гомеоморфному группе вращений.

Действительно, шар с отождествленными точками антиподальной поверхности является гладким многообразием , и это многообразие диффеоморфно группе вращений. Оно также диффеоморфно реальному трехмерному проективному пространству, поэтому последнее также может служить топологической моделью для группы вращений.

Эти отождествления показывают, что SO (3) связан, но не односвязен . Что касается последнего, то в шаре с идентифицированными точками противоположной поверхности рассмотрим путь, идущий от «северного полюса» прямо через внутреннюю часть к южному полюсу. Это замкнутая петля, поскольку идентифицируются северный полюс и южный полюс. Этот цикл не может быть сокращен до точки, поскольку независимо от того, как вы деформируете цикл, начальная и конечная точки должны оставаться противоположными, иначе цикл «разомкнется». С точки зрения поворотов, этот цикл представляет собой непрерывную последовательность поворотов вокруг оси z, начиная (например) с точки идентичности (центр шара), через южный полюс, переходя на северный полюс и снова заканчивая единичным вращением (т. Е. Серия поворота на угол φ, где φ пробегает от 0 до 2 π ).

Удивительно, но если вы пробежите по тропе дважды, то есть пробежите от северного полюса вниз к южному полюсу, перепрыгните обратно на северный полюс (используя тот факт, что северный и южный полюса идентифицированы), а затем снова пробежите от северного полюса вниз на юг. полюс, так что φ изменяется от 0 до 4 π , вы получаете замкнутый контур, который можно сжать до одной точки: сначала непрерывно перемещайте пути к поверхности шара, по-прежнему соединяя северный полюс с южным полюсом дважды. Затем второй путь можно отразить на противоположной стороне без изменения пути вообще. Теперь у нас есть обычная замкнутая петля на поверхности шара, соединяющая северный полюс с самим собой по большому кругу. Этот круг без проблем можно сжать до северного полюса. Пластина трюк и подобные трюки демонстрируют это на практике.

То же самое рассуждение можно провести в общем случае, и оно показывает, что фундаментальная группа SO (3) является циклической группой порядка 2 (фундаментальная группа с двумя элементами). В физических приложениях нетривиальность (более одного элемента) фундаментальной группы допускает существование объектов, известных как спиноры , и является важным инструментом в развитии теоремы спиновой статистики .

Универсальная крышка из SO (3) является группой Ли называется Spin (3) . Группа Spin (3) изоморфна специальной унитарной группе SU (2); это также диффеоморфен блок 3-сфера S 3 и может быть понято как группа versors ( кватернионы с абсолютным значением 1). Связь между кватернионами и поворотами, обычно используемая в компьютерной графике , объясняется в кватернионах и пространственных поворотах . Отображение S 3 на SO (3), которое идентифицирует антиподальные точки S 3, является сюръективным гомоморфизмом групп Ли с ядром {± 1}. Топологически эта карта является покрывающей картой два к одному . (См. Трюк с тарелкой .)

Связь между SO (3) и SU (2)

В этом разделе мы даем две различные конструкции взаимно однозначного и сюръективного гомоморфизма SU (2) на SO (3).

Использование кватернионов единичной нормы

Группа SU (2) является изоморфной к кватернионам единичной нормы с помощью карты заданной

ограничивается , где и , .

Давайте теперь отождествим себя с объемом . Затем можно проверить, что если находится в единичном кватернионе и является единичным кватернионом, то

Кроме того, карта является вращением Более того, такая же, как . Это означает, что существует гомоморфизм 2: 1 от кватернионов единичной нормы к трехмерной группе вращений SO (3) .

Этот гомоморфизм можно проработать явно: единичный кватернион q с

отображается в матрицу вращения

Это поворот вокруг вектора ( x , y , z ) на угол 2 θ , где cos θ = w и | sin θ | = || ( x , y , z ) || . Правильный знак для sin θ подразумевается, когда фиксируются знаки компонент оси. 2: 1 -Природа очевидна , так как д и - д карты к тому же Q .

Использование преобразований Мёбиуса

Стереографическая проекция из сферы радиуса 1/2от северного полюса ( x , y , z ) = (0, 0,1/2) на плоскость M, заданную равенством z = -1/2координировано ( ξ , η ) , здесь показано в поперечном сечении.

