Категория абелевых групп - Category of abelian groups

В математике , то категория Ab имеет абелевые группы как объекты и гомоморфизмы как морфизмы . Это прототип абелевой категории : действительно, каждая малая абелева категория может быть вложена в Ab .

Характеристики

Нулевой объект из Ab является тривиальной группой {0} , которая состоит только из ее нейтрального элемента .

В мономорфизмах в Ab являются инъективными гомоморфизмами группы, то эпиморфизмы являются сюръективным гомоморфизмом группы, и изоморфизмы являются биективным гомоморфизмом группы.

Ab - полная подкатегория в Grp , категории всех групп . Основное различие между Ab и Grp состоит в том, что сумма двух гомоморфизмов f и g между абелевыми группами снова является гомоморфизмом групп:

( е + g ) ( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y )
       = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y )

Третье равенство требует, чтобы группа была абелевой. Это добавление морфизма превращает Ab в предаддитивную категорию , и поскольку прямая сумма конечного числа абелевых групп дает бипроизведение , у нас действительно есть аддитивная категория .

В Ab понятие ядра в смысле теории категорий совпадает с ядром в алгебраическом смысле , т. Е. Категорное ядро ​​морфизма f  : A → B - это подгруппа K группы A, определенная формулой K = { x ∈ A  : f ( x ) = 0}, вместе с включением гомоморфизм I  : K → A . То же верно и для коядров ; коядром F является фактор - группа С = В / е ( ) вместе с естественной проекцией р  : B → C . (Обратите внимание на еще одно важное различие между Ab и Grp : в Grp может случиться так, что f ( A ) не является нормальной подгруппой в B , и поэтому фактор-группа B / f ( A ) не может быть сформирована.) С этими конкретными описаниями ядер и коядров, достаточно легко проверить, что Ab действительно абелева категория .

Продукт в Ab дается произведением групп , образованного путем принятия декартово произведения лежащих в основе наборов и выполнения операция группы покомпонентны. Поскольку у Ab есть ядра, можно показать, что Ab - полная категория . Копроизведение в Ab задается прямой суммой; так как Ab имеет коядра, то Ab также коколоно .

У нас есть забывчивый функтор Ab → Set, который присваивает каждой абелевой группе базовое множество , а каждому гомоморфизму группы - базовую функцию . Этот функтор точен , поэтому Ab - конкретная категория . Функтор забывчивости имеет левое сопряженное соединение (которое ставит в соответствие данному множеству свободную абелеву группу с этим набором в качестве базиса), но не имеет правого сопряженного элемента.

Принимая прямые пределы в Ab является точным функтором . Поскольку группа целых чисел Z служит генератором , категория Ab , следовательно, является категорией Гротендика ; на самом деле это прототип категории Гротендика.

Объект Ab является инъективен тогда и только тогда , когда она является делимой группой ; она проективна тогда и только тогда, когда это свободная абелева группа . Категория имеет проективный генератор ( Z ) и инъективный когенератор ( Q / Z ).

Для двух абелевых групп A и B определено их тензорное произведение A ⊗ B ; это снова абелева группа. С этим понятием продукта Ab является замкнутой симметричной моноидальной категорией .

Ab не является топосом, поскольку, например, у него нулевой объект.

Смотрите также

использованная литература

  • Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556
  • Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN   0-387-98403-8 . Zbl   0906.18001 .
  • Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные разделы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN   0-521-83414-7 . Zbl   1034.18001 .