Подкатегория - Subcategory

Подкатегории в Википедии см. Википедия: Подкатегории .

В математике , в частности , теория категорий , А подкатегории из категории C является категория S , чьи объекты являются объекты в C и чьи морфизмы являются морфизмы в C с теми же идентичностями и композицией морфизмов. Интуитивно подкатегория C - это категория, полученная из C путем «удаления» некоторых ее объектов и стрелок.

Формальное определение

Пусть C - категория. Подкатегорию S из C задается

  • подколлекция объектов C , обозначаемая ob ( S ),
  • поднабор морфизмов C , обозначаемый hom ( S ).

такой, что

  • для любого X в ob ( S ) тождественный морфизм id X принадлежит hom ( S ),
  • для любого морфизма f  : X → Y в hom ( S ) как источник X, так и цель Y находятся в ob ( S ),
  • для любой пары морфизмов f и g в hom ( S ) композиция f o g находится в hom ( S ) всякий раз, когда она определена.

Эти условия обеспечивают S категория в своем собственном праве: его коллекция объектов Ob ( S ), его коллекция морфизмов Hom ( S ), и его идентичность и их состав , как и в C . Существует очевидный точный функтор I  : S → C , называемый функтором включения, который переводит объекты и морфизмы в себя.

Пусть S будет подкатегория категории C . Мы говорим , что S является полная подкатегория C , если для каждой пары объектов X и Y из S ,

Полная подкатегория является тот , который включает в себя все морфизмы в C между объектами S . Для любого набора объектов А в С , существует единственная полная подкатегория C , объектами которой являются те , в A .

Примеры

Вложения

Для подкатегории S в C функтор включения I  : S → C является одновременно точным и инъективным функтором на объектах. Он полон тогда и только тогда, когда S - полная подкатегория.

Некоторые авторы определяют вложение как полный и точный функтор . Такой функтор обязательно инъективен на объектах с точностью до изоморфизма . Например, вложение Йонеды в этом смысле является вложением.

Некоторые авторы определяют вложение как полный и точный функтор, который инъективен для объектов.

Другие авторы определяют функтор как вложение, если он точен и инъективен по отношению к объектам. Эквивалентно, F является вложением, если оно инъективно на морфизмах. Тогда функтор F называется полным вложением, если он является полным функтором и вложением.

С определениями предыдущего пункта, для любого (полный) вложения F  : B → C изображение из F является (полной) подкатегорией S из C и F индуцирует изоморфизм категорий между B и S . Если F не однозначен на объектах , то образ F является эквивалентом для B .

В некоторых категориях можно также говорить о морфизмах категории как о вложениях .

Типы подкатегорий

Подкатегория S из C называется изоморфизмом-замкнутым или изобилует , если каждый изоморфизм к  : X → Y в C таким образом, что Y в S также принадлежит S . Полная изоморфизм-замкнутая подкатегория называется строго полной .

Подкатегория C является широкой или lluf (термин , впервые поставленным Питер Freyd ) , если она содержит все объекты С . Широкая подкатегория обычно не является полной: единственной широкой полной подкатегорией категории является сама эта категория.

Подкатегория Серра является непустым полная подкатегория S из абелевой категории С , что для всех коротких точных последовательностей

в C , M принадлежит S тогда и только тогда, когда оба и do. Это понятие происходит из C-теории Серра .

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Яап ван Остен. «Основы теории категорий» (PDF) .
  2. ^ Фрейд, Питер (1991). «Алгебраически полные категории». Труды Международной конференции по теории категорий, Комо, Италия (CT 1990) . Конспект лекций по математике. 1488 . Springer. С. 95–104. DOI : 10.1007 / BFb0084215 . ISBN   978-3-540-54706-8 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  3. ^ Широкая подкатегория в nLab