Общая ссылка на этот раздел - Гельфанд, Минлос и Шапиро (1963) . Точки P на сфере

можно, за исключением северного полюса N , поставить во взаимно однозначную биекцию с точками S ( P ) = P ´ на плоскости M, определяемой равенством z = -1/2см. рисунок. Карта S называется стереографической проекцией .

Пусть координаты на М будет ( ξ , η ) . Линия L, проходящая через N и P, может быть параметризована как

Требуя , что г -координаты на равных -1/2, можно найти

Мы имеем Следовательно, отображение

где для дальнейшего удобства плоскость M отождествляется с комплексной плоскостью

Для обратного запишите L как

и спросите x 2 + y 2 + z 2 =1/4найти s =1/1 + ξ 2 + η 2 и поэтому

Если g ∈ SO (3) - вращение, то он переводит точки на S в точки на S своим стандартным действием Π s ( g ) на пространстве вложения.Составив это действие с S, получаем преобразование S ∘ Π s ( ж ) ∘ S −1 из M ,

Таким образом, Π u ( g ) является преобразованием, связанным с преобразованием Π s ( g ) из .

Оказывается, g ∈ SO (3), представленный таким образом как Π u ( g ), может быть выражен как матрица Π u ( g ) ∈ SU (2) (где обозначения используются повторно, чтобы использовать то же имя для матрицы как по трансформации он представляет). Чтобы идентифицировать эту матрицу, рассмотрим сначала поворот g φ вокруг оси z на угол φ ,

Следовательно

что неудивительно, является вращением в комплексной плоскости. Аналогичным образом, если g θ представляет собой поворот вокруг оси x на угол θ , то

который после небольшой алгебры становится

Эти два вращения, таким образом , соответствует билинейным преобразованиям из R 2CM , а именно, они являются примерами преобразований Мёбиуса .

Общее преобразование Мёбиуса дается формулой

Вращения, порождают все SO (3), и правила композиции преобразований Мёбиуса показывают, что любая композиция преобразований Мёбиуса переводится в соответствующую композицию преобразований Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса можно представить матрицами

так как общий множитель α , β , γ , δ сокращается.

По той же причине матрица не определена однозначно, поскольку умножение на - I не влияет ни на детерминант, ни на преобразование Мёбиуса. Закон композиции преобразований Мёбиуса следует закону композиции соответствующих матриц. Вывод состоит в том, что каждому преобразованию Мёбиуса соответствуют две матрицы g , - g ∈ SL (2, C ) .

Используя это соответствие, можно написать

Эти матрицы унитарны, поэтому Π u (SO (3)) ⊂ SU (2) ⊂ SL (2, C ) . В терминах углов Эйлера для общего вращения получается

 

 

 

 

( 1 )

надо

 

 

 

 

( 2 )

Обратно, рассмотрим общую матрицу

Сделайте замены

С помощью подстановки, Π ( г α , β ) принимает вид сбоку правой руки ( РИТ ) из ( 2 ), что соответствует под П ¯u к матрице на виде правой части ( 1 ) с одной и той же ф , θ , ψ . По комплексным параметрам α , β ,

Чтобы убедиться в этом, подставьте вместо α . β элементы матрицы в правой части ( 2 ). После некоторых манипуляций матрица принимает вид правой части ( 1 ).

Из явного вида в терминах углов Эйлера видно, что отображение

Только что описанный является гладким, 2: 1 и сюръективным гомоморфизмом групп . Это значит , явное описание универсальной накрывающей карты из SO (3) с универсальной накрывающей группы SU (2) .

Алгебра Ли

С каждой группой Ли связана ее алгебра Ли , линейное пространство той же размерности, что и группа Ли, замкнутое относительно билинейного знакопеременного произведения, называемого скобкой Ли . Алгебра Ли SO (3) обозначается и состоит из всех кососимметричных матриц 3 × 3 . В этом можно убедиться, дифференцируя условие ортогональности : A T A = I , A ∈ SO (3) . Скобка Ли из двух элементов , как и для алгебры Ли каждой группы матриц, задается коммутатором матриц , [ A 1 , A 2 ] = A 1 A 2 - A 2 A 1 , что снова является кососимметричным матрица. Скобка алгебры Ли отражает суть произведения группы Ли в смысле, уточненном формулой Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа .

