Групповое кольцо - Group ring

В алгебре , А групповое кольцо является свободным модулем , и в то же время кольца , построенное естественным образом из любого данного кольца и любой данной группы . Как свободный модуль, его кольцо скаляров - это данное кольцо, а его базис - это множество элементов данной группы. Как кольцо, его закон сложения - это закон свободного модуля, и его умножение расширяет «по линейности» данный групповой закон на основе. Менее формально групповое кольцо является обобщением данной группы путем присоединения к каждому элементу группы «весового коэффициента» из данного кольца.

Если кольцо коммутативно, то групповое кольцо также называется групповой алгеброй , поскольку оно действительно является алгеброй над данным кольцом. Групповая алгебра над полем имеет дополнительную структуру алгебры Хопфа ; в этом случае она называется групповой алгеброй Хопфа .

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп .

Определение

Пусть G - группа, записанная мультипликативно, и пусть R - кольцо. Групповое кольцо группы G над R , которое мы обозначим через R [ G ] (или просто RG ), - это множество отображений f  : GR с конечным носителем (f (g) ненулевое только для конечного числа элементов g) , где модульное скалярное произведение αf скаляра α в R и отображение f определяется как отображение , а сумма групп модулей двух отображений f и g определяется как отображение . Чтобы превратить аддитивную группу R [ G ] в кольцо, определим произведение f и g как отображение

Суммирование правомерно, потому что f и g имеют конечный носитель, а аксиомы кольца легко проверяются.

Используются некоторые вариации обозначений и терминологии. В частности, отображения, такие как f  : GR , иногда записываются как так называемые «формальные линейные комбинации элементов G с коэффициентами в R »:

или просто

где это не вызывает путаницы.

Следует отметить , что , если кольцо R является фактически полем К , то модуль структуры группового кольца RG в действительности векторное пространство над K .

Примеры

1. Пусть G = С 3 , то циклическая группа порядка 3, с генератором и единицей 1 G . Элемент r из C [ G ] можно записать как

где z 0 , z 1 и z 2 находятся в C , комплексных числах . Это то же самое, что и кольцо многочленов от переменной , т. Е. C [ G ] изоморфно кольцу C [ ] / .

Записывая другой элемент s как , их сумма равна

и их продукт

Обратите внимание, что единичный элемент 1 G группы G индуцирует каноническое вложение кольца коэффициентов (в данном случае C ) в C [ G ]; Однако , строго говоря , мультипликативный единичный элемент C [ G ] является 1⋅1 G , где первый 1 происходит от C , а второй из G . Аддитивный элемент идентичности равен нулю.

Когда G некоммутативная группа, нужно соблюдать осторожность, чтобы сохранить порядок элементов группы (и не случайно их коммутировать) при умножении членов.

2. Другой пример является то , что из многочленов Лорана над кольцом R : это не более или менее , чем группового кольца бесконечной циклической группы Z над R .

3. Пусть Q - группа кватернионов с элементами . Рассмотрим групповое кольцо R Q , где R - множество действительных чисел. Произвольный элемент этого группового кольца имеет вид

где действительное число.

Умножение, как и в любом другом групповом кольце, определяется на основе групповой операции. Например,

Обратите внимание , что R Q не является таким же , как косой область кватернионов над R . Это потому , что тело кватернионы удовлетворяют дополнительные соотношения в кольце, такие как , в то время как в групповом кольце R Q , не равно . Чтобы быть более конкретным, групповое кольцо R Q имеет размерность 8 как реальное векторное пространство , в то время как тело кватернионов имеет размерность 4 как реальное векторное пространство .

4. Другой пример неабелевого группового кольца - где - симметрическая группа из трех букв. Это не область целостности, поскольку у нас есть, где элемент является транспонированием - перестановкой, которая меняет местами только 1 и 2. Следовательно, групповое кольцо не обязательно должно быть областью целостности, даже если нижележащее кольцо является областью целостности.

Некоторые основные свойства

Используя 1 , чтобы обозначить мультипликативную идентичность кольца R , и обозначая блок группы 1 G , кольцо R [ G ] содержит подкольцо изоморфно R , и его группа обратимых элементов содержит подгруппу , изоморфную G . Для рассмотрения индикаторной функции {1 G }, которая представляет собой вектор f, определяемый формулой

множество всех скалярных кратных F является подкольцом R [ G ] изоморфна R . И если мы сопоставим каждый элемент s группы G с индикаторной функцией { s }, которая является вектором f, определенным формулой

полученное отображение является гомоморфизмом инъективных групп (относительно умножения, а не сложения в R [ G ]).

