Категория бетона - Concrete category

В математике , категория бетона является категорией , которая оснащена верным функтором в категорию множеств (или иногда в другую категорию, см Относительной конкретности ниже ). Этот функтор позволяет рассматривать объекты категории как множества с дополнительной структурой , а ее морфизмы - как функции, сохраняющие структуру. Многие важные категории имеют очевидную интерпретацию как конкретные категории, например, категория топологических пространств и категория групп , а также тривиально сама категория множеств. С другой стороны, гомотопическая категория топологических пространств не конкретизируется , т. Е. Не допускает точного функтора в категорию множеств.

Конкретная категория, если она определена без ссылки на понятие категории, состоит из класса объектов , каждый из которых снабжен базовым набором ; и для любых двух объектов A и B набора функций, называемых морфизмов , из базового набора A к основному набору B . Кроме того, для каждого объекта A функция идентичности на нижележащем наборе A должна быть морфизмом от A к A , а композиция морфизма от A к B, за которым следует морфизм от B к C, должна быть морфизмом от A к C .

Определение

Категория бетона представляет собой пару ( С , U ) таким образом, что

• C - категория, а
• U  : C → Set (категория множеств и функций) - точный функтор .

Функтор U следует рассматривать как функтор забывчивости , который присваивает каждому объекту C его «базовое множество», а каждому морфизму в C - его «базовую функцию».

Категория С является concretizable , если существует категория бетона ( С , U ); т.е. если существует точный функтор U :  C → Set . Все малые категории конкретизируемы: определите U так, чтобы его объектная часть отображала каждый объект b из C в множество всех морфизмов C , область значений которых равна b (то есть все морфизмы формы f : a → b для любого объекта a из C ) , и его часть морфизма отображает каждый морфизм g : b → c группы C в функцию U ( g ): U ( b ) → U ( c ), которая отображает каждый член f : a → b из U ( b ) в композицию gf : a → c , член U ( c ). (Пункт 6 в соответствии с дополнительными примерами выражает тот же U менее элементарного языка через предпучков) . В Counter-примеры раздела имеет две большие категории, которые не являются concretizable.

Замечания

Важно отметить, что, вопреки интуиции, конкретность - это не свойство, которому категория может или не может удовлетворять, а скорее структура, которой категория может или не может быть оснащена. В частности, категория C может допускать несколько точных функторов в Set . Следовательно, может быть несколько конкретных категорий ( C ,  U ) все соответствующие одной и той же категории C .

Однако на практике выбор точного функтора часто ясен, и в этом случае мы просто говорим о «конкретной категории C ». Например, «конкретная категория Set » означает пару ( Set ,  I ), где I обозначает тождественный функтор Set → Set .

Требование верности U означает, что он отображает разные морфизмы между одними и теми же объектами на разные функции. Однако U может отображать разные объекты в один и тот же набор, и, если это произойдет, он также отобразит разные морфизмы в одну и ту же функцию.

Например, если S и T - две разные топологии на одном и том же множестве X , то ( X ,  S ) и ( X ,  T ) - разные объекты в категории Top топологических пространств и непрерывных отображений, но отображаются в одно и то же множество X забывчивым функтором Top → Set . Более того, тождественный морфизм ( X ,  S ) → ( X ,  S ) и тождественный морфизм ( X ,  T ) → ( X ,  T ) считаются разными морфизмами в Top , но они имеют одну и ту же основную функцию, а именно тождественную функцию на X .

Точно так же любому набору с четырьмя элементами могут быть заданы две неизоморфные групповые структуры: одна изоморфна , а другая изоморфна . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$