Элементы являются «бесконечно малыми образующими» вращений, т. Е. Элементами касательного пространства многообразия SO (3) в единичном элементе. Если обозначает вращение против часовой стрелки на угол φ вокруг оси, заданной единичным вектором, то

Это может быть использовано, чтобы показать, что алгебра Ли (с коммутатором) изоморфна алгебре Ли (с перекрестным произведением ). При этом изоморфизме вектор Эйлера соответствует линейному отображению, определенному формулой

Более подробно, наиболее часто подходящей основой для как 3 - мерное векторное пространство

В коммутационные соотношения этих базисных элементов,

которые согласуются с отношениями трех стандартных единичных векторов в рамках перекрестного продукта.

Как было объявлено выше, можно отождествить любую матрицу в этой алгебре Ли с вектором Эйлера

Это отождествление иногда называют шляпной картой . В соответствии с этой идентификацией, что кронштейн соответствует в к поперечному продукта ,

Матрица, отождествленная с вектором, обладает тем свойством, что

где в левой части стоит обычное матричное умножение. Это означает, что он находится в нулевом пространстве кососимметричной матрицы, с которой он отождествлен, потому что

Замечание об алгебрах Ли

В представлениях алгебры Ли группа SO (3) компактна и проста ранга 1, поэтому она имеет единственный независимый элемент Казимира , квадратичную инвариантную функцию трех образующих, которая коммутирует со всеми ними. Форма Киллинга для группы вращений - это просто дельта Кронекера , и поэтому этот инвариант Казимира представляет собой просто сумму квадратов образующих алгебры

То есть инвариант Казимира имеет вид

Для унитарных неприводимых представлений D j собственные значения этого инварианта являются действительными и дискретными и характеризуют каждое конечномерное представление размерности . То есть собственные значения этого оператора Казимира равны

где является целым или полуцелым числом и называется спином или угловым моментом .

Таким образом, генераторы 3 × 3 L, показанные выше, действуют на представление триплета (спин 1), в то время как генераторы 2 × 2 ниже, t , действуют на представление дублета ( спин-1/2 ). Принимая продукты Кронекера из D 1/2 с самим собой многократно, можно построить все больше неприводимые представления D J . То есть, результирующие генераторы для систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях для произвольно большого j могут быть вычислены с использованием этих спиновых операторов и лестничных операторов .

Для любого унитарного неприводимого представления D j существует эквивалентное, D - j −1 . Все бесконечномерные неприводимые представления должны быть неунитарными, поскольку группа компактна.

В квантовой механике инвариантом Казимира является оператор «квадрата углового момента»; целые значения спина j характеризуют бозонные представления , а полуцелые значения - фермионные представления . В антиэрмитова матрицы , используемые выше , используются в качестве спиновых операторов , после того как они умножены на I , так что они теперь эрмитов (например , матриц Паули). Таким образом, на этом языке

и, следовательно

Явные выражения для этих D j :

где произвольно и

Например, результирующие матрицы спинов для спина 1 ( ) таковы:

Обратите внимание, однако, на то, что они находятся в эквивалентном, но другом базисе, сферическом базисе , чем приведенное выше в декартовом базисе.

Для вращения 3/2( ):

Для вращения 5/2( ):

Изоморфизм с (2)

Алгебры Ли и изоморфны. Одним из оснований для дается

Они связаны с матрицами Паули соотношением

Матрицы Паули подчиняются соглашению физиков для алгебр Ли. В этом соглашении элементы алгебры Ли умножаются на i , экспоненциальное отображение (ниже) определяется с дополнительным множителем i в показателе степени, а структурные константы остаются прежними, но их определение приобретает множитель i . Точно так же коммутационные отношения приобретают множитель i . Коммутационные соотношения для АРЯ

где ε ijk - полностью антисимметричный символ с ε 123 = 1 . Изоморфизм между и может быть установлен несколькими способами. Для дальнейшего удобства и идентифицируются путем сопоставления

и расширяясь за счет линейности.