Если R и G являются коммутативное (т.е., R коммутативности и G является абелевой группой ), R [ G ] коммутативности.

Если H является подгруппой в G , то R [ H ] является подкольцом в R [ G ]. Аналогично, если S является подкольцом R , S [ G ] является подкольцом R [ G ].

Если G конечная группа порядка больше 1, то R [ G ] всегда имеет делители нуля . Например, рассмотрим элемент g группы G порядка | г | = m> 1. Тогда 1 - g - делитель нуля:

Например, рассмотрим групповое кольцо Z [ S 3 ] и элемент порядка 3 g = (123). В этом случае,

Связанный результат: Если групповое кольцо является простым , то G не имеет неединичную конечную нормальную подгруппы (в частности, G должен быть бесконечными).

Доказательство: с учетом контрапозитива , предположим, что это неединичная конечная нормальная подгруппа группы . Возьми . Поскольку для любого , мы знаем , следовательно . Взяв , у нас есть . По нормальности , коммутирует с основой , и , следовательно ,

.

И мы видим, что это не ноль, что показывает не простое число. Это показывает исходное заявление.

Групповая алгебра над конечной группой

Групповые алгебры возникают естественным образом в теории представлений групп из конечных групп . Групповая алгебра K [ G ] над полем K является, по сути, групповым кольцом, причем поле K занимает место кольца. В качестве набора и векторного пространства, то есть свободное векторное пространство на G над полем K . То есть для x в K [ G ],

Структура алгебры в векторном пространстве определяется с помощью умножения в группе:

где слева g и h обозначают элементы групповой алгебры, а умножение справа - это групповая операция (обозначается сопоставлением).

Так как выше умножение может сбивать с толка, можно также записать базисные векторы из K [ G ] в качестве й г (вместо г ), в этом случае умножение записываются в виде:

Интерпретация как функции

Если рассматривать свободное векторное пространство как K -значные функции на G , умножение алгебры - это свертка функций.

В то время как групповая алгебра конечной группы может быть отождествлена ​​с пространством функций на группе, для бесконечной группы они различны. Групповая алгебра, состоящая из конечных сумм, соответствует функциям на группе, которые обращаются в нуль для коконечно многих точек; топологически (с использованием дискретной топологии ) они соответствуют функциям с компактным носителем .

Однако групповая алгебра K [ G ] и пространство функций K G  : = Hom ( G , K ) двойственны: для данного элемента групповой алгебры

и функцию на группе f  : GK этой пары, чтобы дать элемент K через

что является вполне определенной суммой, поскольку она конечна.

Представления групповой алгебры

Принимая K [ G ] за абстрактную алгебру, можно запросить представления алгебры, действующей в K- векторном пространстве V размерности d . Такое представление

является алгеброй гомоморфизм из групповой алгебры к алгебре эндоморфизмов из V , которая изоморфна кольцу д × d матрицы: . Эквивалентно, это левый К [ G ] -модуль над абелевой группой V .

Соответственно, представление группы

представляет собой группу гомоморфизм из G в группу линейных автоморфизмов V , которая изоморфна общей линейной группе обратимых матриц: . Любое такое представление индуцирует представление алгебры

просто позволяя и расширяя линейно. Таким образом, представления группы в точности соответствуют представлениям алгебры, и эти две теории по существу эквивалентны.

Регулярное представительство

Групповая алгебра - это алгебра над собой; при соответствии представлений над модулями R и R [ G ] это регулярное представление группы.

Записанное как представление, это представление gρ g с действием, заданным формулой , или

Полупростая декомпозиция

Размерность векторного пространства K [ G ] просто равна количеству элементов в группе. Поле K обычно рассматривается как комплексные числа C или действительные числа R , так что мы обсуждаем групповые алгебры C [ G ] или R [ G ].