Дальнейшие примеры

1. Любую группу G можно рассматривать как «абстрактную» категорию с одним произвольным объектом , и одним морфизмом для каждого элемента группы. Это не будет считаться конкретным в соответствии с интуитивным представлением, описанным в верхней части этой статьи. Но каждое точное G -множество (эквивалентно, любое представление G в виде группы перестановок ) определяет точный функтор G → Set . Поскольку каждая группа действует точно на себя, G можно превратить в конкретную категорию по крайней мере одним способом.${\ displaystyle \ ast}$
2. Точно так же любой ч.у. P можно рассматривать как абстрактную категорию с единственной стрелкой x → y всякий раз, когда x ≤ y . Это может быть сделано путем определения конкретного функтора D  : P → Set , которая отображает каждый объект х , чтобы и каждую стрелку х → у к карте включения .${\ Displaystyle D (x) = \ {a \ in P: a \ leq x \}}$${\ Displaystyle D (х) \ hookrightarrow D (y)}$
3. Категория Rel , объекты которой являются наборами, а морфизмы - отношениями, может быть конкретизирована, если U отобразит каждое множество X в его набор мощности, а каждое отношение - в функцию, определяемую . Отметив, что множества степеней являются полными решетками при включении, те функции между ними, которые возникают из некоторого отношения R таким образом, являются в точности отображениями, сохраняющими супремум . Поэтому Rel эквивалентна полной подкатегории категории Sup из полных решеток и их глотка сохраняющих карты. Наоборот, исходя из этой эквивалентности, мы можем восстановить U как составное Rel → Sup → Set функтора забывания для Sup с этим вложением Rel в Sup .${\ displaystyle 2 ^ {X}}$${\ Displaystyle R \ substeq X \ раз Y}$${\ displaystyle \ rho: 2 ^ {X} \ rightarrow 2 ^ {Y}}$${\ displaystyle \ rho (A) = \ {y \ in Y \ mid \ exists \, x \ in A: xRy \}}$
4. Категория Set ^op может быть встроена в Rel , представляя каждый набор как себя и каждую функцию f : X → Y как отношение от Y к X, сформированное как набор пар ( f ( x ), x ) для всех x ∈ X ; следовательно, Set ^op конкретизируем. Возникающий таким образом функтор забывчивости - это контравариантный функтор степеней Set ^op → Set .
5. Из предыдущего примера следует, что противоположность любой конкретизируемой категории C снова конкретизируется, поскольку если U - точный функтор C → Set, то C ^op может быть снабжен составной C ^op → Set ^op → Set .
6. Если C - любая малая категория, то существует точный функтор P  : Set ^{C op} → Set, который отображает предпучок X в копроизведение . Комбинируя это с вложением Йонеды Y : C → Set ^{C op,} можно получить точный функтор C → Set .${\ Displaystyle \ coprod _ {с \ in \ mathrm {ob} C} X (с)}$
7. По техническим причинам, категория Ban ₁ из банаховых пространств и линейных сокращений часто не оборудована с «очевидным» забывчивым функтором , но функтором U ₁  : Ban ₁ → Набор , который отображает банахова пространство для своего (замкнутого) единичного шара .
8. Категория Cat , объекты которой являются небольшими категориями, а морфизмы - функторами, может быть конкретизирована, отправив каждую категорию C в набор, содержащий ее объекты и морфизмы. Функторы можно рассматривать просто как функции, действующие на объекты и морфизмы.

Контрпримеры

Категория hTop , где объекты являются топологическими пространствами, а морфизмы - гомотопическими классами непрерывных функций, является примером категории, которая не является конкретизируемой. Хотя объекты являются наборами (с дополнительной структурой), морфизмы - это не фактические функции между ними, а скорее классы функций. Тот факт , что не существует какой - либо верный функтор из HTOP к Сету был первым доказано Питера Freyd . В той же статье Фрейд цитирует более ранний результат о том, что категорию «малых категорий и естественных классов эквивалентности функторов» также нельзя конкретизировать.

Неявная структура конкретных категорий

Принимая во внимание категорию бетона ( C ,  U ) и кардинальное число N , пусть U ^N функтор C → Набор определяется U ^N (C) = (U (с)) ^N . Тогда подфунктор из U ^N называется N-ичных предикат и естественное преобразование U ^N → U N-арной операции .

Класс всех N -арных предикатов и N -арных операций конкретной категории ( C , U ), где N пробегает класс всех кардинальных чисел, образует большую сигнатуру . Категория моделей этой сигнатуры , то содержит полную подкатегорию , которая эквивалентна на C .

Относительная конкретность

В некоторых разделах теории категорий, в первую очередь в теории топосов , принято заменять категорию Set другой категорией X , часто называемой базовой категорией . По этой причине, имеет смысл называть пару ( C ,  U ) , где C представляет собой категорию и U верный функтор C → X категория бетона над X . Например, это может быть полезно думать о моделях теории с N видов , как формирование категории бетона над Set ^N .

В этом контексте конкретная категория над Set иногда называется конструкцией .

Ноты

Ссылки

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E .; (1990). Абстрактные и конкретные категории (4,2 МБ PDF). Первоначально опубл. Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-60922-6 . (теперь бесплатная онлайн-версия).
• Фрейд, Питер; (1970). Гомотопия не конкретна . Первоначально опубликовано в: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Публикуется в бесплатном он-лайн журнале: Reprints in Theory and Applications of Categories, № 6 (2004), с разрешения Springer-Verlag.
• Росицки, Иржи; (1981). Конкретные категории и бесконечные языки . Журнал чистой и прикладной алгебры , том 22, выпуск 3.