Экспоненциальная карта

Экспоненциальное отображение для SO (3) , поскольку SO (3) является матричной группой Ли, определенной с использованием стандартного матричного ряда экспонент ,

Для любого кососимметрична матрицы A ∈ 𝖘𝖔 (3) , е всегда в SO (3) . Доказательство использует элементарные свойства матричной экспоненты

поскольку матрицы A и A T коммутируют, это легко доказать с помощью условия кососимметричной матрицы. Этого недостаточно, чтобы показать, что 𝖘𝖔 (3) является соответствующей алгеброй Ли для SO (3) , и ее нужно доказать отдельно.

Уровень сложности доказательства зависит от того, как определяется матричная групповая алгебра Ли. Холл (2003) определяет алгебру Ли как набор матриц

в этом случае это тривиально. Россманн (2002) использует для определения производные отрезков гладких кривых в SO (3) через тождество, взятое в тождестве, и в этом случае это сложнее.

При фиксированном A ≠ 0 , е Ta , -∞ < т <∞ является однопараметрическая подгруппа вдоль геодезической в SO (3) . То, что это дает однопараметрическую подгруппу, следует непосредственно из свойств экспоненциального отображения.

Экспоненциальное отображение обеспечивает диффеоморфизм между окрестностью начала координат в 𝖘𝖔 (3) и окрестностью единицы в SO (3) . Для доказательства см. Теорему о замкнутой подгруппе .

Экспоненциальное отображение сюръективно . Это следует из того факта, что каждое R ∈ SO (3) , поскольку каждое вращение оставляет ось неподвижной ( теорема Эйлера ), и сопряжено с блочно-диагональной матрицей вида

такое, что A = BDB −1 , и что

вместе с тем фактом , что 𝖘𝖔 (3) замкнуто относительно присоединенного действия из SO (3) , а это означает , что BθL г B -1 ∈ 𝖘𝖔 (3) .

Таким образом, например, легко проверить популярную идентичность

Как показано выше, каждому элементу A ∈ 𝖘𝖔 (3) соответствует вектор ω = θ u , где u = ( x , y , z ) - вектор единичной величины. Поскольку u находится в нулевом пространстве A , если теперь повернуть к новому базису через некоторую другую ортогональную матрицу O , с u в качестве оси z , последний столбец и строка матрицы поворота в новом базисе будут нулевыми.

Таким образом, мы заранее знаем из формулы для экспоненты, что exp ( OAO T ) должно оставить u фиксированным. Математически невозможно предоставить прямую формулу для такого базиса как функции от u , потому что его существование нарушило бы теорему о волосатом шарике ; но прямое возведение в степень возможно и дает

где и . Это распознается как матрица для вращения вокруг оси u на угол θ : ср. Формула вращения Родригеса .

Карта логарифмов

Для R ∈ SO (3) пусть обозначает антисимметричную часть и пусть тогда логарифм A имеет вид

Это проявляется при рассмотрении формы смешанной симметрии формулы Родригеса:

где первый и последний члены в правой части симметричны.

Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

Предположим, что X и Y в алгебре Ли заданы. Их экспоненты exp ( X ) и exp ( Y ) представляют собой матрицы вращения, которые можно умножать. Поскольку экспоненциальное отображение является сюръекцией, для некоторого Z в алгебре Ли exp ( Z ) = exp ( X ) exp ( Y ) , и можно предварительно записать

для C некоторое выражение в X и Y . Когда exp ( X ) и exp ( Y ) коммутируют, тогда Z = X + Y , имитируя поведение комплексного возведения в степень.

Общий случай дается более сложной формулой BCH , расширением ряда вложенных скобок Ли. Для матриц скобка Ли - это та же операция, что и коммутатор , который контролирует отсутствие коммутативности при умножении. Это общее расширение разворачивается следующим образом:

Бесконечное разложение в формуле БЧХ для SO (3) сводится к компактному виду:

для подходящих коэффициентов тригонометрической функции ( α , β , γ ) .

Тригонометрические коэффициенты

( Α , β , γ ) задаются

куда

для

Скалярное произведение - это скалярное произведение Гильберта – Шмидта, а норма - это связанная норма. Под шляпным изоморфизмом

что объясняет множители для θ и φ . Это выпадает в выражении для угла.

Этот составной генератор вращения целесообразно записать как

чтобы подчеркнуть, что это тождество алгебры Ли .