Групповая алгебра C [ G ] конечной группы над комплексными числами является полупростым кольцом . Этот результат, теорема Машки , позволяет нам понять , C [ G ] в качестве конечного продукта из матричных колец с элементами из C . В самом деле, если мы перечислим комплексные неприводимые представления группы G как V k для k = 1,. . . , m , они соответствуют гомоморфизмам групп и, следовательно, гомоморфизмам алгебр . Сборка этих отображений дает изоморфизм алгебр

где d k - размерность V k . Подалгебра в C [ G ], соответствующая End ( V k ), является двусторонним идеалом, порожденным идемпотентом

где это символ из V к . Они образуют полную систему ортогональных идемпотентов, так что , для J ≠ к и . Изоморфизм тесно связан с преобразованием Фурье на конечных группах .

Для более общего поля K, если характеристика поля K не делит порядок группы G , то K [ G ] полупросто. Когда G - конечная абелева группа , групповое кольцо K [G] коммутативно, и его структуру легко выразить через корни из единицы .

Когда K - поле характеристики p, которое делит порядок группы G , групповое кольцо не является полупростым: оно имеет ненулевой радикал Джекобсона , и это придает соответствующему предмету теории модульных представлений его собственный, более глубокий характер.

Центр групповой алгебры

Центр групповой алгебры является множество элементов, коммутирующих со всеми элементами групповой алгебры:

Центр равен набору функций класса , то есть набору элементов, постоянных на каждом классе сопряженности.

Если К = С , множество неприводимых характеров из G образует ортогональный базис Z ( K [ G ]) по отношению к внутреннему продукту

Групповые кольца над бесконечной группой

Гораздо меньше известно о случае, когда G счетно бесконечна или несчетна, и это область активных исследований. Случай, когда R - поле комплексных чисел, вероятно, изучен лучше всего. В этом случае Ирвинг Каплански доказал, что если a и b являются элементами C [ G ] с ab = 1 , то ba = 1 . Верно ли это, если R - поле положительной характеристики, остается неизвестным.

Давняя гипотеза Капланского (~ 1940) гласит, что если G - группа без кручения , а K - поле, то групповое кольцо K [ G ] не имеет нетривиальных делителей нуля . Эта гипотеза эквивалентна K [ G ] , не имеющие нетривиальных нильпотентов при тех же гипотез для K и G .

Фактически, условие, что K является полем, может быть ослаблено до любого кольца, которое может быть вложено в область целостности .

Гипотеза остается открытой в полной общности, однако было показано, что некоторые частные случаи групп без кручения удовлетворяют гипотезе о делителе нуля. Это включает:

Случай, когда G - топологическая группа , обсуждается более подробно в статье Групповая алгебра локально компактной группы .

Теория категорий

Примыкающий

Категорически конструкция группового кольца сопряжена слева с « группой единиц »; следующие функторы являются присоединенной парой :

где переводит группу в ее групповое кольцо над R и переводит R -алгебру в ее группу единиц.

Когда R = Z , это дает соединение между категорией групп и категорией колец , а единица присоединения переводит группу G в группу, содержащую тривиальные единицы: G × {± 1} = {± g }. В общем случае групповые кольца содержат нетривиальные единицы. Если G содержит такие элементы a и b , что и b не нормализует, то квадрат

равен нулю, следовательно . Элемент 1 + x - это единица бесконечного порядка.

Универсальная собственность

Приведенное выше присоединение выражает универсальное свойство групповых колец. Пусть R - (коммутативное) кольцо, пусть G - группа, и пусть S - R -алгебра. Для любого гомоморфизма групп существует единственный гомоморфизм R -алгебр такой, что где i - включение

Другими словами, является единственным гомоморфизмом, который коммутирует следующую диаграмму:

Групповое кольцо UMP.svg

Любое другое кольцо, удовлетворяющее этому свойству, канонически изоморфно групповому кольцу.

Алгебра Хопфа

Групповая алгебра K [ G ] имеет естественную структуру алгебры Хопфа . Коумножение определяется линейным расширением, а антипод снова линейно расширяется.

Обобщения

Групповая алгебра обобщается на кольцо моноидов и, следовательно, на алгебру категорий , другим примером которой является алгебра инцидентности .

Фильтрация

Если у группы есть функция длины - например, если есть выбор генераторов и берется слово «метрика» , как в группах Кокстера, то групповое кольцо становится фильтрованной алгеброй .

Смотрите также

Теория представлений

Теория категорий

Примечания

использованная литература