Коядро - Cokernel

Коядро из линейного отображения из векторных пространств $F : X \to Y$ является фактор - пространством $Y / Im (е)$ из области значений от $F$ по образу $F$ . Размерность коядра называется корангом из $F$ .

Коядра двойственные к ядрам теории категорий , отсюда и названию: ядро является субобъектом домена (он отображается в области), в то время как Коядро является фактором объектом из области значений (это отображение из области значений).

Интуитивно, учитывая уравнение $f (x) = y$ , которое пытается решить, коядро измеряет ограничения, которым $y$ должно удовлетворять, чтобы это уравнение имело решение - препятствия на пути решения, - в то время как ядро измеряет степени свободы в решение, если оно существует. Это подробно рассматривается ниже на интуитивном уровне .

В более общем смысле, коядро морфизма $f : X \to Y$ в некоторой категории (например, гомоморфизм между группами или ограниченный линейный оператор между гильбертовыми пространствами ) - это объект $Q$ и морфизм $q : Y \to Q$ такие, что композиция $qf$ является нулевой морфизм категории, и , кроме того , $д$ является универсальным по отношению к этому свойству. Часто понимают отображение $q$ , а само $Q$ называется коядром $f$ .

Во многих ситуациях в абстрактной алгебре , например, для абелевых групп , векторных пространств или модулей , коядро гомоморфизма $F : X \to Y$ является фактором из $Y$ по изображению из $F$ . В топологических настройках, например, с ограниченными линейными операторами между гильбертовыми пространствами, обычно требуется замыкание изображения перед переходом к фактору.

Формальное определение

Коядро можно определить в общих рамках теории категорий . Чтобы определение имело смысл, рассматриваемая категория должна иметь нулевые морфизмы . Коядро из морфизм $F : X \to Y$ определяется как коуравнитель из $F$ и нулевой морфизм $0 XY : X \to Y$ .

В явном виде это означает следующее. Коядро $f : X \to Y$ - это объект $Q$ вместе с морфизмом $q : Y \to Q$ таким, что диаграмма

ездит на работу . Более того, морфизм $q$ должен быть универсальным для этой диаграммы, т. Е. Любой другой такой $q': Y \to Q'$ может быть получен компоновкой $q$ с единственным морфизмом $u : Q \to Q'$ :

Как и во всех универсальных конструкциях, коядро, если оно существует, единственно с точностью до единственного изоморфизма , точнее: если $q : Y \to Q$ и $q': Y \to Q'$ - два коядра $f : X \to Y$ , то существует существует единственный изоморфизм $u : Q \to Q'$ с $q ' = u q$ .

Как и все коэквалайзеры, коядро $q : Y \to Q$ обязательно является эпиморфизмом . Наоборот, эпиморфизм называется нормальным (или конормальным ), если он является коядром некоторого морфизма. Категория называется конормальной, если каждый эпиморфизм нормален (например, категория групп конормальна).

Примеры

В категории групп , коядром в групповой гомоморфизм $F : G \to H$ является фактор из $Н$ в нормальном замыкании образа $е$ . В случае абелевых групп , поскольку каждая подгруппа нормальна, коядро - это просто $H$ по модулю образа $f$ :

{\ displaystyle \ operatorname {coker} (f) = H / \ operatorname {im} (f).}

Особые случаи

В предаддитивной категории имеет смысл складывать и вычитать морфизмы. В такой категории коэквалайзер двух морфизмов $f$ и $g$ (если он существует) является просто коядром их разности:

{\ displaystyle \ operatorname {coeq} (f, g) = \ operatorname {coker} (gf).}

В абелевой категории (особый вид предаддитивной категории) образ и кообраз морфизма $f$ задаются формулами

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {im} (f) & = \ ker (\ operatorname {coker} f), \\\ operatorname {coim} (f) & = \ operatorname {coker} (\ ker е). \ end {align}}}

В частности, каждая абелева категория нормальна (а также конормальна). То есть любой мономорфизм $m$ можно записать как ядро некоторого морфизма. В частности, $m$ является ядром своего собственного коядра:

{\ Displaystyle м = \ кер (\ OperatorName {coker} (м))}

Интуиция

Коядро можно рассматривать как пространство ограничений, которым должно удовлетворять уравнение, как пространство препятствий , точно так же, как ядро - это пространство решений.

Формально можно подключить ядро и коядро отображения $T : V \to W$ в точной последовательности

{\ displaystyle 0 \ to \ ker T \ to V {\ overset {T} {\ longrightarrow}} W \ to \ operatorname {coker} T \ to 0.}

Их можно интерпретировать так: если необходимо решить линейное уравнение $T (v) = w$ ,

ядро является пространством решений для однородного уравнения $Т (v) = 0$ , а его размерность есть число степеней свободы в растворах с $T (v) = ш$ , если они существуют;
коядро - это пространство ограничений на w, которые должны быть выполнены, если уравнение должно иметь решение, а его размерность - это количество независимых ограничений, которые должны быть выполнены, чтобы уравнение имело решение.

Размерность коядра плюс размерность изображения (ранг) складываются в размерность целевого пространства, поскольку размерность фактор-пространства $W / T (V)$ - это просто размерность пространства минус размерность изображение.

В качестве простого примера рассмотрим отображение $T : R 2 \to R 2$ , заданное как $T (x, y) = (0, y)$ . Тогда для того, чтобы уравнение $T (x, y) = (a, b)$ имело решение, мы должны иметь $a = 0$ (одно ограничение), и в этом случае пространство решений равно $(x, b)$ или, что то же самое, $( 0, b) + (x, 0)$ , (одна степень свободы). Ядро можно выразить как подпространство $(x, 0) \subseteq V$ : значение $x$ - это свобода решения. Коядро может быть выражено через вещественнозначное отображение $W : (a, b) \to (a)$ : при заданном векторе $(a, b)$ значение $a$ является препятствием к существованию решения.

Кроме того, коядро можно рассматривать как нечто, что «обнаруживает» выбросы так же, как ядро «обнаруживает» инъекции . Отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро тривиально, а отображение сюръективно тогда и только тогда, когда его коядро тривиально, или, другими словами, если $W = im (T)$ .

использованная литература

Сондерс Мак-Лейн : Категории для рабочего математика , второе издание, 1978, стр. 64
Эмили Риль : Теория категорий в контексте , Aurora Modern Math Originals , 2014, стр. 82, стр. 139 сноска 8.

Languages

In other projects