Выше тождество для всех точных представлений о 𝖘𝖔 (3) . Ядро алгебры Ли гомоморфизма является идеальным , но 𝖘𝖔 (3) , будучи простым , не имеет нетривиальных идеалов и все нетривиальные представления , следовательно , верны. В частности, это имеет место в дублетном или спинорном представлении. Таким образом, та же явная формула более простым способом следует через матрицы Паули, ср. вывод 2 × 2 для SU (2) .

Случай SU (2)

Векторный вариант Паули одного и того же ВСН формула является несколько более простой состав группы закон SU (2),

куда

сферическая закон косинусов . (Обратите внимание, что a ', b', c ' - это углы, а не a , b , c выше.)

Это явно тот же формат, что и выше,

с участием

так что

Для равномерной нормализации образующих в рассматриваемой алгебре Ли выразите матрицы Паули через t -матрицы, σ → 2 i t , так что

Чтобы убедиться, что это те же коэффициенты, что и выше, вычислите отношения коэффициентов,

Наконец, γ = γ ' с тождеством d = sin 2 c' .

Для общего случая n × n можно использовать Ref.

Случай кватерниона

Кватернионов формулировка композиции двух вращений R B и R A дает также непосредственно ось вращения и угол поворота составного R C = R B R A .

Пусть кватернион, связанный с пространственным вращением R, построен из его оси вращения S и угла поворота φ этой оси. Соответствующий кватернион определяется выражением

Тогда композиция вращения R R с R A - это вращение R C = R B R A с осью вращения и углом, определяемым произведением кватернионов

то есть

Разверните этот продукт, чтобы получить

Разделите обе части этого уравнения на единицу, которая является законом косинусов на сфере ,

и вычислить

Это формула Родригеса для оси составного вращения, определенной в терминах осей двух вращений. Он вывел эту формулу в 1840 году (см. Стр. 408).

Три оси вращения A , B и C образуют сферический треугольник, а двугранные углы между плоскостями, образованными сторонами этого треугольника, определяются углами поворота.

Бесконечно малые вращения

Матрицы алгебры Ли не являются вращениями; кососимметричные матрицы являются производными. Фактическое "дифференциальное вращение" или матрица бесконечно малого вращения имеет вид

где исчезающе мало и A ∈ 𝖘𝖔 (3) .

Эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные матрицы конечного вращения при обычном рассмотрении бесконечно малых. Чтобы понять, что это значит, рассмотрим

Во- первых, проверить условие ортогональности, Q T Q = I . Продукт

отличается от единичной матрицы бесконечно малыми величинами второго порядка, отброшенными здесь. Итак, в первом порядке бесконечно малая матрица вращения является ортогональной матрицей.

Затем исследуем квадрат матрицы,

Снова отбрасывая эффекты второго порядка, обратите внимание, что угол просто удваивается. Это намекает на самое существенное различие в поведении, которое мы можем продемонстрировать с помощью второго бесконечно малого вращения,

Сравните произведения dA x  dA y с dA y dA x ,

Поскольку это второй порядок, мы отбрасываем его: таким образом, до первого порядка умножение бесконечно малых матриц вращения коммутативно . По факту,

снова к первому порядку. Другими словами, порядок, в котором применяются бесконечно малые вращения, не имеет значения .

Этот полезный факт, например, делает относительно простым вывод о вращении твердого тела. Но всегда нужно быть осторожным, чтобы отличать (обработка первого порядка) эти бесконечно малые матрицы вращения как от матриц конечного вращения, так и от элементов алгебры Ли. При сопоставлении поведения матриц конечного вращения в приведенной выше формуле БЧХ с поведением матриц бесконечно малых вращений, где все члены коммутатора будут бесконечно малыми величинами второго порядка, можно найти истинное векторное пространство. Технически такой отказ от любых условий второго порядка приравнивается к сокращению Группы .

Реализации вращений

Мы видели, что существует множество способов представления поворотов:

Сферические гармоники

Группа трехмерных евклидовых вращений SO (3) имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве

где - сферические гармоники . Его элементы - квадратично интегрируемые комплекснозначные функции на сфере. Внутренний продукт на этом пространстве определяется выражением

 

 

 

 

( H1 )

Если F произвольная квадратная интегрируема функция , определенная на единичной сфере S 2 , то оно может быть выражено как

 

 

 

 

( H2 )

где коэффициенты разложения даются выражениями

 

 

 

 

( H3 )

Действие группы Лоренца ограничивается действием SO (3) и выражается как

 

 

 

 

( H4 )

Это действие является унитарным, что означает, что

 

 

 

 

( H5 )

D ( ) может быть получен из D ( т ,  п ) из выше , используя разложение Клебша-Гордана , но они более легко выражены как непосредственно экспоненты нечетномерной су (2) -представлении (3-мерное один в точности 𝖘𝖔 (3) ). В этом случае пространство L 2 ( S 2 ) разлагается аккуратно в бесконечную прямую сумму неприводимых нечетных конечномерных представлений V 2 я + 1 , я = 0, 1, ... в соответствии с

 

 

 

 

( H6 )

Это характерно для бесконечномерных унитарных представлений SO (3) . Если Π - бесконечномерное унитарное представление в сепарабельном гильбертовом пространстве, то оно распадается как прямая сумма конечномерных унитарных представлений. Таким образом, такое представление никогда не бывает неприводимым. Все неприводимые конечномерные представления (Π, V ) можно сделать унитарными путем соответствующего выбора скалярного произведения,

где интеграл представляет собой единственный инвариантный интеграл над SO (3), нормированный на 1 , здесь выраженный с использованием параметризации углов Эйлера . Скалярное произведение внутри интеграла любое скалярное произведение на V .

Обобщения

Группа вращений обобщающей вполне естественна п - мерное евклидово пространства , со стандартной евклидовой структурой. Группа всех собственных и несобственных вращений в n измерениях называется ортогональной группой O ( n ), а подгруппа собственных вращений называется специальной ортогональной группой SO ( n ), которая является группой Ли размерности n ( n - 1 ) / 2 .

В специальной теории относительности каждый работает в 4-мерном векторном пространстве, известном как пространство Минковского, а не в 3-мерном евклидовом пространстве. В отличие от евклидова пространства, пространство Минковского имеет внутренний продукт с неопределенной сигнатурой . Тем не менее, все еще можно определить обобщенные вращения, которые сохраняют этот внутренний продукт. Такие обобщенные вращения известны как преобразования Лоренца, а группа всех таких преобразований называется группой Лоренца .

Группа вращений SO (3) может быть описана в качестве подгруппы E + (3) , в евклидовом группе из прямых изометрии евклидова Эта большая группа представляет собой группу всех движений твердого тела : каждая из них представляет собой комбинацию вращение вокруг произвольной оси и перенос, или, иначе говоря, комбинация элемента SO (3) и произвольного переноса.

В общем, группа вращения объекта - это группа симметрии внутри группы прямых изометрий; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для киральных объектов это то же самое, что и полная группа симметрии.

Смотрите также

Сноски

использованная литература

Библиография

  • Боас, Мэри Л. (2006), Математические методы в физических науках (3-е изд.), John Wiley & sons, стр. 120, 127, 129, 155ff и 535, ISBN 978-0471198260
  • Кертрайт, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014), «Компактная формула для вращений как полиномов спиновой матрицы», SIGMA , 10 : 084, arXiv : 1402.3541 , Bibcode : 2014SIGMA..10..084C , doi : 10.3842 / SIGMA.2014.084 , S2CID  18776942
  • ЭНГО, Kenth (2001), "О BCH-формулы в 𝖘𝖔 (3)", БИТ вычислительной математики , 41 (3): 629-632, DOI : 10,1023 / A: 1021979515229 , ISSN  0006-3835 , S2CID  126053191 [1]
  • Гельфанд И.М .; Минлос, РА ; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения , Нью-Йорк: Pergamon Press
  • Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
  • Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 1 (2-е изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
  • Джоши, AW (2007), Элементы теории групп для физиков , New Age International, стр. 111ff, ISBN 978-81-224-0975-8
  • Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение в линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
  • ван дер Варден, Б. Л. (1952), Теория групп и квантовая механика , Издательство Springer, ISBN 978-3642658624(перевод оригинального издания 1932 года, Die Gruppentheoretische Methode in Der Quantenmechanik ).
  • Вельтман, М .; 'т Хоофт, Г .; де Вит, Б. (2007). «Группы Ли в физике (онлайн-лекция)» (PDF) . Проверено 24 октября 2016 ..